22第二十讲《曲线运动》本章小结

1、第二十讲曲线运动本章小结课时1 知能整合【知识要点】一、曲线运动1、物体做曲线运动的条件当运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上时，物体就做曲线运动。2、曲线运动的特点（1）运动学特点曲线运动一定是变速运动，即a0，且加速度方向跟速度方向不在同一直线上。（2）动力学特点做曲线运动的物体所受到的合力F合0，且方向应指向轨迹弯曲的内侧（以切线为界）。二、运动的合成和分解1、基本方法：化曲为直，即将曲线运动分解为两个直线运动再进行研究。2、合运动与分运动的关系（1）矢量性：运动的合成或分解包括位移、速度、加速度的合成和分解，都遵循平行四边形定则。（2）独立性：一个物体同时参与几个分运动，

2、其中任一分运动不会因另外的分运动的存在而有所改变，它们是各自独立进行的。（3）等时性：各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等。求运动时间既可研究合运动也可以研究分运动，视解决问题方便而定。（4）等效性：分运动与合运动是一种等效替代的关系。二、平抛运动1、运动性质：平抛运动是一种匀加速曲线运动，加速度大小为g，方向竖直向下，轨迹为抛物线。2、处理方法：先分解后合成3、运动规律：平抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动，如图所示。Oxx'xyvxv0vyvyxs（1）位移：水平分位移，竖直分位移合位移大小，方向（2）速度：水平分速度，竖直分速度合速度大小，方

3、向三、匀速圆周运动1、定义：物体沿圆周运动，在相等时间内通过的圆弧长度相等，这种运动叫做匀速圆周运动。2、运动性质：做匀速圆周运动的物体线速度方向时刻改变，加速度大小不变，方向总指向圆心（时刻变化），所以，匀速圆周运动是一种非匀变速曲线运动。3、受力特点：合外力提供向心力，合外力大小不变，方向不但改变且总指向圆心。合外力是变力。4、描述圆周运动的物理量（1）线速度：大小为物体在一段时间内通过的弧长与这段时间的比值，即，某时刻线速度的方向就是圆周上该点的切线方向。（2）角速度：物体在一段时间内转过的圆心角与这段时间的比值，即，其单位是rad/s。（3）周期和转速：做圆周运动的物体运动一周所用的时

4、间叫做周期，单位时间内做圆周运动的圈数叫做转速。它们的关系是：。以上各物理量分别从不同的角度描述了做圆周运动的物体的运动快慢。（4）向心加速度：描述线速度方向变化快慢。其大小，方向指向圆心，与线速度方向垂直。（5）各物理量之间的关系5、动力学（1）向心力的来源：匀速圆周运动向心力是由物体实际受到的各种性质力的合力提供。向心力是按力的效果命名的力，而不是性质力。（2）向心力的作用：向心力只改变速度的方向，而不改变速度的大小。（3）动力学方程：（提供的向心力等于需要的向心力）四、变速圆周运动1、定义：物体的线速度大小和方向都随时间改变的圆周运动叫做变速圆周运动。2、特点：合外力方向和加速度方向不指

5、向圆心（除特殊点外）。合外力的法向分力提供向心力，产生向心加速度，使物体速度方向发生改变；合外力的切向分力产生切向加速度，使物体速度大小发生改变。3、动力学方程将物体所受的外力沿法向（y方向）和切向（x方向）正交分解，根据牛顿第二定律，有法向：（1）若，则物体做圆周运动（提供的向心力等于需要的向心力）；（2）若，则物体将做离心运动（提供的向心力不足）（3）若，则物体将做近心运动（提供的向心力有余）切向：【典例剖析】【例1】（运动合成和分解）v1v 00t甲v2v 00tt0乙一小船欲渡过宽为d的河流，船头方向始终与河岸垂直，河水的流速v1随时间t的关系如图甲所示，小船在静水中的速度v2随时间t

6、的关系如图乙所示。设小船从t=0时开始出发，t= t0时恰好到达河对岸，则下列说法正确的是A小船到达河对岸时的速度为B小船过河的平均速度为C小船到达河对岸时的位移为D小船到达河对岸的过程中做匀变速运动【解析】（1）研究小船的运动情况。在平行于河岸的方向上的分运动：匀速直线运动，速度大小为v0。在垂直于河岸的方向上的分运动：初速为零的匀加速直线运动。合初速度方向平行于河岸，合加速度方向垂直于河岸，故小船做曲线运动；小船的加速度大小和方向不变，所以，小船做匀加速曲线运动。（2）合成两个分运动。根据平行四边形定则，小船到达河对岸时的速度为小船到达河对岸的过程中，两个分位移分别为：，所以，合位移为：。

7、根据平均速度的定义，小船过河的平均速度为。【答案】AD【例2】（平抛运动）如图所示，一架在500m高空以200m/s的速度水平匀速飞行的轰炸机，要用两枚炸弹分别炸山脚和山顶的目标A和B。已知山高180m，山脚与山顶的水平距离为600m，若不计空气阻力，g取10m/s2，则投弹的时间间隔应为A6s B5s C3s D2s【解析】（1）轰炸山脚的目标A时，由平抛运动的规律，有：，代入数据解得：，（2）轰炸山顶的目标B时，由平抛运动的规律，有：，代入数据解得：，故第二次投弹的位置距A的水平距离为1000m，两次投弹地点的水平距离为1000m。两次投弹的时间间隔。【答案】B【例3】（传动装置中各量之间

8、的关系）r1r2r3甲乙丙某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮的角速度为，则丙轮边缘上某点的向心加速度为A B C D【解析】（1）在齿轮传动中，被传动的各轮边缘上的点应具有相同的线速度大小。根据线速度与角速度的关系，有：甲轮边缘上的点的线速度大小为，丙轮边缘上的点的线速度大小也为。（2）根据向心加速度公式，有：丙轮边缘上的点的向心加速度为【答案】A【例4】（变速圆周运动的最低点和最高点）如图所示，长为2L的轻杆，两端各固定一小球A和B，过杆的中点O有一水平光滑固定轴，杆可绕轴在竖直平面内转动当转动到竖直位置且A球在上端、B球在下端时杆的角速度为，此时

9、杆对转轴的作用力为零，则A、B两小球的质量之比为OBAA11BCD【解析】（1）对B球，有：（2）对轻杆，转轴对杆的作用力为零，且杆受到的合力应为零，则小球A对杆的作用力应与小球B对杆的作用力大小相等，方向相反。所以，杆对小球A的作用力方向应竖直向下。（3）对A球，有：，且联立解得：【答案】D【例5】（圆周运动与平抛运动的综合）如图所示，细绳长为L，吊一个质量为m的铁球（可视作质点），球离地的高度h=2L，当绳受到大小为2mg的拉力时就会断裂绳的上端系一质量不计的环，环套在光滑水平杆上，现让环与球一起以速度向右运动，在A处环被挡住而立即停止，A离墙的水平距离也为L求在以后的运动过程中，球第一次

10、碰撞点离墙角B点的距离是多少？【解析】（1）环被A挡住的瞬间，有：解得：，故绳断，之后小球做平抛运动。（2）设小球直接落地，则，球的水平位移：，所以，小球必与墙壁碰撞。（3）球平抛运动到墙的时间为t，则小球下落高度碰撞点距B的距离。课时2 方法指导【问题1】两个不在同一直线上的直线运动的合运动性质和轨迹的判断方法1、确定运动性质：合成两个分加速度。若合加速度为零，则合运动是匀速直线运动；若合加速度是恒矢量，则合运动是匀变速运动。2、确定运动轨迹：合成两个分初速度。若合加速度方向与合初速度方向在一条直线上，则合运动轨迹为直线；若合加速度方向与合初速度方向不在一条直线上，则合运动轨迹为曲线。【问题

11、2】平抛运动的特点1、运动时间由下落高度h决定，与平抛初速度v0无关。2、任意相等时间内的速度改变量相等；连续两段相等时间内的竖直位移之差y=gT2恒定。3、重要推论（1）位移三角形中的角的正切和速度三角形中的角的正切都与运动时间t成正比，且有tan=2tan。（2）轨迹方程，轨迹是一条抛物线。（3）任意时刻速度的反向延长线与初速度延长线的交点就是这段时间内的水平位移的中点。【问题3】传动装置中各运动学物理量间关系的建立1、被传动（皮带传动、齿轮传动、摩擦传动）的两个轮子边缘上各点的线速度大小相等（设传动不打滑）。2、同一轮（或轮轴）上各点的角速度大小相等。【问题4】求变速圆周运动中提供的向心

12、力的一般思路1、分析力：对研究对象进行受力分析（按性质力的顺序进行）；2、处理力：将研究对象所受的外力沿法向和切向正交分解；3、向心力：法向上的合力就是提供的向心力。【问题5】变速圆周运动的临界问题1、两种模型（1）轻绳模型：由于绳子是柔软的，所以绳子对物体能产生拉力或没有力，不能产生推力。（2）轻杆模型：由于杆子是刚性的，所以杆子对物体既可以产生拉力，也可以产生推力，还可以没有作用力。2、临界条件（1）轻绳：小球才能通过最高点的速度。Olmv轻绳Olmv轻杆（2）轻杆：小球能达到最高点的速度。当v=0时，即杆子对小球的推力大小等于小球的重力。当时，杆子对小球的推力小于小球的重力。当时，杆子对

13、小球既无推力、又无拉力。当时，杆子对小球产生拉力，且拉力大小随最高点速度的增大而增大。【例1】（平抛运动）30ºv在倾角为30°高为h的斜面顶端，将一个小球沿水平方向抛出，抛出时小球的速度设小球在空中飞行到达某一位置的位移与水平方向的夹角为，速度与水平方向的夹角为b则A一定有B可能有a30° C可能有b30°D若初速度，小球一定落到斜面上，且其速度方向与斜面的夹角将不变【解析】（1）判断小球的落点位置。设小球抛出后下落h高度时发生的水平分位移为x，则，联立解得：又斜面的底边长为，所以，小球一定落在水平面上。（2）判断、的大小及其关系。根据平抛运动的规律，

14、有：，显然，<，且和随时间t的增大而增大，所以，落到水平面上时，和最大，此时，a<30° ，=45° 。（3）要小球落在斜面上，有：，则根据tan=2tan，有tan=2tan30°，不变，则速度方向与斜面的夹角将不变。【答案】ACD【例2】（变速圆周运动）如图所示，长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在最高点时的速度v，下列说法中正确的是OmPLAv的最小值为B当v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大C当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大D当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力也逐渐增大【解析

15、】（1）小球能达到最高点的速度。（2）在最高点处，向心力，向心力随v的增大而增大。若，则，杆对小球的弹力随v的增大而增大；若，则，杆对小球的弹力随v的减小而增大。vQAPM123【答案】BCD【例3】（匀速圆周运动的运动学）如图所示是生产流水线上的皮带传输装置，传输带上等间距地放着很多半成品工件。2轮A处装有光电计数器，它可以记录通过A处的工件数目。1、2两轮的半径分别为r110cm，r220cm，相邻两工件的距离为30cm，1min内有41个产品通过A处。假设轮不打滑。求：（1）产品随传输带移动的速度大小；（2）两轮边缘上的两点P、Q及2轮半径中点M的线速度和角速度的大小；（3）如果2轮通过

16、摩擦带动3轮转动，且3轮半径r35cm，求3轮的角速度。【解析】（1）1min内有41个产品通过A处，则1min内传送带通过的距离为传送带的速度大小（2）P、Q两点的线速度大小应与传送带的速度相等，都为0.2m/s，其角速度分别为：，M点的角速度与P点的角速度相等，所以，M点的线速度（3）3轮边缘上的点应与2轮边缘上的点有相同的线速度大小，则3轮的角速度。【例4】（圆周运动的周期性导致多解）xBFOA在同一水平高度上有A、B两个物体，它们的质量分别为m、M，A物体从图示位置开始以角速度绕O点在竖直平面内顺时针做匀速圆周运动，其轨道半径为R，同时B物体在恒力F作用下，由静止开始在光滑水平面上沿x

17、轴正方向做直线运动，试求：（1）A物体运动到什么位置时，它的速度可能与B物体相同？（2）要使两物体速度相同，作用在B物体上的力F应多大？（3）当物体速度相同时，B物体的最小位移是多少？【解析】（1）A物体做匀速圆周运动，速度的方向是时刻改变的；B物体在力F的作用下做初速度为零的匀加速直线运动，速度方向始终沿x轴的正方向。由于速度是矢量，两个矢量相同，不仅大小相同，还要方向相同，因此只有当A物体转动到圆周的最高点时，才有可能与B物体具有相同的速度。此时两者速度方向都向右。（2）由于匀速圆周运动具有周期性，可知A物体第一次、第二次到达最高点时都有可能与B物体具有相同的速度。当物体A第n+1次到圆周

18、最高点时，有：A、B两物体速度相同，则有vAvB，即aBttvAR联立解得： （n0，1，2，）（3）两物体速度相同，当n0时，有：tB，F此时B物体的位移xB最小，即xBaBtB2()2【例5】（匀速圆周运动的临界问题）如图所示，用一根长为l=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角=37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为时，细线的拉力为FT，取g=10m/s2。求：（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度0至少为多大？（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度'为多大？

19、（3）细线的拉力FT与小球匀速转动的角速度有关，请在坐标纸上画出的取值范围在0到'之间时的FT2的图象（要求标明关键点的坐标值）。2/（rad/s）2FT/NOOl【解析】（1）当斜面对小球的支持力恰好为零时，由牛顿第二定律和向心力公式，有：解得：（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则解得：（3）当时，有：水平方向上：竖直方向上：联立解得：当时，有：2/（rad/s）2FT/NO10201020解得：又，所以，所以FT2的图象如图所示。课时3 高考链接【链接一】（平抛运动）如图所示一足够长的固定斜面与水平面的夹角为370，物体A以初速度v1从斜面顶端水平抛出，物体B在斜面上

20、距顶端L15m处同时以速度v2沿斜面向下匀速运动，经历时间t物体A和物体B在斜面上相遇，则下列各组速度和时间中满足条件的是（sin37O0.6，cos3700.8，g10m/s2）Av116m/s，v215m/s，t3sBv116m/s，v216m/s，t2sCv120m/s，v220m/s，t3sDv120m/s，v216m/s，t2s【解析】经过时间t，B离斜面顶端的距离，A落在斜面上距顶端，且依题意，有：将各选项中数据代入两式可知，只有C选项符合。【答案】C【链接二】（向心力的来源）在高速公路的捌弯处，路面造得外高内低，即当车向右捌弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹

21、角为，设捌弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零，应等于ABCD【解析】高速公路上的车辆拐弯时，其圆平面在水平面内，车轮与路面之间的横向摩擦力为零时，所需的向心力由重力和支持力的合力提供，根据牛顿第二定律，有，解得MNr1r2【答案】B【链接三】（皮带传动）如图所示为某一皮带传动装置主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑下列说法正确的是A从动轮做顺时针转动 B从动轮做逆时针转动C从动轮的转速为 D从动轮的转速为【解析】（1）判断从动轮的转动方向。从动轮靠皮带摩擦带动而转动，当主动轮顺时针转

22、动时，从动轮应逆时针转动。（2）传动中，两轮边缘上的点具有相同的线速度大小，则，即【答案】BC【链接四】（匀速圆周运动及参考系）太阳从东边升起，西边落下，是地球上的自然现象，但在某些条件下，在纬度较高地区上空飞行的飞机上，旅客可以看到太阳从西边升起的奇妙现象这些条件是A时间必须是在清晨，飞机正在由东向西飞行，飞机的速度必须较大B时间必须是在清晨，飞机正在由西向东飞行，飞机的速度必须较大C时间必须是在傍晚，飞机正在由东向西飞行，飞机的速度必须较大D时间必须是在傍晚，飞机正在由西向东飞行，飞机的速度不能太大【解析】如图中obo为晨线，odo为昏线（右半球上为白天，左半球上为夜晚）（1）若在纬度较高

23、的b点，飞机向东（图中向右），旅客看到的太阳仍是从东方升起（2）设飞机飞行速度（相对于地面）为v1，地球在该点的自转线速度（相对于地心）为v2，在b点，飞机向西飞行时，若v1>v2，飞机处于地球上黑夜区域；若v1<v2，旅客看到的太阳仍从东方升起（3）在同纬度的d点（在昏线上），飞机向东（图中向左）飞行，飞机处于地球上黑夜区域旅客看不到太阳。（4）在d点，飞机向西（图中向右）飞行，若v1>v2，旅客可看到太阳从西边升起，若v1<v2，飞机在黑夜区域因此，飞机必须在傍晚向西飞行，并且速度要足够大时才能看到太阳从西边升起的奇景正确选项只有C【答案】C【链接五】（匀速圆周运动

24、的向心力）如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半。内壁上有一质量为m的小物块。求：（1）当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；（2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。【解析】（1）物块受力如图所示，由平衡条件可得：其中解得：摩擦力为支持力为（2）物块的受力如图所示由牛顿第二定律，得：筒转动的角速度为【链接六】（匀速圆周运动的周期性）一水平放置的圆盘绕竖直固定轴转动，在圆盘上沿半径开有一条宽度为2mm的均匀狭缝，将激光器与传感器上下对准，使二者间连线与转轴平行，分别置于