一、导数的四则运算法则

1、一、导数的四则运算法则一、导数的四则运算法则( )( )( )( )u xv xxu xv x 设设函函数数与与在在点点 处处可可导导，则则函函数数，( )( )( )( ( )0)( )u xu xv xv xxv x，在在点点 处处也也可可导导并并且且有有：定理定理1 1( )( ) ( ) ( )u xv xuxvx 、 2( )( ) ( )( )( ) ( )u xv xuxv xu xvx 、2( ) ( )( )( ) ( )3( )( )u xuxv xu xvxv xvx 、推论推论:1、 （c为常数）为常数） ( ) ( )cu xcux 2、 （c为常数）为常数）2 (

2、)( )( )cc uxu xux 公式公式(1)、(2)具有递推性：具有递推性：12121( )( )( )( )( )( )nnu xuxuxuxuxux、 1232( )( )( )( )nu x ux uxux 、 123123( )( )( )( )( )( )( )( )nnux ux uxuxu x ux uxux 123123( )( )( )( )( )( )( )( )nnu x ux uxuxu x ux uxux证明：证明：(下面仅给公式下面仅给公式(2)的证明的证明)设设 ，则，则( )( )yu xv x () ()( ) ( )yu xx v xxu x v x

3、= () ()( ) ()u xx v xxu x v xx ( ) ()( ) ( )u x v xxu x v x =( ) ()( )( )u x v xxu xv x 那么，那么，00( )( )lim= lim()( )xxyu xv xv xxu xxxx ( )( )yu xv xx而而在在点点 处处可可导导，即即00( )( )( )lim, ( )limxxu xv xu xv xxx ( )yv xx 且且在在点点 处处必必连连续续，即即0lim ()( )xv xxv x 所以所以00( )( )lim= lim()( )xxyu xv xv xxu xxxx = ( )

4、( )( ) ( )uxv xu xvx即即 ( )( ) ( )( )( ) ( )u xv xuxv xu xvx例例14541627cosloglnayxxxx求求函函数数的的导导数数。解：解：4541627cosloglnayxxxx 445627 =cosloglnaxxxx 9354265=4sinlnxxxxa 例例2510lnxyx ex 求求函函数数的的导导数数。解：解： 55510lnlnlnxxxyxexxexx ex455110 5=lnlnxxxx exx exx ex 41051 =lnlnxx exxx例例322xyx 求求函函数数的的导导数数。解：解：22xyx

5、 222222xxxxx 2222xxx 242x 例例4解：解：lnxxye lnxxye 求求函函数数的的导导数数。 2lnlnxxxxex ee 2lnxxxeexxe 1lnxxxxe 例例5解：解：tanyx 求求函函数数的的导导数数。 sintancosxyxx 2sincossincoscosxxxxx 222cossincosxxx 221seccosxx类似可得：类似可得： 2cotcscxx secsectanxxx csccsccotxxx 二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则定理定理2( )( )uxxyf u 设设函函数数在在点点 处处可可导导，函函数数在在

6、( )uyfxx 对对应应点点 处处可可导导，则则复复合合函函数数在在点点 处处也也可可导导，ddddddyyuxux ( ( )( )( ),fxfux 且且有有或或记记为为证明证明0( )( )limuyyf uufuu 因因为为在在对对应应点点 处处可可导导，即即那那么么，由由无无穷穷小小与与函函数数极极限限的的关关系系，有有0= ( )+yfuuu ，（其其中中 为为当当时时的的无无穷穷小小）得得= ( )+y fuuu 于是于是00( )+limlimxxyfuuuxx = =0lim( )xuufuxx 000( ) limlimlimxxxuufuxx ( )( )fu u x

7、值得指出的是，值得指出的是，复合函数的求导法，有时也称为链复合函数的求导法，有时也称为链导法，它可用于多次复合的情形。导法，它可用于多次复合的情形。例如，设例如，设 ，则，则 ( ),( ),( )yf u uu v vv xddddddddyyuvxuvx或写为或写为( )( ) ( )yfu u v v x 例例6376()yxy 设设，求求 。解：解：因为因为 是由是由376()yx 736,yuux复合而成。而，复合而成。而，6273dd,ddyuuxux所以所以236216ddd()dddyyuxxxux例例7 正确掌握复合函数的复合过程后，可不必给出中正确掌握复合函数的复合过程后，

8、可不必给出中间变量，直接对复合函数进行求导运算。间变量，直接对复合函数进行求导运算。sin(ln )yxy 设设，求求 。解：解：1cos(ln )cos(ln )xyxxx例例8解：解：4ln(tan )yxxy 设设，求求 。32414(sec)tanyxxxx 3244sectanxxxx 例例9解：解：3sin xyey 设设，求求 。333sincosxyex333sincosxxe 例例1021ln()yxxy 设设，求求 。221112121yxxxx211x 解：解：三三 、反函数的求导法则、反函数的求导法则定理定理3( )xx y 若若函函数数在在某某一一区区间间内内单单调调

9、，可可导导，0( )( )x yyy x且且，则则它它的的反反函函数数在在对对应应区区间间内内也也可可导导，11d( )d( )ddyy xxx yxy且且，或或记记为为。证明：证明： 由可导必连续知，由可导必连续知， 在某区间内单在某区间内单调连续调连续,则其反函数则其反函数 在相应的区间内也在相应的区间内也必单调连续。必单调连续。( )xx y ( )yy x 于是于是0( )= limxyy xx 001()limyxxy 1( )x y 所以，命题成立。所以，命题成立。例例11解：解：11arcsin ()yxx 求求的的导导数数。11arcsin ()sinyxxxy 因因为为是是的

10、的反反函函数数，2 2(,)y 当当时时，0sin( )cosxyx yy单单调调可可导导，且且，11(, )x 所所以以，当当时时，11( )=( )cosy xx yy 22111111()sinxyx 即即 21111arcsin()xxx 类似地，类似地， 21111arccos()xxx 例例12解：解：arctan ()yxx 求求的的导导数数。arctan ()tanyxxxy 因因为为是是的的反反函函数数。2 2(,)y 当当时时，20tan( )secxyx yy单单调调可可导导，且且，所以所以211( )=( )secy xx yy 221111tan yx即即 211ar

11、ctan ()xxx 类似地，类似地，21arccot ()1xxx 例例13解：解：01(,)xyaaay设设，求求 。01(,)logxyayaaax因因为为是是的的反反函函数数。0( ,)y当当时时，10log( )lnaxyx yya单单调调可可导导，且且，所以所以1( )=ln =ln( )xy xya aax y 特别地，特别地， =e ()xxeaex 当当时时，即即 01=ln (,)xxaaa aa例例14解：解：()yxy 设设为为实实数数 ，求求 。lnxyxe由由得得， yx lnxe 11lnxexx 即即 1xx 例例16解：解：2arcsinxyy 设设，求求 。

12、 2arcsinxy 112212arcsin=lnxxx 1222arcsinln=xxx 四、四、 初等函数的导数初等函数的导数1、基本初等函数的导数公式、基本初等函数的导数公式01= ()( )CC为为常常数数 12=( ) xx 13logn(=l)xaxa 14) ln(=xx 5=ln( )xxaaa 6)=(xxee7(sins()=coxx8(cos ) =-( )sinxx29(tan )( )=secxx210(cot) =-c()scxx11(sec ) =sec()tanxxx12(csc ) =-csc)o(c txxx21131(arcsin ) =()xx 基本初

13、等函数的导数公式基本初等函数的导数公式21141(arccos ) =-()xx 21151(arctan ) =()xx 21161(arccot) =()xx 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式2、 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 1( )( )( ) ( ) ( )u xv xuxvx 2( )( )( ) ( )( )( ) ( )u xv xuxv xu xvx 3( )( ) ( )()Cu xCux C 为为常常数数24( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )u xuxv xu xvxv xvx 250 ( )( )( )( )( )CCuxCu xu

14、 xux 为为常常数数, ,3. 复合函数求导法则复合函数求导法则( )( )( ( )yf uuxyfx 设设，则则复复合合函函数数的的导导数数为为ddd dddyyuxux或或 ( )( )( )fxfux 4. 反函数求导法则反函数求导法则( )( )yy xxx y设设的的反反函函数数为为，则则10( )( )( )y xx yx y，()()或记为或记为10dd()ddddyxxxyy( )( )g xyf x （1 1）求求函函数数（这这种种形形式式函函数数称称为为幂幂指指函函数数）的的导导数数。解解例例160()xyxxy设设，求求 。两边取对数得两边取对数得lnlnyxx 两边对两边对 求导，得求导，得x11lnyxxyx所以所以11(ln)(ln)xyyxxx5、对数求导法、对数求导法（2）由多个因子积、商、乘方、开方构成的函数的）由多个因子积、商、乘方、开方构成的函数的求导问题求导问题例例172223331214() ()()xxyxyx 设设，求求。 分析：分析：若直