212空间中直线与直线之间的位置关系 (2)

1、新课导入同一平面内同一平面内的直线有哪些位置关系？的直线有哪些位置关系？aboab回顾旧知回顾旧知abo如何判断两直线相交？如何判断两直线相交？两直线有公共交点。两直线有公共交点。如何判断两直线平行？如何判断两直线平行？两直线在同一平面，且无公共交点。两直线在同一平面，且无公共交点。ab2.1.2 空间中直线与直线之间空间中直线与直线之间的位置关系的位置关系 黑板两侧所在的直线与课桌边沿所黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？在直线是什么位置关系？既非平行既非平行又非相交又非相交 旗杆所在的直线与其正后方跑道所旗杆所在的直线与其正后方跑道所在直线是什么位置关系？在直线是什么位置关

2、系？既非平行既非平行又非相交又非相交立交桥立交桥 定义：定义：不同在不同在 任何任何 一个平面内的两一个平面内的两条直线叫做条直线叫做异面直线异面直线理解：1)异面直线既不平行也不相交2)定义中“任何”是指不可能找到一个平面同时包含这两条直线3)不能认为 分别在两个平面内的两条直线叫异面直线。 1、异、异面直线的面直线的定义定义a与与b是是相交相交直线直线a与与b是是平行平行直线直线a与与b是是异面异面直线直线abM它们可能异面，可能相交，也可能平行。它们可能异面，可能相交，也可能平行。 abab,ba空间两条直线的位置关系：空间两条直线的位置关系：共面直线共面直线异面直线异面直线相交直线相交

3、直线平行直线平行直线不同在任何一个平面内，没有公共点。不同在任何一个平面内，没有公共点。同一平面内，有且只有一个公共点同一平面内，有且只有一个公共点同一平面内，没有公共点；同一平面内，没有公共点； abaabb(利用平面作为衬托利用平面作为衬托)ab2.异面直线的画法异面直线的画法A1B1C1D1CBDA练习练习1、 如图所示：正方体的棱所在的直线如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线中，与直线A1B异面的有哪些？异面的有哪些？ D1C1、C1C、CD、D1D、AD、B1C1答案：答案： 下图是一个正方体的展开图，如果将它还原下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么为正方体，那么

4、AB，CD，EF，GH这四条线段这四条线段所在的直线是异面直线的有所在的直线是异面直线的有 对。对。DBACEFHGAH)(BF)(CEDG3直线直线EF和直线和直线HG直线直线AB和直线和直线HG直线直线AB和直线和直线CD 如图，长方体如图，长方体ABCD-ABCD中，中，BB/AA,DD/AA,那么那么BB与与DD平行吗？平行吗？ 平行平行ABCDABCD观察观察 在在同一平面内同一平面内，如果两条直线都与第三条，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线相互平行在直线平行，那么这两条直线相互平行在空间空间中中，如果两条直线都与第三条直线平行，是否，如果两条直线都与第三条直线平行，是

5、否也有类似的规律？也有类似的规律？思考思考做一做做一做 : 将一张矩形纸朝同一方向多次对折将一张矩形纸朝同一方向多次对折 , 则各折痕即边则各折痕即边 a, b, c, d, e, 之间有何关系？之间有何关系？abced平行于同一条直线的两条直线互相平行。平行于同一条直线的两条直线互相平行。平行线的传递性平行线的传递性 在空间中平行于一条已知直线的所在空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相平行。有直线都互相平行。 作用：用于判作用：用于判定空间中两直线平行定空间中两直线平行（平行公理）（平行公理） 如图如图 ，空间四边形，空间四边形ABCD中，中，E，F，G，H分别是分别是AB，BC，CD，

6、DA的中点求证：四边形的中点求证：四边形EFGH是平行四边形。是平行四边形。BCADEFHG所以所以EH/BD,且且 BD21EH 证明：连接证明：连接BD，因为因为 EH是是 的中位线，的中位线，ABD同理同理FG/BD,且且 BD21FG 所以所以 EH/FG，且，且EH=FGEH=FG 所以，四边形所以，四边形EFGH是平行四边形。是平行四边形。例例2再加上条件再加上条件AC=BD呢？呢？180EQFAOBCODAOBBO/DP/FQAO/CP/EQAOBCPDEFQ 在平面上，在平面上，如果一个角的两边和另一个角的两如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补边分别

7、平行，那么这两个角相等或互补. .看一看看一看在空间中，上述结论是否仍然成立在空间中，上述结论是否仍然成立？ 在长方体在长方体 中，中， ， ，的两对边分别对应平行，这两组角，的两对边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？的大小关系如何？CDAADC与与CBAADC与与DCBAABCDD1C1B1A1CABD答答:从图中可看出从图中可看出, ADC=A1D1C1, ADC +A1B1C1=180O探究探究 空间中空间中如果有两个角的两边分别对应平如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。行，那么这两个角相等或互补。定理定理 - 等角定理等角定理注意：（注意：（1）定理中的）定理中

8、的“方向相同方向相同”若改成若改成“方方向相反向相反”，则这两个角也相等。，则这两个角也相等。（2）若改成）若改成“一边方向相同，而另一边方向相一边方向相同，而另一边方向相反反”，则这两个角互补。，则这两个角互补。ABCCABABCCABBACCAB180BACCABBAAB/,CAAC/夹角夹角 在在平面内两直线相交形成四个角，不大于平面内两直线相交形成四个角，不大于90的角称为的角称为夹角夹角。ab 夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程度，异面直线通过程度，异面直线通过异面直线所成的角异面直线所成的角来刻画。来刻画。4.两条异面直线所成的角两条异面直线

9、所成的角定义：定义：直线直线a、b为异面直线为异面直线,经过空间经过空间任一点任一点O,分别引分别引a1a,b1b,则相交直线则相交直线a1、b1所成的所成的锐角锐角( (或直角或直角) )叫做两条叫做两条异面直线异面直线a、b所成的角所成的角(或夹角或夹角).4.两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角bab1a1O理解：理解：(1)异面直线异面直线a、b所成角所成角,只与只与a、b的相互位置有关的相互位置有关,而与点而与点O位置无关位置无关.(2)通常点通常点O取直线取直线a或或b上特殊点上特殊点.(3)异面直线所成角的取值范围：异面直线所成角的取值范围：00900 baa1O4.两条异面

10、直线所成的角两条异面直线所成的角5.两条异面直线垂直两条异面直线垂直 如果两条异面直线所成角是直角如果两条异面直线所成角是直角. .则则说这两条异面直线垂直说这两条异面直线垂直. .记作：记作：abab空间中两条直线垂直不一定相交空间中两条直线垂直不一定相交. .ab垂直垂直 （1）如果两条平行直线中的一条与某一条直线）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？垂直分为两种：垂直分为两种：相交直线的垂直相交直线的垂直异面直线的垂直异面直线的垂直acbacb（2）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？）垂直于同一条直线的

11、两条直线是否平行？acb 如图，若如图，若c，则，则c垂直于垂直于内所有直线，内所有直线，而而内任意两条直线的关系可能是平行，也可能内任意两条直线的关系可能是平行，也可能是相交。是相交。不一定不一定 （1）在长方体）在长方体 ABCD-ABCD中，有没有两中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？ABCDABCD有，如有，如AB和和CC，AB和和DD。解：解：BFCG，EBF(或其补角或其补角)为异面直为异面直线线 BE与与CG所成的角，又所成的角，又 BEF中中EBF =45，所以，所以BE与与CG所成的角是所成的角是45。ABGFHEDC 如图，正

12、方体如图，正方体ABCD-EFGH中求中求BE与与CG所成的角。所成的角。 例例3NEXTBACK 求异面直线所成的角的步骤是求异面直线所成的角的步骤是: 一作：作平行线一作：作平行线 二证：证明所作的角为所求的异二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出三求：在一恰当的三角形中求出角角异面直线所成角的求法：异面直线所成角的求法：例例4 4：如图，已知正方体：如图，已知正方体ABCDABCDABCDABCD中。中。哪些棱所在的直线与直线哪些棱所在的直线与直线AAAA垂直？垂直？,AB BC CD DA A BB C C D D A 直线直线与直

13、线与直线 都垂直都垂直.AA 如图如图,已知长方体已知长方体ABCD-EFGH中中, AB = , AD = , AE = 2 (1)求求BC 和和EG 所成的角是多少度所成的角是多少度? (2)求求AE 和和BG 所成的角是多少度所成的角是多少度?3232解答：解答：(1)GFBC EGF（或其补角）为所求（或其补角）为所求.RtEFG中，求得中，求得EGF = 45o(2) BFAE FBG（或其补角）为所求（或其补角）为所求,RtBFG中，求得中，求得FBG = 60o课堂练习课堂练习ABGFHEDC32322课堂小结不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。不同在任何一个平面内的两条

14、直线叫做异面直线。异面直线的定义异面直线的定义: :相交直线相交直线 平行直线平行直线异面直线异面直线空间两直线的空间两直线的位置关系位置关系公理：公理：空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行。空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行。空间中，如果两个角的两边分别对应平行，空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。那么这两个角相等或互补。等角定理：等角定理：异面直线所成的角异面直线所成的角:平移，转化为相交直线所成的角。平移，转化为相交直线所成的角。随堂练习一、下图长方体中一、下图长方体中平行平行相交相交异面异面BD和和FH是是 直线直线EC和和BH是是 直线直线BH和

15、和DC是是 直线直线BACDEFHG与棱与棱AB所在直线异面的棱共有所在直线异面的棱共有 条条?4分别是分别是 ：CG、HD、GF、HE说出以下各对线段的位置关系说出以下各对线段的位置关系?1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。3）a与与b是异面直线，是异面直线，b与与c是异面直线，则是异面直线，则a与与c是是异面直线。异面直线。4）a与与b是共面，是共面，b与与c是共面，则是共面，则a与与c共面。共面。错错错错错错错错2） a , b ,则则a,b一定异面。一定异面。二、判断二、判断1. 一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（和另一条的位置关系是（ ） A.平行平行 B.相交相交 C.异面异面 D.相交或异面相交