第3讲随机误差的分析与统计

1、Page 1第3讲随机误差的分析与统计Page 2主要内容n 平稳性和正态性检验n 隐周期的辨识与估计n 变量差分法n 最小二乘拟合残差法n ARMA模型统计方法1、平稳性和正态性检验Page 随机误差 定义 是指测量结果与同一待测量的大量重复测量的平均结果之差。 它的特点：大小和方向都不固定，也无法测量或校正，但可通过统计进行评估。随机误差的性质是：随着测定次数的增加，正负误差可以相互低偿，误差的平均值将逐渐趋向于零。 Page 特征 即使测试系统的灵敏度足够高，在相同的测量条件下，对同一量值进行多次等精度测量时，仍会有各种偶然的，无法预测的不确定因素干扰而产生测量误差，其绝对值和符号均不可

2、预知。 虽然单次测量的随机误差没有规律，但多次测量的总体却服从统计规律，通过对测量数据的统计处理，能在理论上估计起对测量结果的影响。 随机误差不能用修正或采取某种技术措施的办法来消除。Page 6统计学中随机误差的两种类型1、抽样误差在随机误差中，最重要的是抽样误差。我们从同一总体中随机抽取若干个大小相同的样本，各样本平均数之间会有所不同。这些样本间的差异，同时反映了样本与总体间的差异。它是由于从总体中抽取样本才出现的误差，统计上称为抽样误差例如，抽样误差在医学生物实验中最主要的来源是个体的变异。所以这是一种难以控制的、不可避免的误差。但抽样误差是有一定规律的。2、重复误差 随机误差中还包括重

3、复误差。它是由于对同一受试对象或检样采用同一方法重复测定时所出现的误差。如用天平称同一个烧杯的重量，重复测定多次，其结果会有某些波动。控制重复误差的手段主要是改进测定方法，提高操作者的熟练程度。重复是摸清实验误差大小的手段，以便分析和减少实验误差。Page 7测试案例测试案例：测定MEMS加速度计重复误差的方法0度90度180度270度第一次测试-377479-655-1505第二次测试-377481-656-1505第三次测试-377478-656-1505第四次测试-377478-656-1505第五次测试-377478-656-1505第六次测试-377479-656-1505第七次测试

4、-377479-656-1505Av组(1-3)均值-377479.3-656-1505Bv组(4-7)均值-377478.5-656-1505抽样误差（分组标准差）00.5600重复误差（全局标准差）01.0600Page 8对零偏的重复性测量描述n 然后采用四点标定法的计算公式n 从而可以得到每次测试的零偏，然后根据公式计算结果：重复性为0.88mg。1180027090180002KUUUUUUK2/1210m00)(11nmrKKnKPage 9平稳性和正态性检验n 平稳性n 随机误差序列是白噪声或是平稳的相关噪声，即其均值、方差和相关函数都不随时间而变化的时间序列。n 常用方法：轮次

5、法n 正态性n 随机误差序列是服从正态分布的时间序列。n 常用方法：x2拟合法Page 10平稳性检验方法：轮次法n 假设待测随机序列X的长度为M，轮次法检验其平稳性的主要实现步骤如下：n （1）将待检验随机序列分为N个子区间，分别求这N个子区间的均值。n （2）求出这N个均值的中值，即大小处于中间的值（如果随机序列式平稳的，这些均方值在中值附近的变化将是随机的，并且没有趋势项）。Page 11n （3）将N个均方值分别与中值进行比较，比中值大的记为+，小的记为-.从+到-和从-到+变化的总次数即为轮次数，它反映了序列的独立性，不妨用k表示。n （4）在给定平稳性的显著度为或置信度系数为（1-

6、）,置信区间为(k,1-/2,k，/2),检验轮次数是否满足如下关系式：k,1-/2kk，/2n 如果满足，就说明该序列在置信度系数（1-）下是平稳的，显然，在不同的置信度系数下检验的结果可能是不同的，这正反映了将被测序列近似为平稳序列的可能性，置信度系数的大小应该根据实际应用中的具体要求来确定。Page 12正态性检验方法：x2拟合法n 对于任意正态分布序列，按照其值范围分为k个小区间，那么在每个区间的数据个数有：n 假设实际落入各区间的个数为Nj，作样本x2统计，有n 若x2= a（可取0.05）时，为正态分布；否则，不是。Page 13随机数据示例：原始数据 -0.93380729512

7、2849-2.056217018288290.583136269907346-0.8508204519040062.131319912120650.5440036546820020.7050802526638630.7280030363283581.15498775626153-0.300535511817266-0.06582478363091320.2226314311772501.059335413548790.493251054063006-0.5214897502174870.9549090549534170.278973278923579-1.002460810503790.031

8、2895109743597-1.13220970754653-0.7430145746213740.595711513908413-1.90792400274450-1.429951316201041.401678953177000.4237525302375930.6462939095128101.046724701354741.254821166093550.3018231042275140.848251734259952-0.753829767225611-0.296689898877117-0.328739565842024-0.682728675304735-0.5247393690

9、731670.449571711357454-0.2308080255736910.154614849209013-0.3955267039789760.06290451032061830.958318735420486-1.721382936013281.363689249472950.5716871620735531.424633793851331.06037420744386-1.24767035991548-0.129011826393153-0.469315655130139-1.437713854011841.59656744752643-0.349867275011154-0.2

10、399137424057400.925542351954265-0.134572384257423-0.1268421785585420.4608194383869590.6605755857557880.8157132119755770.5899026994067940.835704158383375-0.399051570180566-1.757436660349531.97248020296556-0.5935583792429601.578731659441301.545746535177290.9044302893623540.6825449495620190.20039691316

11、7289-0.180379188093346-0.433028697115176-0.635949461086439-0.5858288956593161.69992170967074-2.05783382199246-0.206093992061548-0.3983961149408620.9147996053111920.262535878653095-0.9629864446914311.292602126645421.587788084929260.2855983338020220.1183862984767650.379676213619761-0.4524314185082431.

12、39179350447631-1.856547291464891.47788389313275-0.777202701512710-0.8216821951093480.1615594271238480.3415582773952530.5489816166550650.606604094311068-1.342151227266710.7026221267824340.683794478156354 Page 14随机数据示例：正态分布？n 频数直方图如下所示：n均值为0.1320，n均值置信区间为-0.0584,0.3225n方差为0.9598n方差置信区间为0.8427,1.11502、

13、隐周期的辨识与估计Page 16隐周期的识别与辨识Page 3、变量差分法Page 19变量差分法n 通常时间序列是随时间变化的连续曲线，可表示为一个一定阶次的多项式，因此可以通过逐次差分消除观测数据中趋势项（真实信息、系统误差），从而分离出观测数据中随机性误差成分，并估计其方差。n 假设等间隔时间序列有：n 假定其随机误差满足：n （1）无偏性，即n （2）等方差且不相关，Page 20那么有： 是 的无偏估计。均方差 的估计如下： 4、最小二乘拟合残差法Page 22最小二乘拟合残差法若存在等间隔时间t1，t2， ，tn ，所对应的一组数据 x1，x2 ， ，xn 序列可用式(1)表示：式

14、中：yi 是数据的真实信息与系统误差之和；i为随机误差。现假定yi可以用一个m阶的多项式表示，即：这样，方程组(1)可以表示为如下矩阵形式:Page 23 其中：利用最小二乘估计有：Page 24这样就得到了时间序列xi的估计为：由此可得到序列方差 的无偏估计为：5、ARMA模型统计方法Page 26ARMA模型n自回归AR(p)模型 自回归模型描述的是当前值与历史值之间的关系。n滑动平均MA(q)模型 滑动平均模型描述的是自回归部分的误差累计。Page 27 nARMA(p,q)模型ARMA(p,q)模型中包含了p个自回归项和q个移动平均项， ARMA(p,q)模型可以表示为：Page 28AR模型的辨识模型辨识，即确定模型的阶次。Page 29 Page Page 31模型参数估计：粗估计n 由尤乐-沃尔克估计（式14，相关矩估计）得到 代入模型，得到模型的粗估计： Page 32模型参数估计：精估计n 在粗模型基础上，利用极值原理，得到 令 ，那么有