类比探究专题

1、类比探究专题类比探究专题例1如图1,在等腰直角 ABCF 口等腰直角 CD冲,CD>BC点C, B, D在同一直线上，M是AE的中点，易证 MDL MB MD=MB(1)如图2,将图1中的 CD透点C顺时针旋转45° ,使ACDE勺斜边CE恰好与4ABC的边BC垂直，题 干中的其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？(2)将图2中的 ABC绕点C逆时针旋转大于0°且小于45。的角，如图3所示，请直接写出你的结论.C图1例2 如图1)在小眈中)AC BC) C 120)口在眈边上。BDE为等边三角形，连接AE, F为ae中点，连CF,DF。请直接写出cf、df的关系，不必

2、说明理由；若将图1中的BE绕点B顺时针旋转90 ,其它条件不变，请作出相应图形，并直接给出结论，不必说明理由将图中的4DBE绕点b顺时针旋转 （0° v<60°）,其它条件不变，如图2,试回答中的结论是否成立？并 说明理由。EA10例3 （1）操作发现：如图1,在矩形ABCDKBC的中点，将 ABE沿AE折叠后得到 AFE,点F在矩形ABC加部，延长AF交CD于点G 猜想线段GF与GC 有何数量关系？并证明你的结论.（2）类比探究：如图2,将（1）中的矩形ABC改为平行四边形,DG它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由.C 图例4 已知：如图所示）直线MA

3、NB, MAB与NBA的平 分线交于点C ,过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别 相交于点D、E.(1)如图1所示，当直线1与直线MA垂直时，猜想线 段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；(2)如图2所示，当直线1与直线MA不垂直且交点D、E 都在AB的同侧时，(1)中的结论是否成立？如果成立， 请证明；如果不成立，请说明理由；(3)当直线1与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧 时，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理 由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量 关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系.例5在4ABC中，/A=

4、90°，点D在线段BC上，/ iEDB= 2/C, BE!DE垂足为E, DE与AB相交于点F.（1）当AB= AC时（如图1）,/EBB° ;探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；BE（2）当AB= kAC时（如图2）,求记的值（用含k 的式子表示）.例 6 如图 1,在Rt/XABC中，/ACB=90 , CDLAB, 垂足为D,点E在AC上，BE交CDT点G, EF± BE交AB 于点F, AC=mBCCE=nEA（凡n为实数）.试探究线段 EF与EG的数量关系.（1）如图2,当m=1 n=1时，求EF与EG的数量关 系.如图3,当m=1 n为任意实数时

5、，求EF与EG 的数量关系.(3)如图1,当mi n均为任意实数时，求EF与EG 的数量关系.A F DB图3G例7在等腰直角三角形 ABC中，/BAC=90 , AB=AC 直线MNi点A且MIN/ BC以点B为一锐角顶点作RtA BDE/BDE=90，且点D在直线MN±(不与点A重合).如图1, DE与AC交于点P,易证：BD=DPD=DP(1)在图2中，DE与CA的延长线交于点P,则B 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说 明理由.(2)在图3中，DE与AC的延长线交于点 巳BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明.例 8 如图 1,在 RtZXABC中，/

6、 BAC=90 , AD)±BC于点D,点。是AC边上一点，连接BO交AD于点F, OELOB交BC于点E.ac 2OFAB时，求彘的值;AC彘n时，请直接写出(1)求证：ABFS/XCOE;(2)如图2,当。为ac边中点,(3)如图3,当0为AC边中点,OF0E的值.AFEO C图1例9如图1,已知/ MAN=120 , AC平分/ MAN / ABC之ADC=90 ,可以证明： DC=BC AC = AB+AD(1)如图2,把题干中的条件“/ ABCWADC=90 ” 改为/ABC+:! ADC=180 ,其他条件不变，证明结论和 结论仍然成立.(2)如图3,如果D在AM的反向延

7、长线上，把题干 中的条件“/ABC= ADC=90 " 改为/ ABC= ADC 其他条件不变，结论和是否仍然成立？成立，请证明；不成 立，请说明理由.N例10如图，在等边三角形 ABC中，点D在直线BC 上，连接AD,彳/ADN=60 ,直线DN交射线AB于点E, 过点C作CF/ AB交直线DN于点F.(1)当点D在线段BC上，/NDEJ锐角时，如图1, 求证：CF+BE=CD (提示：过点F作FM/ BC交射线AB 于点M(2)当点D在线段BC的延长线上，/ND时锐角时， 如图2;当点D在线段CB的延长线上，/ NDBM屯角时， 如图3,请分别写出线段CF, BE, CD之间的数

8、量关系， 不需要证明.(3)在(2)的条件下，若/ ADC=30 , S-ABC 4m， 贝ij BE=. CD=AAC图2图3CF?M 图1例11已知， AB8等边三角形，点D为直线BC上DEF一动点(点D不与B、C重合).以AD为边作菱形A 使/ DAF=60 ,连接 CF.(1)如图1,当点D在边BC上时，求证：/ ADB之AFC请直接判断结论/ AFCW ACB /DA混否成立；(2)如图2,当点D在边BC的延长线上时，其他条 件不变，结论/ AFCN AC跳/DACM：否成立？请写出/ AFC ZACB / DAN间存在的数量关系，并写出证明过 程；(3)如图3,当点D在边CB的延长

9、线上时，且点A F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形， 并直接写出/ AFC /ACB /DAd间存在的等量关系.图i图2图3例12 (1)阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1, ABC中，若 AB=5 AC=3求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长AD到E,使得DE=AD再连接BE (或将 ACD点D逆时针旋转180°得到 EBD ,把AR AC、2AD集中在4ABE中，利用三角形的三边关系可得 2<AE<8,则1 <AD< 4.感悟：解题时，条件中若出现“中点” “中线”字样,

10、可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分 散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.(2)问题解决:受到(1)的启发，请你证明下面命题：如图2,在4 ABC中，D是BC边上的中点，DEL DF, DE交AB于点E, DF交AC于点F,连接EF.求证：BE+CIF> EF;若/A=90° ,探索线段BE、CR EF之间的等量关 系，并加以证明.(3)问题拓展：如图 3,在四边形 ABDC / B+Z C=180° , DB=DC /BDC=120 ,以D为顶点作一个60°角，角的两边分别 交AB AC于E、F两点，连接EF,探索线段BE、CF、E

11、F 之间的数量关系，并加以证明.ABE图1图2A14例13如果一条直线把一个平面图形的面积分成相 等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条 面积等分线.例如，平行四边形的一条对角线所在的直 线就是平行四边形的一条面积等分线.(1)三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直 线一定是三角形的面积等分线的有;(2)如图1,梯形ABC冲，AB/ DC如果延长DC 到E,使CE= AB,连接AE,那么有 S 梯形 ABCD= ADE. j青你 给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD勺面 积等分线(不写作法，保留作图痕迹)；(3)如图2,四边形ABC珅，AB与CD不平行，SA ADO S

12、A ABC过点A能否作出四边形ABCD勺面积等分 线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能， 说明理由.图1图2阅读下列材料：问题：如图1,在四边形ABCD中，M是BC边的中点, 且AMD 90 ,试判断AB + CD与AD之间的大小关系。小雪同学的思路是：作 B点关于AM的对称点E,连接AE、ME、DE,构造全等三角形，经过推理使问题得到 解决。请你参考小雪同学的思路，探究并解决下列问题：写出上面问题中AB + CD与AD之间的大小关系;如图2,若将amd的度数改为1200 ,原问题中的其他 条件不变，证明： AB 1BC CD>AD ；如图3）若AMD 135）AB 1, BC

13、 2修）求AD的最大值。解决类比探究问题的处理思路1 .若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决. 类比探究常见结构：中点结构常考虑平行夹中点旋转结构特征：等线段共点平行结构作平行，造相似直角结构“斜直角放正”2 .若不属于常见结构类型：根据题干条件，结合分支条件先解决第一问.类比解决下一问.如果不能，分析条件变化，寻找不变特征.结合所求目标，依据不变特征，大胆猜测、尝试、 验证.CDE借助上面填写的内容，做下面的小题【试题1】如图1在等腰直角 AB/口等腰直角中，CD>BC点C, B, D在同一直线上，M是AE的中点, 易证 MDL MB MBMB(1)如图2,将图1中的 CD曦

14、点C顺时针旋转45° , 使CDE勺斜边CE恰好与 ABC勺边BC垂直，题干中的 其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？ 将图2中的4ABC绕点C逆时针旋转大于0°且力首先需要证明图1中的结论.6由M是AE的中点，AB/D DE发现有平行夹中点结构,延长BM交DE于点N可以得到18AB阵 AENIM进而得至|J BM=MNAB=BC=EN ，DN=D B.DBNi:等腰直角三角形,，MDLMB MD=MB(1)图1和图2中没有发生变化 的是M是AE的中点.AB/ DE.分析AB/ZCE补全“平行夹中点” 的结构，照搬图1中的证明思路.延长BM交CE于点N,连接BD DN能够

15、得到 AABM 右zXENM,进而得到BM=M;N进一步证明 BCD2 NED可以得到aDBra等腰直角三角形，得到结论MD ±MB MD=MB(2)图2和图3两个等腰直角三角形没有变化，M是AE 的中点也没有发生变化，所以可以照搬(1)中的证明思 路.CDBA第一步构造“平行夹中点”的辅助 线，过点E作AB的平行线，交BM 的延长线于点N,连接BD DNEN/BCD=NED请在图中给出简要证明；第四步根据 DBh等腰直角三角形，得到结论MDLMBMD=M B【试题2】如图1,已知/ MAN120° , AC平分/ MAN /ABe/AD(=90° ,可以证明 D

16、CNBC；AC= ABAD(1)如图2,把题干中的条件“/ AB(N/AD(N90° ”改 为/AB(+/AD(N180° ,其他条件不变，证明结论和结 论仍然成立.(2)如图3,如果D在AM的反向延长线上，把题干中的 条件“/ AB(N / AD(N90° ” 改为 / AB(N / ADC 其他条件不变， 结论和是否仍然成立？成立，请证明；不成立，请1.弄清题干中结论是如何证明的，主要利用的特征为角平分线，以及含有30°角的直角三角形.角平分线的性质得到DGBC结论成立，利用含30° 角的直角三角形中AB 2 AC , AD ： AC证明结

17、论成立.2 .第二问与第一问相比，垂直、直角三角形特征已经变 化，但 /MAN120。，AC平分/ MAN殳有发生变化， 属于不变特征，考虑角平分线的性质，构造与图1 一致的三角形，添加辅助线M 冰证明的路线图为电第一步：辅助线.幺工一N第二步：由题干可知AC和AE AF 的关系是第三步：zXCEW（条件是）,得至ij ED=FB CD=CB第四步：AC=AE+AF=FB+AD+AF=AD+ABD均成立.3 .不变特征 2没有发生变19化，照搬上一问的证明思路.第一步：辅助线)N 23第二步：由题干可知AC=AE+AF第 三 步：第四步：结论成立，结论变为 【试题11】在等腰直角三角形 AB计

18、，/ BA(=90° , ABAC直线MN1点A且MIN/ BC以点B为一锐角顶点 作RtZBDE /BD£90° ,且点D在直线MMk (不与点 A重合).如图1, DE与AC交于点P,易证：BD=DP(1)在图2中，DE与CA的延长线交于点P,则BDOP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说 明理由.(2)在图3中，DE与AC的延长线交于点P, BD与DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明.方法一:_JT先梳理易证的思路，“斜直角放正”，过点D 作DF MN线段AB于点F；发现等线段共点，考虑“旋转结构”，可得 DFBi ADAIP所以BD=DP 梳理路线图:过D作DF± MIN线段AB