五年级奥数专题图形的计数

1、九图形的计数（A）年级班姓名得分OA,这样图AAAACAB rC/八B6.在下图中,所有正方形的个数是_一、填空题1. 下图中一共有（）条线段2. 如右上图,O为三角形AIAA12的边AA2上的一点,分别连结0中共有三角形3. 下图中有个三角形.4. 右上图中共有梯形.5. 数一数（1） 一共有（）个长方形. 一共有（）个三角形.7. 在一块画有4 4方格网木板上钉上了 最多可以围出个.25颗铁钉（如下图）,如果用线绳围正方形，8. 一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板,上面有4 4个钉（如右图）.以每个钉为PQ1OXNWRYVVVSTUFG5 H1 I顶点，你能用皮筋套出正方形和长方形共 个.

2、9. 如下图,方格纸上放了 20枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有个.个小立方体堆成的10.数一数,下图是由.要注意那些看不见的.二、解答题11.右图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比下图中，AB CDyE现在都是由边312.13.厘米、8厘米、9厘: 是涂有红颜色的小正 不同的正方形，总共14. 将四边形？MNS相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少? 殳的红色、白色两种正方形分别组成）方形、它们的特点都是正方形的都是涂有白色的小正方形，要组成这样?白色正方形多少个？点作边的平行线，C的厘米、4小正方形都个大小在所得下图中有M/九图形的计数（B）年级班姓名得

3、分一、填空题1. 下图中长方形（包括正方形）总个数是 .2.右上图中有正方形 个,三角形个,平行四边形个,梯形个.7. 下图是由小立方体码放起来的,其中有一些小方体看不见图中共有 小立方体8. 右上图中共有正方形.9. 有九张同样大小的圆形纸片，其中标有数码“1”的有1张；标有数码“ 2”的有2 张；标有数码“ 3”的有3张，标有数码“ 4”的也有3张。把这九张圆形纸片如下图所 示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许靠在一起，问：如果M位上放置标有数码“ 3”的纸片，一共有 中不同的放置方法.10. 如下图，在2×2方格中，画一条直线最多可穿过3个方格，在3×3方格中，画一

4、条直线最多可穿过5个方格. 那么10×10方格中,画一条直线最多可穿过 方格.二、解答题心11. 把一条长15cm的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线段可以 组成多少个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等时，我们称这两 个三角形是相同的.）12. 有一批长度分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 和11厘米的细木条,它们的数量都足 够多,从中适当选取3根木条作为三条边.可围成一个三角形，如果规定底边是11厘米长, 你能围成多少个不同的三角形？13. 下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点 算一个）,以其中不在一条

5、直线上的3个点为顶点，可以构成三角形.在这些三角形中，与阴 影三角形有同样大小面积的有多少个？14. 有同样大小的立方体27个,把它们竖3个,横3个,高3个,紧密地没有缝隙地搭 成一个大的立方体（见图）.如果用1根很直的细铁丝扎进这个大立方体的话，最多可以穿 透几个小立方体？J-答案1.30由例1注可知图形中每边有3+2+仁6（条）线段，因此整个图形中共有 6 5=30条线 段2. 37将-AAA12分解成以OA为公共边的两个三角形.OAA6中共有5+4+3+2+仁15个）三 角形,OAA2中共有6+5+4+3+2_+1=21（个）三角形,这样,图中共有15+21+仁37（个）三角形.3. 1

6、5DC有有6 3=18（个）梯形.这样的问题应该通过分类计数求解.此题中的三角形可先分成含顶点 C的和不含顶点 C的两大类含顶点C的又可分成另外两顶点在线段 AB上的和在线段BD上的两小类分类 图解如下：所以原图有(3+2+1)+(3 =15(B4. 18B梯形一共有三行5. B08,36（1）因为长方形是由长和宽组成的，因此可分别考虑所有长方形的长和宽的可能种数 按照前面所介绍的线段的计数方法可分别求出长和宽的线段条数，将它们相乘就是所有 长方形的个数因为AB边上有8+7+6+ +2+1=-8 =36条线段，AD边上有2+1=3条线段，所以图中 2一共有36 3=108个长方形. 三角形一共

7、有6行，每行都有3+2+1=6（个）,所以一共有6 6=36（个）三角形.6. 30由例5注可知整个图形中共有12+22+32+42=30个正方形.7. 50此类问题一般用分类方法计数.对正方形的边长分八类计数如下： 边长为AB的正方形有16个；边长为AC的正方形有9个；边长为AD的正方形有4个；边长为AE的正方形有1个；边长为DF的正方形有9个；边长为CF的正方形有8个；边长为BF的正方形有2个； 边长为CG的正方形有1个.所以,最多可围出50个正方形.8. 44因为正方形是特殊的长方形，所以可以把正方形看成长方形，这样就不必分别求正方形和长方形的个数，仍用分类计数的方法求解先考虑有一组对边

8、平行于BC的长方形有多少个.这一类按其水平边的位置可分为 6 小类,即位置在BR FE、EC FC BE BG同样,其竖直边也分为6类.所以这一类有6 6=36 个长方形另一类是没有边平彳!于BC的.这一类又分类两小类,分解图如下页图所示,其中分别 有6个和2个长方形.所以,9. 2F方形的面积大小分类计数./八、:目邻两点的距离为1,则正方形面积为1的有9个；方形和长方形设面积为2的有4个； 面积为5的有2个； 面积为面积为 .所以，共有9+4+2+4+2=21个正方形.10. 30将原立体图形从左至右分类计算，共有11+7+5+7=30个.11. 白色小三角形个数=1+2+3+6=(I 6

9、) 6 =21,2黑色小三角形个数=1+2+3+7= (I 7) 7 =28,2勺有U有所以它们的比=21=3.28412. 解法一本图中三角形的个数为(1+2+3+4) 4=40(个).下面求梯形的个数.梯形由两底唯一确 定.首先在ABCDEF,MN中,考虑两底所在的线段,共有(4 3) 2=6(种)选法；对上述四条 线段中确定的两条线段，共有10 (10=4+3+2+1)个梯形.共60个梯形.故所求差为20.解法二在图中可数出4个三角形,6个梯形，梯形比三角图形图形多2个.而在题图中，这 种恰有10个.故题图中，梯形个数与三角形的个数之差为 2 10=20(个).13. 边长2厘米的正方形

10、：2 2=4(个)红色边长4厘米的正方形(4-1)4=12 (个)红色(4-2)(4-2)=4(个)白色边长8厘米的正方形(8-1)4=28(个)红色(8-2)(8-2)=36(个)白色边长9厘米的正方形(9-1)4=32 (个)红色(9-2)(9-2)=49(个)白色所以,红色小正方形共有4+12+28+32=76个)白色小正方形共有4+36+49=89(个)注本题的要求是由边长为1厘米的红色和白色两种正方形，分别组成边长是2厘 米,4厘米,8厘米,9厘米的大小不同的正方形，可以看作方阵问题来解.四周的小正方形 是涂红色的，可看成是空心方阵，因此,涂红色正方形的个数等于4 (n-1).其他小

11、正方形 是涂白色的，可当作实心方阵，所以，涂白色的正方形的个数等于(n-2) (n-2).比如，由边长为1厘米的正方形组成边长为9厘米的正方形，涂红色的小正方形的个数是:4 (9-1)=32(个)，涂白色的小正方形的个数是:(9-2)(9-2)=49(个).14. 将平行四边形分为三类：尖角在上、下方；尖角在左下、右上方；尖角 在左上、右下方.就第类而言：0型6个；7型3个，与其对称的3个；一 型1个，与其对称的1个型1个；共15个.同理,第、类也分别含 15个，故上述三类平行四边形共 45个.注这样数平行四边行，很麻烦,又易出错.我们试图找到一种对应关系:先考虑任一边不与BC平行的平行四边形

12、，延长各边必与BC有4个交点，特殊情况下，第二个交点与第三个交点重合；反过来，BC上的任意四点或三点决定一个平行四边形，也就是说，边不与BC平行的平行四边形的个数与BC上的四交点组和三交点组的数目一样多。由于BC上有5个交点，其中可构成5个4点组；10个3点组，即边不平行于BC的平行四边形有15个。同理分别考虑边不平行 AB CD的平行四边行。由此可知，共有45个平行四边形。 答案1. 90利用例1和例4公式可直接计算:(5+4+3+2+1) × (3+2+1)=15×6=90(个)注注意，由长方形、正方形的意义可知，正方形一定是长方形，但反之不然 故求长方形个数时，不必把

13、正方形分幵考虑2. 3个正方形;18个三角形；6个平行四边形；8个梯形.3. 18根据这个图形的特点,我们先数出下图中长方形的个数为(2+1) × (2+1)=9个；然 后在图 的内部添上一个长方形得到图(2).这时新产生的长方形有(2+1) × (2+1)=9个. 至此已将图(1)还原为题图，同时题图中的长方形已全部数完因此，原图中共有长方形(2+1) × (2+1)+ (2+1) × (2+1)=18 (个).(1) (2)4. 16具体分法如下图所示.基中小三角形有8个,由两个小三角形组成的三角形有4个,由 四个小三角形组成的三角形有4个,所以共有

14、三角形8+4+4=16(个).5. 72把图中最小三角形作为基数，然后按含有几个基数的三角形分类进行解答.含一个基数的三角形，共有16个；含两个基数的三角形，共有24个；含四个基数的 三角形，共有20个；含八个基数的三角形，共有 8个；含十六个基数的三角形，共有 4 个.因此，整个图形中共有16+24+20+8+4=72个)三角形.6. 6图中的三角形可分成两种，一种是尖头向上的，一种是尖头向下的.从图上可以看出， 每种三角形必须涂成同一颜色.为了使涂红色的三角形比涂蓝色的三角形多，尖头向上的 三角形要涂红色.每一横排，尖头向上的三角形要比尖头向下的三角形多一个，共有6排，因此，涂红色 的比涂

15、蓝色的三角形多6个.7. 38将原立体图形从左至右分类计算,共有16+9+5+7+1=38个.8. 115单独的一个4×4的方格中有12+22+32+42=30个正方形，两个4×4的方格如原图重叠 后,重叠部分有5个正方形.所以原图中一共有30×4-5× 3=115个正方形.9. 6根据标有相同数码的纸片不许靠在一起的条件，当M位置上放标有数码“ 3”的纸片时，其余两个标有数码“ 3”的纸片，只能放置在下面左右两边两个圆圈内.如下图所示.这样圆圈绕M圆紧接着4M的六个圈旋转一周，回到初始状态，可知共有六种不同的放 置方法.MVATr10. 19如果直线与

16、大正方形的两横边都有交点,则与所有的横边产生11个交点,与竖边至多 9个交点,共20个交点人4如果直线与大正方形的一横边和一竖边有交点，则与横边至多产生10个交点,与竖边 至多产生10个交点,共20个交点.20个交点，将直线分成21部分,其中在大正方形有内有19部分,故至多穿过19个方 格注穿过一个方格，在直线上截出一条线段，线段由直线上的交点决定，关键是求交点个数对小学生来说，通常总是从简单情况入手，即由1×1方格,2 ×2方格,3 ×3方格等的情况，归纳出一般的规律，从而得出10× 10方格的结果请同学们用归纳法11. 最大边为7时，另两边之和为8,

17、可构成4个(1+7,2+6,3+5,4+4)不同的三角形； 最大边为6时，另两边之和为9,可构成2个(3+6，4+5)不同的三角形；最大边为5时, 可构成1个(5+5)不同的三角形.所以一共可组成7个不同的三角形.12. 由三角形的一边为11厘米,及其他边长必为1,2,.，11厘米，根据三角形两 边之和大于第三边的性质，可知两边之和应介于 12厘米和22厘米之间(包含12厘米和 22厘米)这样,共可围成36个不同的三角形.12:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6,6)；13:(2,11),(3,10),(4,9),(5,8),(6,7)；14:(3,11),(4,10),(5,9),(6,8),(7,7)；15:(4,11),(5,10),(6,9),(7,8)；16:(5,11),(6,10),(7,9),(8,8)；17:(6,11),(7,10),(8,9)；18:(7,11),(8,10),(9,9)；19:(8,11),(9,10)；20:(9,11),(10,10)；21:(10,11)；22:(11,11)所以，一共可以围成36个不同的三角形.13. 为方便起见，不妨设原正方形