九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题

1、新人教版九年级数学下册第26章反比例函数知识点归纳和典型例题（一）知识结构（二）学习目标1 .理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式ky =久（k为常数，比°）,能判断一个给定函数是否为反比例函数.2 .能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理 解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点.kP 二3 .能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数x （k为常数，上二0）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题.4 .对于实际问题，能 找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，

2、解决实 际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.5 .进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认 识数形结合的思想方法.（三）重点难点1 .重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握 和运用.2 .难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握.二、基础知识（一）反比例函数的概念k y = 11-11. 工（化二0）可以写成，二口 （上不 口）的形式，注意自变量 X的指数为一 1, 在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数小于口这一限制条件；k2. 工（上。）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解

3、析式中的k,从而得到反比例函数的解析式；丁二一3. 反比例函数工的自变量五黄° ,故函数图象与x轴、y轴无交点.（二）反比例函数的图象ky=-在用描点法画反比例函数工的图象时，应注意自变量 X的取值不能为0,且X应对称取点（关于原点对称）.（三）反比例函数及其图象的性质上y匚一1 .函数解析式： X （上手口）2 .自变量的取值范围：XWU3 .图象：（1）图象的形状：双曲线.川越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直.同越小，图象的弯曲度越大.（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线.当化 > °时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内

4、，y随x的增大而减小；当归:°时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大.（3）对称性：图象关于原点对称，即若（ a, b）在双曲线的一支上，则（一值，一b） 在双曲线的另一支上.图象关于直线,=士工对称，即若（a, b）在双曲线的一支上，则（5 ,也）和（-6 , 一口） 在双曲线的另一支上.4 . k的几何意义如图1,设点P (a, b)是双曲线1上任意一点，作 PAx轴于A点，PBy轴于B点，则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是2).14 / 12如图2,由双曲线的对称性可知， P关于原点的对称点 Q也在双曲线上，作QC XPA的

5、延长线于C,则有三角形PQC的面积为同5 .说明:(1)双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.(2)直线A =此工与双曲线工的关系:当片白G)时，两图象没有交点；当 为片时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.(3)反比例函数与一次函数的联系.(四)实际问题与反比例函数1 .求函数解析式的方法:(1)待定系数法；(2)根据实际意义列函数解析式.2 .注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上.(五)充分利用数形结合的思想解决问题.三、例题分析1.反比例函数的概念(1)下列函数中，y是x的反比例函数的是().A. y=3x

6、 B.7-3二2戈c 3xy=1(2)下列函数中，y是x的反比例函数的是().111 I了 二 一丁尸二一r尸二i 十一A.4 五B. 工C,工-2D. X答案：(1) C; (2) A.2.图象和性质(1)已知函数-=苦+1)12是反比例函数,若它的图象在第二、四象限内，那么 k= .若y随x的增大而减小，那么 k= .y -(2)已知一次函数 y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数 工 的图象位于(3)若反比例函数k经过点(一1 , 2),则一次函数¥二 S2的图象一定不经 过第 象限.(4)已知a b<0,点P (a, b)在反比例函数 天的图象上，则直线尸&qu

7、ot;事工+不经过的象限是().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限ky =(5)若P (2, 2)和Q (m,一加)是反比例函数 工图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过().A.第一、B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限（6）已知函数y = k（x-i）和3.函数的增减性y = -工（kR）,它们在同一坐标系内的图象大致是答案：（1）一21 ； （2）三；(3)四；(4) C; (5) C; (6) B.（1）在反比例函数, 工y的图象上有两点义词乃），*（电，加，且工勺）。,则再一月的值为（）.A.正数B.负数C.非正数D.非负数y=（2）在函

8、数工（a为常数）的图象上有三个点则函数值乃、%、内的大小关系是（）.C.乃冯凡D.y （3）下列四个函数中： ）二5工；1y =；y随x的增大而减小的函数有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个时，这个反比例函数的函数值 y随x的增大而（填揩大”或减小”）.x>0尢了 二一（4）已知反比例函数工的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当答案：(1) A; (2) D; (3) B.注意，（3）中只有是符合题意的，而是在每一个象限内” y随x的增大而减小.解析式的确定（1）若厂与工成反比例，工与工成正比例，则y是2的（）.A.正比例函数B.反比例函数C. 一次函数D.不能确

9、定k八一，“一一一，”一”，尸二一人、（2）右正比例函数 y=2x与反比例函数工的图象有一个交点为（2, m）,则m=，k=,它们的另一个交点为触_ m（3）已知反比例函数, 工的图象经过点（-2，-盼，反比例函数 , 工的图象在第二、四象限，求m的值.y（4）已知一次函数 y=x+m与反比例函数的+1工（阀二一1）的图象在第一象限内的交点为P (x 0, 3).求x0的值；求一次函数和反比例函数的解析式.贝里克）6C川分卡中）已知药物燃烧时,（5） 为了预防 非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒.室内每立方米空气中的含药量 y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后, 与x成

10、反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为毫克.请根据题中所提供的信息解答下列问题:药物燃烧时y关于x的函数关系式为，自变量x的取值范围是;药物燃烧后y关于x的函数关系式为研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过分钟后，学生才能回到教室;研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么?答案：（1） B；二 , -（3）依题意，物=（一2）乂（一引且切 0 ,解得肉二T为十物二生i;（4）依题意,9/二掰+1口0；解得3一次函数解

11、析式为 尸工+2 ,反比例函数解析式为了V = 一K（5）4 , 0<j<8 ,48y-5 :冲工30;消毒时间为 3483 八-3x-=1325>10（分钟），所以消毒有效.面积计算3不二一一（1） 如图，在函数工的图象上有三个点 A、B、C,过这三个点分别向 x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与 x轴、y轴围成的矩形的面积分别为 $、$、/A.B.VA0D.第（2）题图C.风1厂二一（2） 如图，A、B是函数工的图象上关于原点 O对称的任意两点，AC/y轴,BC/X轴，4ABC的面积S,则（）.A. S=1B. 1<S<2C. S=2D. S>2

12、m(3)如图，RtAAOB的顶点A在双曲线工上，且SA AOB=3 ,求m的值.一一,F=二一一八、一一(4) 已知函数T的图象和两条直线 y=x, y=2x在第一象限内分别相交于 P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1 , P1R1 ,垂足分别为 Q1 , R1 ,过P2分别 作x轴、y轴的垂线P2 Q 2 , P2 R 2 ,垂足分别为 Q 2 , R 2 ,求矩形 O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小.17 =一(5)如图，正比例函数 y=kx (k>0)和反比例函数工的图象相交于 A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B,连接BC,若4

13、ABC面积为S,则S= .第(5)题图第(6)题图(6)如图在Rt ABO中，顶点A是双曲线r与直线¥ =-工+ (*+1)在第四象限3的交点，ABx轴于B且SAABO=1,求这两个函数的解析式；求直线与双曲线的两个交点 A、C的坐标和4AOC的面积.(7)如图，已知正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点,一 _八- J一，y=-、，一,、点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数 K (k>0, x>0)的图象上，点P (m, n)一，尸二一，一，一 一、，八 j 一，是函数 K (k>0, x>0)的图象上任意一点， 过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F

14、,设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为 S.求B点坐标和k的值;2时，求点P的坐标;写出S关于m的函数关系式.答案：(1) D;(2) C; (3) 6;(4),矩形O Q 1P1 R 1的周长为8, O Q 2P2 R 2的周长为6五，前者大.(6)双曲线为直线与两轴的交点分别为(0, 2)和(一2 , 0),且a(1, -3)和c(-3 ,1),因此面积为4. B (3, 3),D 2 时，E (6, 0),.综合应用（1）若函数y=k1x （k1加）和函数¥* （k2而）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2 （A.互为倒数B.符号相同C.绝对值相等D.符号相

15、反m1/ =（二）（2）如图，一次函数卜=飙+*的图象与反比例数M的图象交于A、B两点：Ax的取值范围.求反比例函数和一次函数的解析式; 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的（3）如图所示，已知一次函数y =（k%）的图象与x轴、yy轴分别交于A、B两点，且与反比例函数m工 （m4）的图象在第一象限交于 C点，CD垂直于x轴，垂足为 D,若OA=OB=OD=1 .求点A、B、D的坐标;求一次函数和反比例函数的解析式.(4) 如图，一次函数 ”胡丑 的图象与反比例函数 工的图象交于第一象限 C、D两点，坐标轴交于 A、B两点，连结OC, OD (O是坐标利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值;双曲线上是否存在一点 P,使得4POC和APOD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由.