练习3答案导数的运算法则

1、练习3导数的运算法则1 .已知函数f(x)=ax2 + c,且，(1) = 2,则a的值为()A. 1B. 2C. 1D. 0解析：选 A .1 f(x)= ax2+c, . fz (x)=2ax,又, f' (1) = 2a,2a=2,a= 1.2 .函数y= (x+1)2(x1)在x= 1处的导数等于()A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选 Dy' =(x+1)2，(x1)+(x+1)2(x1)' = 2(x+1) (x1) + (x+1)2= 3x2 + 2x 1, ' y |x=1 =4.3 .函数y= (2 018 8x)8的导数为()A. y&#

2、39; =8(2 018-8x)7B. y' =- 64xC. y' = 64(8x2 018)7D. y' = 64(2 018-8x)7解析：选 C y' =8(2 018-8x)7 (2 018 8x)'=-64(2 018-8x)7=64(8x-2 018)7.4,曲线y= x3-3x2+1在点(1, 1)处的切线方程为()A . y= 3x 4B. y= 3x+2C. y= 4x+3D. y=4x5解析：选B二点(1, 1)在曲线y=x33x2+1上，该点处切线白斜率为 k = y' |x=1 = (3x2 6x) | x=1 =3 6

3、 = 3, 切线方程为 y + 1 = 3(x 1),即 y= 3x + 2.1 一 ，一 5.设曲线f(x) = axln(x+1)在点(1, f(1)处的切线与y=2x平行，则a=()A. 0B. 1C. 2D. 3解析：选B f' (x)=a 十，由题意得f' (1) = 1， x十12即 a-1= "',所以 a= 1.2 2c 1 .6 . (2017全国卷I )曲线y=x2 + 一在点(1,2)处的切线万程为x 1解析：因为y =2x质，所以在点(1,2)处的切线万程的斜率为y' |x=1 =2X 11=1 ,x所以切线方程为 y2 = x

4、1,即x y+1 = 0.答案：x-y+1 = 07 .已知函数 f(x)=f' 4 cos x + sin x,则f 的值为.一,一一，一，兀斛析：- f (x)=f 4 sin x+cos x,f 4 =-f,；乎+察得 f，4 =72-1. . f(x)=(也一1)cos x+sin x. f 4 = 1.答案：18 .右曲线f(x) = xsin x+ 1在x=2处的切线与直线 ax+2y+1 = 0互相垂直，则头数解析： 因为 f' (x) = sin x + xcos x,所以 f' 2=呜 +pos2= 1.又直线ax+2y+1=0的斜率为去a所以根据题意

5、得1X a = 1,解得a=2.答案：29 .求下列函数的导数：(1)y= x ln x;(2)y= (x2+1)(x1);x2x 3(3)y=;(4)y= 21sin xx2+ 3(5)y= x5+x2;(6)y = cos x sin 3x.解：(1)y'=(而In x)'=(5)' (ln x)27x-x(2)y' =(x2+1)(x1)'= (x3-x2+x-1)/ =(x3)，一(x2)，+(x)，一=3x2 2x + 1.y'x2 ' sin xx2 sin x 'sin2 x2xsin xx2cos xsin2x1

6、x2+ 3 x+ 3 2x - x2 6x+ 3y' =x2+32=x2+ 321(5)y' = a/i+x2 +x(1+x2)2/1 c Kc .=1 +x2 + x 2 (1 + x2) 2 (1 + x2)1o r=# + x2 + x 2 (1 + x2) 2 2x= q1+x2+x21 + 2x21 + x21 + x2(6)y' = (cos x)' sin 3x+cos x (sin 3x) =sin x sin 3x+ cos x cos 3x (3x)'=sin x sin 3x + 3cos x cos 3x.10.已知函数 f(x)

7、=4x, g(x)=aln x, aC R.若曲线 y=f(x)与曲线 处有相同的切线，求 a的值及该切线的方程.y= g(x)相交且在交点1解：f' (x) = +，2 .x,、ag (x)=(x>0), x、'设两曲线的交点为P(xo, y0),xo= aln xo,则 1 a解得 a = e， x0=e2,2 j'xox0'所以两条曲线交点的坐标为(e2, e).切线的斜率为 k=f'便)=工2e所以切线的方程为y-e= J(x e2), 2e即 x 2ey+ e2= 0.11.函数 y= sin x(cos x+ 1)的导数是()A . c

8、os 2x cos xB. cos 2x+ sin xC. cos 2x + cos xD. cos2x + cos x解析：选 C y' = (sin x)' (cos x+1)+sin x(cos x + 1)'=cos x(cos x + 1) + sin x( sin x)=cos 2x + cos x.12,若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f' (1)=2,则 f' (1)等于(B. 2A. - 1C. 2D. 0解析：选B =f' (x)=4ax3+2bx为奇函数， f' ( 1)= f' (1) = -

9、2.13.函数f(x)=xex 1在点(1,1)处切线的斜率等于()B. eA. 2eD. 1C. 2解析：选C 函数的导数为f' (x) = ex 1解析：由题知y- =-12 V，=3x2-2x+ 2,所以两曲线在x= x0处切线的斜率分别为 七 xx0 + xex 1= (1+x)ex 1,当x=1时，f' (1)=2,即曲线y=xex 1在点(1,1)处切线的斜率k=f' (1)=2,故选C.14.若 f(x)=x2x4ln x,则 f' (x)>0 的解集为()A. (0,)B.(1,0)U(2, i )C. (2,+oo)D.(-1,0)解析：

10、选 C.1 f(x)= x2 2x 4ln x,. f (x) = 2x-2-4>0, x整理得 x+1 x2 >0,解得1vxv0 或 x>2, x又 f(x)的定义域为(0, +8), x>2.115.已知曲线 y1 = 2 与y2=x3x 0 2x。+2.x2+2x在x = x°处切线的斜率的乘积为 3,则x0 = x.函数f(x)在x=1处的切线方程为 y=x-2, ，切点为(1, 1).，a+c+1 = - 1., f' (1) = 4a+2c, .4a+2c= 1. .a=5，c= -9 22 函数 f(x)的解析式为 f(x) = |x4

11、-9x2+ 1.918.设抛物线C: y=x2 + 2x 4,过原点。作C的切线y=kx,使切点P在第一象限.(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.解：(1)设点P的坐标为(x1 , y1),则y1 = kx 1,2 . 9y= 一 x2 + 2x1 一 4,一一 一 八9代入，得x2+ k-2 x1+4=0.点P为切点，9 cA= k 2 2 16= 0,-17 ,1得k二万或k = 2.当 k = 17时,x1=- 2, y1=- 17.当 k = 2时，x = 2, y1= 1.点P在第一象限，1所求的斜率k=2.(2)过点P作切线的垂线，其方程为y= 2x+5.将代入抛物线方程，得x2- ：23x+ 9= 0.设Q点的坐标为 仅2, y2),即2x2=9,9. x2 = 2，y2= 4,9.Q点的坐标为9，一 4 .3x0 2x0+2,所以xg=3,所以 x0=1.答案：1116.已知函数f(x)=exmx+1的图象为曲线 C,若曲线C存在与直线y=2x垂直的切线，则实数m的取值范围是.解析：f(x)= ex mx + 1, f' (x) = ex m,1曲线C存在与直线y=2x垂直的切线，f' (x) = ex m = 2 成立，.m = 2+ex>2,故实数m的取值范围是(2,