(四)一维射影变换习题答案

1、（四）一维射影变换习题答案1求以下重叠一维基本形的射影变换。自对应点的参数（坐标） ） ） 解：）是二重根）又可写作求自对应元素令有，即，即2设XYZ是坐标三角形，。YO交X于A，P是YZ上的动点，PO交XY于Q，QA交YZ于，若坐标分别为、。求射影对应的方程与不变点。解：A点的坐标：Q点的坐标：点的坐标：射影对应式为不变点为是二重根，即是不变点。3设A、B、C是不同的共线点，在射影变换里A、B、C分别对应B、C、A。求证：有两个不同的不变点。解：设A、C、B的坐标为a，c，a+cA、B、C的参数为0，1，B、C、A的参数为1，0射影对应式为则有或将对应点的参数代入则有 变换式为，即求不变元素

2、令有为二虚根，即有两个虚的不变点。4设射影变换为抛物线性的自对应元的参数为。求证：常数。证明：k其中有二重根5设、，、是射影变换的两对对应点，E是自对应点，点列底为，、是通过E的直线上的任意二点，交于，交于。求证：与交于另一个自对应点。证明：确定一个射影对应，又有一公共元素是透视对应对应直线交点共线是直线设与交于F则F是射影对应中的自对应点。如图：6设是间底点列，无穷远点当作或的点时，其对应点分别为A、。求证：常数（其中是对应点）。证明：常数7设A、B、C是不同的共线点且有求证：X与P重合。（提示用第3题）证明：由第3题，对应式为设P的坐标为则Q的参数为R的参数为X的参数为X与P重合8设E是重

3、叠射影对应点，列重合的自对应点，且又当看作是第一点列的点时求证：证明：由第5题，与交于自对应点，而自对应点就一个与交于E如图，由完全四点形的调和性，得（五）一维基本形的对合习题1求对合的方程，它被两对元素2与2与1与4所决定。解：对合方程为将对应点代入，解出：对合方程为2求对合方程，它的二重点的参数为（1）2与3 （2）的根 解：设对合方程为，二重点参数为a，b，则有，（1）将对应点代入得 即为所求。（2）则有即为所求。3求对合的二重点的参数，这个对合是由满足以下方程的对应点偶所给定（1）与 （2）与 解：（1）对方程有对方程有令，解得二重点参数为。（2）方法同上。解得对合方程为二重点参数为，

4、1/2。4设A、B、C、D是共线点，且求证：P有两种可能位置且与A、B调和共轭。证明：设A、B、C、D为a，b，a+b，a+b设P为a+bP有两种位置参数，且，即得证。5设A、B、C是共线点，满足求证：是一个对合的对应点偶。证明：设A，B，C，分别为a，b，a+b，a+b，a+b，a+b =2 =-1先由AA，CC决定一个对合，当时，B的参数为，B的参数BB满足由AA，CC决定的对合对应式是一个对合的对应点偶。6写出狄沙格第二定理的对偶定理。答：不在边上的一个点与完全四线形的三对对顶点的连线属于同一对合的三对对应直线。7求证：一个线束的对合对应有一对互相垂直的对应直线，问能不能有更多的垂直对应

5、直线。证明：可以将一束直线的束心移到原点，则对应直线的斜率满足关系式设有一对对应直线互相垂直，如果有，此题得证。设这对互相垂直的对应直线斜率为，根号中为正数，k一定有解对合对应线束一定存在一个对互相垂直的对应直线。如果有两对互相垂直的对应直线，他们斜率为则方程经化简有即任一对对应直线都垂直。8求证：任何射影变换，如果不是对合，则必是两个对合的乘积。证明：设不是对合对应，也不是I（）有令使，则是对合其中，则也是对合从而得证是两个对合的乘积。（六）二维射影变换习题1求一个射影变换使分别变换为。解：将四对对应点代入非奇线性变换式中，可解得变换式为2求使三点分别对应三点且使对应无穷远直线的射影对应。解

6、：将三对对应点代入变换式中，解得在将一对对应直线的线坐标（1，1，1）（0，0，1）代入中，有变换公式为令变换公式为3（）求射影变换的逆，并分别用齐次坐标与非齐次坐标表示。（）问（）中每一平面上的影消线是什么？进一步思考一般情况中影消线如何表示？解：（）逆为：非齐次坐标式为：，中影消线为：中影消线为：（）一般情况中影消线为：4求射影变换、的不变点。解：即是三重根时，行列式秩为1。是不变点列，即,轴。5设一射影变换只有三个不共线的不变点，求证：这个变换可以写为、其中a,b,c是两两不同的非零数。证明：可以适当选取坐标系，使三个不变点的坐标分别为（0，0，1）、（1，0，0）、（0，1，0）。证明：将此三点代入射影变换式中，有，令只使三点不变的射影变换可表示为、的形式。6是奇异的，即其行列式为