罗素悖论提出的背景研究

1、精选公文范文管理资料罗素悖论提出的背景研究1902年6月16日，罗素的着作数 学原理(Principles of Mathematics)发表 前夕，他给弗雷格写了一封信，信中写道：“我在读您的着作 算术基础 (Grundgesetze derArithmetik)时发现一个困 境。”他提到的这个困境可以描述为：设谓词 w表示：不能描述自己的谓词。那 么w能不能描述自己呢？无论肯定还是否 定的回答都会推出反面，因此我们只能说 w 不是一个谓词。罗素从这个困境想到了另一个看似不 同但更一般的问题：由所有不属于自己的集 合组成的类也存在同样的困境。因此，由这 些不属于自身的集合(每个都是一个总体)

2、形成的类(总体)是不存在的。这样，我们 可以得出结论：按照这种方式定义形成的类 不能作为一个总体。实际上，他们是两个截然不同的问题。 第一个问题涉及到谓词， 一个不能描述自己的谓词。正如弗雷格在关于概念和对象的理 论中描述的那样，他在给罗素的回复中也强 调，如果严格区分个体能够满足的谓词和谓 词能够满足的（高阶）谓词的话，那么考虑 自己描述自己的谓词是没有意义的。不能描述自己的谓词”是不存在的，因此，悖论 也就不会发生。当时，罗素并没有接受概念需要分类型 的想法，而仅仅在数学原理的附录B中 提到这种可能性。对于罗素来说，第一个悖 论是最重要的。他只是在考虑其他理论，比 如弗雷格的理论时，才在这

3、些理论中描述第 二个悖论的相关形式。相反地，弗雷格却立 刻意识到第二个悖论揭示出了他的系统中 存在的问题。仅仅6天之后，6月22日，弗雷格 马上给罗素写了回信，信中这样写道：看来一 个等式的一般形式不一定总能写成赋值过 程的等式，我提出的基本定律V 是错的，§ 31中的解释也不足以保证我给出的 符号组合在任何情况下都有意义。罗素的确是在考虑康托定理时想到了这个悖论。在康托定理中，如果万有集存在， 那么对于任意一个集合， 都不存在它的哥集 （所有子集的集合）到该集合的一一映射。 在康托定理的证明中，所有不包含自身的集 合构成的悖论集是在万有集的哥集上添加 得到的。然而罗素自己并没有意识

4、到康托集 合中的这个问题，当他最早在数学原理中提到这个悖论时，类被称为类概念”，实际上是用来表示类中的元素。类中的元素可以是一个或多个，而恰恰是在只有一个元 素的类中，这个元素可以作为这个类的代 表。这样， 不能描述自身”这个谓词正好可 以用在它自身上，这就导致了矛盾的产生。本文会追溯第二个悖论更早一点的历 史，这个悖论是由策梅罗（Zermelo）预言的。E.施罗德（Ernst Sch1加】）引发了这个 问题的讨论，后来弗雷格，胡塞尔都参与了 讨论。最终，它出现在策梅罗给弗雷格的信 中，同时希尔伯特也得出了他自己的形式。 因此，说起这个悖论的历史，远比罗素给弗 雷格写信的时间更早。罗素只是对悖

5、论的第 一种形式感兴趣，他写信给弗雷格只是为了说明弗雷格的算术基础中也有类似的'可题。讨论谁先提出悖论的第二形式就像介 入了数学家们关于首发现”的争论，但它确实引出了逻辑史上的一系列趣事，有些被大家所熟知，但之前并没有被联系起来。其 中最有名的 首发现”声明是策梅罗于 1908 年在他的论文 良序可能性的新证明(“A new proof ofthe possibility of a well- ordering ” ) 中提出的。当策梅罗提到罗素的数学原理 中的 集合论悖论”时，他加了一个脚 注(编号9) : 然而，我已经独立于罗素 发现了这个悖论，并于1903年之前就与希 尔伯特教授

6、等人讨论过。1903年希尔伯特在给弗雷格的信中，除了感谢弗雷格提供 算术基础第二卷中关于罗素悖论的讨论的副本外，希尔伯特还提到他在几年前就 听策梅罗提起过这个悖论。这一点恰好印证 了策梅罗的声明。实际上，希尔伯特自己也 提出过类似的悖论，是关于数的集合到其自 身的所有自映射”序列所构成的集合。希 尔伯特用对角线法证明了不存在这样的自映射”在策梅罗的传记中，艾宾浩斯沿 袭了 哥廷根”的惯例，把这个悖论的发现 归功于策梅罗一个人。(实际上，艾宾浩斯 在传记中更倾向于使用 A.弗莱恩克 (Abraham Fraenkel)给出的术语 策梅罗 罗素悖论”。)希尔伯特悖论”和 策梅罗悖论”很相似，同样证

7、明了某种集合 不存在。但在希尔伯特悖论”构造的集合中，可以给出标准集合论的运算。我们可以 根据希尔伯特 1905年7月10日的讲稿 重新构建这个悖论。希尔伯特通过构造数 集M上的自映射构成的集合到数集 M的 映射，然后使用集合论的两个原理推出了矛 盾。第一个集合论的原理允许我们把几个甚至无数个集合并成一个集合”，另一个原 理认为任何情况下，良定义的集合都可以 通过自映射运算从良定义集合中生成因此，有了集合 M ,我们就可以描述出所有 从M到M的映射集合 MM。希尔伯特考 虑任意多次使用并集运算和自映射生成的 集合U,然后他再次对 U使用自映射原理 得到F =UU o这样，F应该是U的子集，但运

8、用与证明康托定理类似的对角线法，我们可以得到F中一个不属于 U的元素。但 是，希尔伯特的描述并不精确，尤其是他提 到 任意多次”使用两种运算来生成 Uo有 人猜测F是下面无限多个集合的并集构成 的：MM , ( MM)M , MM U ( MM)M , (MM)M)M) , MM U ( MM)M U (MM)M)M),如果我们任意多次重复这 个过程，那么UU中的任意元素都已经被包 含在这个过程中，因此这个过程生成的元素 不会多于U中的元素。这样我们立刻知道 所谓任意多次的”运算应该超出所有的序 数，对 M迭代3多次后作并集，在每个 序数上都重复这个过程做并或做塞，如此反复。这样看来， 希尔伯

9、特悖论”证明了所有 序数的集合是不存在的。据说，希尔伯特怀 疑其他描述这个悖论的形式中所用的哲学”概念，例如 所有集合的集合”，或 所 有序数的集合”，因此他愿意使用更一般的 数学概念，如映射，任意多次”运算。按希尔伯特的方式，悖论可以从两个非常简单 的运算(函数空间和对已构造出来的事物集合求并集)得出，所以它不仅仅是集合或 类这种概念内部所产生的矛盾。正如策梅罗所说，它是一个理论内部的矛盾，一个真正 的悖论(antinomy)。希尔伯特认为悖论是 可以通过构建(可证明的)一致的公理集合 论来避免的。1902年4月16日，策梅罗给他以前 的老师E.胡塞尔(Edmund Husserl)写了封信

10、。信中策梅罗报告了他几年前的一 个结果，胡塞尔在信上的批注可以在胡塞 尔的档案中找到 。这封信源于胡塞尔 1891年为施罗德的逻辑代数(Algebra der Logik)写的书评。施罗德在书中证明 了如果包含所有可以想到的东西”的万有类存在，那么一定会导致矛盾。(这样看来， 施罗德和康托都是最早发现这个不能扩充 的概念的人。)为了在德国的逻辑学家中推广 C.皮尔士( Charles S. Peirce)的工作以及 池的学院”玲壬留施罗德进行了一系列的 讲演。在第四次关于类的理论的演讲中，施 罗德通过定义包含"(Subsumption)这个概念提出了类之间的代数运算。称一个集合a包含

11、于集合b,用符号表示为a b ，读 作“a是b”或 所有的a是b"，显然这就 是我们现在所谓的“a是b的子集”，表示为a bo施罗德关于集合运算的内容与布尔 提出的 论域”的概念是相悖的，布尔用 1 表示类代数中的论域（全集）。下面是弗雷 格引用施罗德的论述：就像前面提到的，0被包含在每个类 中，可以从拓扑空间1中去掉；0可以 满足每个谓词。假设用a表示一个类，类中元素是等价于1的拓扑空间类（只要我 们把所有能想到的都放入拓扑空间中1中，这显然是允许的），那么，a中显然只 包含一个拓扑空间类，即符号1自身，或者说是整个拓扑空间。除此之外，这个类还 包含什么也没有"，即0。因

12、此，0和1是 等价于1的类，进而我们不仅有 1 =1 ,还 有0 =1。因为在这个例子中，作用于类的谓 词是 恒等于1"。根据第二条原理，对于 作用于类的谓词，这个谓词必须也能作用于 类中的每个个体。对于施罗德来说，所有的谓词都是关于包含”的论断，谓词 等于1"，就是其中的 一个，我们现在一般写作 “k1”。如果我们 用0表示空集，空集包含于任意集合 a就 可以表示为0a,当然也就包含于等于 0的 集合，因此我们就能得到 0 = 1,得出矛盾玲瑶！施罗德此处给出的是不存在绝对的 万有类1的证明。存在不包含于 1的集 合，尤其是空类 0。胡塞尔在书评中认为施罗德混淆了子 集（

13、概念 “subordinateclass ”和元素的概 念。虽然空类是任何集合的子集，但它不是 任何集合的元素。尤其从“0是等于1的元素组成的集合的子集”并不能推出“0等于1”。而前面的矛盾正是源于1是所有集合构成的集合这个假设的。 策梅罗后来在给 胡塞尔的信中指出：关于这一点，如果不考 虑证明的方法，施罗德是对的”从原始的德文加比斯伯格速记法中得到的相关论 述如下：由自身的子集 m, m为元素形成的集合 M是不一致的，即，这样的集合 （如果我们非要把它看作集合的话 ）会导致 矛盾。证明：我们考虑那些不以自己为元素的 子集 m。M中的元素是 M自己的子集， 那么M的子集也会包含子集作为元素，他

14、 们自己（不）是元素。现在我们考虑的恰是 那些不含有自己的子集 m,但可能包含其他 的子集。）上述所有 m构成了集合 M0（即 M的所有不含自身作为元素的子集形成的 集合），我们证明M0具有下面的性质，（1） M0不是 M0自身的元素。（2） M0是M0自 身的元素。考虑（1） : M0作为M的子集是 M 的元素，但不是 M0的元素。否则，M0就 包含一个元素（即M0本身，也是 M的子 集），这个元素以自身为元素。这与 M0的 定义矛盾。考虑（2）:因为由（1）可知，M0是M 的子集，且不包含自身作为元素。那么根据 M0的定义，M0是M0中的元素。这个证明表明任何集合都不可能包含 自己的所有子

15、集使之作为元素。 一个包含所 有东西的万有集当然包含自己的子集，因为它们也是集合。集合M0中的元素是所有不 以自身为元素的万有集的子集，我们简单地用M0表示由所有不包含自身的集合组成 的集合。这样，M0就是罗素集，M0会导致 矛盾的证明与罗素给出的是相同的 ：如果说 M0是自身的元素则可以推出反面，反之， 如果说 M0不属于自己却又推出应该属于。 我们的矛盾和罗素信中提到的是一样的，二者都可以通过直接对所有集合构成的集合 （在策梅罗的悖论中，集合至少包含它自己 的所有子集）使用康托定理得到。更进一步，那么我们会有罗素悖论吗?实际上，我们已有的是一个关于集合的定 理，定理阐明不存在以自己的子集为

16、元素的 集合。然而，早在1908年，一篇题为 关 于集合论基础的研究的文章已经把这个结 论作为一个定理提出，并给出了以下证明：定理10.每个集合 M至少有一个子 集M0, M0不是M的元素。证明：对于M中的每个元素 x, x 6 x与否是确定的，因为x G x的可能性不 需要由公理来判定。根据我们的公理III(策梅罗的分离公理)，如果 M0包含M 中所有不满足x 6 x的元素，那么无论 M0 GM0还是不属于，M0都不可能是 M的元 素。在第一种情况下，M0中应该有一个元 素x = M0 ,那么就有 x G x,但这与 M0 的定义相矛盾。这样M0自然不是自身的元 素，并且如果假设 M0是M的

17、元素，那么 就有M0是M0的元素，这是相互矛盾的。策梅罗对这个证明给出了总结性的批 注：从定理中可知，论域 B中的所有元素 x不能全部作为一个相同集合的元素，即论域B本身不是集合。这就是我们所知的罗 素悖论的处理方式。因此，策梅罗通过给出 定理的方式来讨论罗素悖论。他认为某些群体不是集合，并用反证法给出了证明。1897年布拉利福尔蒂(Burali-Forti)在证明 序数不能良序时也是采用这样的方法。如果每个集合都能被良序， 那么就不存在序数 的集合。实际上策梅罗的证明也可以看做是 关于 绝对无穷”的，或者在某种意义上是 大得”不能成为集合的类的。一个 所有集合构成的集合”当然包含 它自己所有

18、的子集，那么根据策梅罗定理， 我们立刻就知道不存在所有集合的集合了。策梅罗认为他已经通过证明这个令人 惊讶的集合的 不存在”从而解决了罗素悖 论，悖论是不存在的。但证明不存在满足某 种描述的集合不同于证明满足某种描述不 能被满足，因此只能说明满足描述的集合是 空集。这恰恰证明了一些描述看起来像是集 合，但实际不是，因为不存在那样的集合。 无限制概括公理的反例正好说明了， 的确存 在一个谓词，满足这个谓词的元素却不能构 成集合。但对于每个不存在”定理，并没有像无限制概括公理那样显然的反例。比如一个人认为论断不存在集合y包含自己所有的子集”是一个谓词，但满足这个谓词 的元素不能形成集合。那么根据无

19、限制概括 公理得到的反例是：y x(x e y = . x .)这个反例 描述的是：存在y,对于任意x, x是y的 元素当且仅当 。等价条件是什么？当且 仅当x是y的子集？这违反了上面提到的概括公理，公理不允许在定义集合元素的 公式x中出现自由的 y。论断满足某 个公式的集合是不存在的 ”是可以用公式描述出来的，但 以自己的所有子集为元素的 集合是不存在”这个断言却不可以，但不是所有不存在”定理都有反例。因此策梅 罗的确曾提出过罗素证明的不过是一个不 存在的定理，而不是一个概括原理（从开始 就让人难以置信）的反例。虽然让人吃惊的 是，所有集合的集合不存在，包含所有子集 为元素的集合也不存在，但

20、我们还不清楚这是否能被称为悖论 （paradox）。实际上，策 梅罗本人更倾向于使用矛盾"（antinomy）而不是悖论"（paradox） 璘莹。他认为“ parado才旨的是“与一般的观点相矛盾的论断；而不存在像罗素悖论和布拉利福尔蒂悖论那样内部的矛盾，罗素悖论和布拉利福尔蒂悖论用antinomy表示”。另一方面，就像策梅罗的用法一样，“antinomy可以由形式理论推出的，用来证 明理论的某个公理是错误的，必须被删除。 但这并不意味着这个理论的基础概念或定义是错的，能够推出矛盾。因此，尽管策梅 罗实际上已经预见到罗素后来信中提到的 数学讨论，但他并不认为这是一个会从多

21、方 面影响集合的 悖论”，包括影响弗雷格。 关于施罗德的观点，我们还要多说几句。实 际上弗雷格在文章关于施罗德 逻辑代数的演讲”中的一些批评观点（"Acritical elucidation of some points in E. Schr der's Vorlesungen u ber die Algebra der Logk提 出了他的看法。他引用了施罗德的观点后继 续写道：作者在第246页证明了我们可以考虑 拓扑空间中除了 1之外的任意类 b,用上 述方法可以得到结论 0 = bo这个矛盾就像 晴空霹雳一样，我们怎么能够容忍精确的逻 辑中出现这样的东西！谁能保证在今后

22、的研 究中，我们不会突然遇见这样的矛盾？这种可能性指向了原始理论的错误。施罗德从这个结论中推出最初的拓扑空间1必须按照下列方式形成：在拓扑空间中作为个体的元 素不能是包含自身作为元素的类。这个权宜 之计似乎使得船免于搁浅，但只有正确的驾驶才能使它安全行驶。现在我们越来越清楚 为什么一开始就像预见到紧急的危险一样， 把拓扑空间规定为运算的舞台，尽管这从单 纯的范畴运算的角度看是没有理由的。接下来，这个领域对我们逻辑行为的限制绝不是 优雅的。在其他领域，逻辑可以说具有无限 制的有效性，但对于拓扑空间，我们必须小 心地检验后，才能在其中使用逻辑。当施罗德规定最初的拓扑空间中 的元素不能是包含以自身作

23、为元素的类时， 他显然认为拓扑空间或类中的一个个体和 拓扑空间中的一个类是不同的。胡塞尔在给施罗德写的书评中也提到了类似的区分，包含元素的类”和 包含子集的类”是不同 的，他希望通过这种方法解决问题。策梅罗的定理 10提到 每个集合 M 都至少包含一个子集 M0, M0不是 M 的 元素”，这有效地证明了，一个给定集合的 子集()的概念和该集合的子集的元素 (G)的概念与集合的元素概念是不同的。 策梅罗在讨论罗素悖论时提出了关于集合 的相当好的定理，同时也证明了施罗德关于集合的概念存在着本质的缺陷。不仅如此， 策梅罗为了避免产生悖论而使用自己的集 合论公理系统的同时，发现了会导致悖论的 集合性

24、质。虽然弗雷格对施罗德的讨论进行 了仔细的研究，但他却忽略了与自己的理论 相关的结果。由此可见，策梅罗的讨论可以 真正地被称作是罗素悖论的预言”，而他正是在研究弗雷格批评施罗德的文章时发 现的。当然，施罗德得出的矛盾结论0 =1是反证法的一部分。施罗德并没有因此认为每 个类必须包含一些不是这个类中元素的类， 而是认为每个类必须只包含那些本身不含 原始类中的元素的类。而这些类恰是原始类 中的 元素”。弗雷格认为这是一个临时的 解决方案，它使船免于搁浅。”弗雷格把逻辑看做具有无限制的有限性”，因此全称量词理所当然可以无限制地用在任何事 物之前。A.丘奇(Alonzo Church)的一篇文章 完稿

25、于1939年，但直到1976年才发表， 他在文中把施罗德的论述看做是简单类型论的雏形。如果一个给定集合a中的 元素”可能是其它类b中元素的子集，但不是 a中任何元素的子集，则丘奇认为我们可以 认为a和b属于不同类型，a的类型高于 b的类型，因为a中的元素都是包含 b中 元素的类。弗雷格则反对这些限制，丘奇认 为弗雷格坚持逻辑无限制的法则不过是对 他自己观点的重复：所有的对象的类型都相 同，包括弗雷格集 赋值过程”，都可以出 现在全称量词的论域中。弗雷格同样引用了关于施罗德的书评，策梅罗于 1902年在他的信中对这个书评 做了修改。没有证据显示策梅罗之前读过弗 雷格的文章。但至少两人都读过胡塞尔

26、的书 评，并作出了回应。弗雷格和胡塞尔曾经一 致认为施罗德在属于"定义中把元素关系等同于子集关系。然而，弗雷格和策梅罗也 注意到，论证的关键是为了证明不存在万有集”或无限制的 论域”。实际上，正如丘 奇提到的，弗雷格过于重视悖论的类型，即 从存在一个所有事物的集合这个前提可以 推出的悖论，而这正是弗雷格批评施罗德想要避免的。我们试图猜测策梅罗已经意识到 逻辑学家们关于论域”的争论，并读到了康托的 绝对”无穷以及序数集不存在等观 点，并把这些事情都清楚地记载了下来。他 的对角线法，从数学的角度看与罗素的相 同，但比罗素运用到证明中要早。如果把猜 测继续下去，当然有人会质疑策梅罗为什么

27、没有把简单类型论作为可替代的方案来解 决他发现的集合论悖论”。但实际上，策梅罗和罗素似乎是在集合论的不同世界中 进行研究，策梅罗沿着哥廷根的康托集合论 传统道路行进，而罗素则是对自己早期的观 点进行提炼并放弃了早期观点。没有直接的证据显示罗素研读过施罗 德的证明，看过施罗德关于所有集合构成的 集合会导致悖论的想法或类型理论的雏形。 但是罗素的确读过弗雷格1895年的论着并做了大量的笔记。正因为有了这样的准备 工作，1902年夏天他为 数学原理增加 了 附录A：弗雷格的逻辑和数学原则 ”, 同样的准备才有了他给弗雷格的信瑜瑶。但是，任何关于这个问题的讨论都没有出现在笔记或最终的附录中。然而，有证

28、据显示罗素关于施罗德理论 的大概看法来源于1913年与N.维纳 (NorbertWiener)的交流。1913 年 9 月， 年仅18岁的维纳去剑桥拜访罗素。他刚在哈佛大学完成了题为对施罗德、怀特海及罗素处理关系代数的方法比较(“A comparison between the treatment ofthe algebra of relatives by Schr der and that by Whitehead and Russell ”的博士论文。I.格 拉坦一吉尼斯(Ivor Grattan-Guinness) 找到了几页罗素写的评语及维纳的回答，后面还有两人当年9、10月的一系列讨

29、论。维 纳也参加了罗素的演讲，并在家书中提到了他们之间的交流。罗素在1913年10月19日写给 L. 唐纳利(Lucy Donnelly)的信中同样也提 到了这些讨论：9月底，一个年仅 18岁的 哈佛博士和他父亲一起来拜访我这个年轻人叫维纳，自认为无所不能，也常被别 人夸奖。我们进行了长时间的讨论试图说服 对方。维纳带来了博士论文的副本，并和罗 素在一系列的会议上进行讨论， 会议中间通 过信件交流瑜 嗪。论文和信件中包含了许 多施罗德的逻辑。论文的主题是将施罗德的 逻辑与 数学原理中的作比较，为施罗 德逻辑的优点进行辩护。 格拉坦 -吉尼斯 挑选出与这个事件相关的两段话：施罗德和罗素的系统之间的一个重要 差别在于：施罗德系统中的个体对应于罗素 系统中个体的单位类。这样，罗素的系统中 有个