截长补短专题训练含解析

1、截长补短专题训练一、解答题1 .在中，NA8C = 60。，点。、E分别在AC、BC上，连接6。、。石和AE；并且有 A5 = 3E, ZAED = ZC.试卷第8页，总7页(1)求NC0E的度数：(2)求证：AD+DE=BD.2 .如图，在 6c 中，AC=BC. A£平分 NC4B.(1)如图 1,若4C5 = 90。，求证：AB = ACCDi(2)如图2,若筋= AC+8O,求NAC3的度数；(3)如图 3,若 NAC8 = 100。，求证：AB = AD+CD.3 .己知在四边形 ABCD 中，ZABC+ZADC=180°, ZBAD+ZBCD= 180°

2、;, AB = BC(1)如图1,连接BD,若NBAD = 90。，AD = 7,求DC的长度.(2)如图2,点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ=AP + CQ,求证：ZPBQ = ZABP+ZQBC(3)若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ =AP + CQ,请写出NPBQ与/ADC的数量关系，并给出证明过程.4 .（1）问题背景：如图1：在四边形A8C。中，48=A。，NBAD=120。, ZB=ZADC =90。，E、产分别是8C, CO上的点且NE4尸=60。，探究图中线段BE、EF、尸。之间 的数量关系.小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点

3、G.使DG=BE.连结AG,先证明 ABE9 AZX7,再证明AMgaAGF,可得出结论，他的结论应是；（2）探索延伸：如图2,若在四边形48C。中，AB=AD9 N8+NO=180。. E, F分 别是8C,。上的点，且NE4F= = NB4。，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）实际应用：如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（。处）北偏西30。的 A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70。的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到 行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50。 的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到

4、达E、 产处，且两舰艇之间的夹角为70。，试求此时两舰艇之间的距离.5 .已知：线段AB及过点A的直线1,如果线段AC与线段AB关于直线1对称，连接 BC交直线1于点D,以AC为边作等边 ACE,使得点E在AC的下方，作射线BE交 直线1于点F,连接CF.（1）根据题意将图1补全；（2）如图 1,如果NBAD = a （300<a<60°）.NBAE= , NABE= （用含有a代数式表示）；用等式表示线段FA, FE与FC的数量关系，并证明.（3）如图2,如果60。<01<90。，直接写出线段FA, FE与FC的数量关系，不证明.6 .如图，在A6C中，AB

5、 = AC, Z45C<30°,。是边8c的中点，以AC为边作等边三角形ACE，且ACE与A8C在直线AC的异侧，连接虚交的延长 线于点尸，连接/C交AE于点(1)求证：FB = FC；(2)求证：ZFE4 = ZFC4：(3)若产石=8, A0 = 2,求人尸的长.7 .阅读题：如图1, 0M平分NAO8,以。为圆心任意长为半径画弧，交射线。4, OB于C,。两点，在射线OM上任取一点E (点。除外)，连接CE, DE,可证 OCE ZODE.请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：(1)如图2,在ASC中，NA = 24，CO平分NAC8交A6于点。，试判断5c 与4C、A

6、O之间的数量关系；(2)如图 3,在四边形A5CO中，AC平分44£，8C = C0 = 1O, A8 = 20,人。=8,分别在A8，AC上，且NED尸= 60。，求3'的周长.A9 .如图，ASC和8OC是等腰三角形，且A5 = AC, 50 = 8, ZBAC = 80°, 42X7 = 100。，以。为顶点作一个50。角，角的两边分别交边A6, AC于点石、尸， 连接EF.（1）探究BE、EF、/。之间的关系，并说明理由；（2）若点石、尸分别在A5、CA延长线上，其他条件不变，如图所示，则应:、EF、 B之间存在什么样的关系？并说明理由.10 .通过类比联想

7、、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例, 请补充完整.（解决问题）如图，点、E、F分别在正方形ABCO的边BC、CO上，ZEAF = 45°,连接七尸，则 EF = BE+DF，试说明理由.cF D G证明：延长。到G,使DG = BE ,在AB石与中，AB = AD< ZB = ZADG = 90°BE = DGaAB石0A3G理由：（SAS）进而证出：AFEg，理由：（）进而得EF = BE+DF.（变式探究）如图，四边形ABC。中，AB = AD 4A 0 = 90。点E、尸分别在边BC、CO上，ZEAF = 45。.若n6、N。都不是直角

8、,则当nB与ND满足等量关系时，仍有所=5七+3/.请证明你的猜想.（拓展延伸）如图，若= NfiWw90。，ZE4FW45。，但/4=" = 90。, 2连接EE请直接写出臣、BE、O尸之间的数量关系.11 .如图，人46c中，点。在AC边上，且/8。= 90)+ '乙43。.2(1)求证：DB = AB；(2)点E在5c边上，连接AE交BD于点F,且/4/N)=NA5C, BE = CD,求 44cB的度数.(3 )在(2)的条件下，若BC=16, ”16尸的周长等于30,求人尸的长.12 .在aABC 中，A8=AC,点。与点 E 分别在 A8、AC 边上，DE/BC,

9、且 DE=DB, 点F与点G分别在8C、AC边上，/FDG=2nBDE.(1)如图1,若NBDE= 120。, DFLBC,点、G与点C重合，BF=1,直接写出BC=；(2)如图2,当G在线段EC上时，探究线段8尸、EG、FG的数量关系，并给予证明：(3)如图3,当G在线段AE上时,直接写出线段BF、EG、FG的数量关系:13 .在四边形45。石中，C是5。边的中点.（1）如图（1）,若AC平分N班石，ZACE = 90°，则线段AE、AB .。上的长度 满足的数量关系为；（直接写出答案）（2）如图（2）, AC平分“4石，EC平分NA。，若NACCIZO。，则线段A6、 BD、DE

10、、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明.14 .如图所示，AB/DC, AB± AD,或;平分/46C, CE 平分 /BCD ；（1）求A6、C。与5c的数里关系，并说明你的理由.（2）若把条件去掉，则（1）中A& C0与6c的数里关系还成立吗?并说 明你的理由.15 .已知等边三角形ABC, D为 ABC外一点，NBDC = 120。，BD=DC, NMDN=60。，射线DM与直线AB相交于点M,射线DN与直线AC相交于点N.（1）当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数 量关系：（2）当点M、N在边AB、AC上，且DMhDN时

11、，猜想中的结论还成立吗？若成 立，请证明；（3）当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并求出BM、NC、MN之 间的数量关系.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1 .(1)60°： (2)见解析【分析】(1)由 = 6石，NA8C = 60。，可得A8E 为等边三角形，由 NA&5=NE4C+NC, Z.CDE = ZEAC+ ZAED , Z4E£) =/C,可证 NC3X = ZA石8 = 60。(2)延长D4至忆使AF = OE，连接所，由NBED=60o+ZAED,ZBAF = 60° + ZC,且/C = /

12、AE0,可证f84乌O6f(SAS)由 DB = FB，可证FBD为等边三角形，可得BD = FD,可推出结论，【详解】解：(1) : AB = BE，ZABC = 6O0 ,45石为等边三角形， ABAE = ZAEB = 60° ,V ZAEB = ZEAC + ZC, ZCDE = ZEAC+ ZAED , : ZAED = /C, ZCDE = ZAEB = 60°(2)如图，延长D4至尸，使A尸=£)石，连接所，由(1)得ZVIS石为等边三角形， ZAEB = ZABE = 60° , ABED = ZAEB+ ZAED = 60°+

13、 ZAED ,又4AF = ZA6E+NC=60o + NC,且/C = ZAE。，:.ZBED=ZBAF ,AB = BE在尸54 与 QBE 中,< 4BAF = /BEDAF = DE：.FBA学.DBE(SAS)： DB = FB，ZDBE = ZEBA * ZDBE+ZABD = ZFBA+ ZABD， ZABE = ZFBD = 60°又： DB = FB， F8O为等边三角形答案第i页，总34页本卷由系统I'l动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。: BD=FD,又：尸D=AF + AD，且 AF = OE，:, FD = DE + AD=BD，【点睛】

14、本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质， 关健是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形.2. (1)见详解；(2) 108。；(3)见详解【分析】(1)如图1,过D作DM_LAB于M,由CA=CB, ACB = 90° ,得ASC是等腰直角 三角形，根据角平分线的性质得到CD = MD, ZABC=45%根据全等三角形的性质得到 ac=am,于是得到结论；(2)如图 2,设NACB=a,则NCAB = NCBA = 9()oL a,在 AB 上截取 AK=AC,连结 2DK,根据角平分线的定义得到NCAD = NKAD,根据全等三角形的性质得到N

15、ACD = ZAKD=a,根据三角形的内角和即可得到结论；(3)如图3,在AB上截取AH=AD,连接DH,根据等腰三角形的性质得到NCAB= NCBA =40°,根据角平分线的定义得到NHAD=NCAD=20。，求得NADH= NAHD = 80。，在 AB上截取AK=AC,连接DK,根据全等三角形的性质得到NACB= NAKD= 100。，CD = DK,根据等腰三角形的性质得到DH=BH,于是得到结论.【详解】(1)如图1,过D作DM_LAB于M,图1在ASC中，AC = BC,/. NABC=45。，V ZACB = 90°, AD是角平分线，A CD=MD,/. Z

16、BDM= ZABC=45°,ABM=DM,，BM=CD,在 RTA ADC 和 RTA ADM 中，(CD=MDAD=AD 'ARTA ADCRTA ADM (HL),/. AC=AM,，AB=AM+BM=AC + CD,即 AB = AC + CD；(2)设NACB = a,则NCAB=NCBA=90。一上 a, 2在AB上截取AK=AC,连结DK,如图2,图2VAB=AC+BD, AB=AK+BK，BK=BD,AD是角平分线，AZCAD=ZKAD,在 CAD和 KAD中，AC=AK< ZCAD= ZKAD AD=ADAACADAKAD (SAS),/. ZACD=Z

17、AKD = a,/. ZBKD=180°-a,图2VBK=BD,AZBDK=180°-a,，在4 BDK 中，180。一（1+180。一1 + 90。一上£1=180。,2Aa=108°,Z. ZACB = 108°；（3）如图3,在AB上截取AH=AD,连接DH,图3V ZACB = 100°, AC = BC,AZCAB=ZCBA=40°,.AD是角平分线，Z. ZHAD= ZCAD=20°,Z. ZADH= ZAHD = 80°,在AB上截取AK=AC,连接DK,由（1）得，aCAD0KAD,Z.

18、ZACB = Z AKD = 100% CD=DK, ZDKH=80°=ZDHK,，DK=DH = CD,VZCBA=40°tZ. ZBDH= ZDHK -/CBA=40。，DH=BH,，BH = CD,VAB=AH + BHt ，AB=AD + CD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关健.3. (1) OC = 7;(2)见解析：(3) APBQ = 9Q0 + ZADC,证明见解析【分析】(1)根据已知条件得出5DC为直角三角形，再根据HL证出从而证出AD = CD即可得出结论；(2)如

19、图2,延长DC到K,使得CK=AP,连接BK,通过证 BPAZBCK (SAS)得到：Z1=Z2, BP=BK.然后根据SSS证明得P8Q空台长。，从而得出APBQ = Z2 + ZCBQ = Zl + ZCBQ ,然后得出结论；(3)如图3,在CD延长线上找一点K,使得KC=AP,连接BK,构建全等三角形： BPAABCK (SAS),由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS证得： PBQ且BKQ,则其对应角相等：ZPBQ=ZKBQ,结合四边形的内角和是360。可以推得：ZPBQ=90°+ y ZADC.【详解】 ZABC + ZADC = 130° , ABAD

20、 = 90° , ZBCD= ABAD = 90。,在 RtABAD 和 RtBCD 中，JBD = BD AB = BC RtABAD冬RtABCD(HL), AD = DCt DC = 7 ；(2)如图2,延长OC至点K,使得CK = AP,连接8K,/ ZABC + ZADC = 130° , 443+48 = 180。，ZBCD+ZBCK = 180。, ABAD = ZBCK ,V AP = CK , AB=BC, ABPA四/BCK(SAS), N1 = N2, BP = BK,V PQ = AP + CQf QK = CK + CQ, PQ = QK , ：

21、BP = BK，BQ = BQ, 产仅2%6K0(SSS), . NPBQ = Z2+ ZCBQ =Z1+ ZCBQ , . ZPBQ = ZABP+ ZQBC.(3) = 90° +1ZADC：如图3,在CO延长线上找一点K，使得KC=A尸，连接3K,/ ZABC + ZADC = LSO° , 440+48 = 180。， 4A O+ZR46 = 180。， ZPAB=ZBCK , 在ABPA和&BCK中，AP = CK /BAP = /BCK AB = BC LBPAdBCK(SAS),:.ZABP=ZCBK , BP = BK， APBK = ZABC, P

22、Q = AP + CQ, PQ = QK,在尸5。和aBKQ中，BP = BK bq = bq pq = kq aPBQBK纵sss),ZPBQ = ZKBQ , "PBQ + 4BK = 2NPBQ + ZABC = 360°, 1ZPBQ+(180° - ZADC) = 360°,【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质.在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共 边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.4. (1) EF=BE+DF； (2)结论EF=BE+DF仍然成立；(3 )此时两舰艇之间的距离是210 海里【分析】(1)延长FD到点G

23、,使DG=BE.连结AG,即可证明aABEgaADG,可得AE=AG,再 证明AEFgaAGF,可得EF=FG,即可解题；(2)延长FD到点G,使DG=BE.连结AG,即可证明aABEgaADG,可得AE=AG,再 证明AEFgaAGF,可得EF=FG,即可解题；(3 )连接EF,延长AE、BF相交于点C,然后与(2)同理可证.【详解】解：EF=BE+DF,证明如下:在aABE和aAOG中，DG = BE< NB = ZADG ,AB = AD，(SAS),：,AE=AG, NBAE=NDAG,< / zeaf=-zbad92< ZGAF= ZDAG+ZDAF= ZBAE+Z

24、DAF= ZBAD - ZEAF= NEAF,：.NEAF=NGAF,在 AEF和 GAF中，AE = AG< ZEAF = ZGAF , AF = AF: &AEF迫 4AGF (SAS),:EF=FG,FG=DG+DF=BE+DF, :.EF=BE+DF；故答案为EF=BE+DF.(2)结论历=8E+OF仍然成立;理由：延长尸。到点G.使。G=8瓦 连结AG,如图2,图2在“BE和aAOG中，DG = BE< NB = ZADG , AB = ADA ABEADG (SAS),：,AE=AG, NBAE=NDAG,< / zeaf=-zbad92< ZGAF

25、= ZDAG+ZDAF= ZBAE+ZDAF= ZBAD - NEAF= NEAF,：.NEAF=/GAF,在 AEF和 GAF中，AE = AG< ZEAF = ZGAF , AF = AF/. AEF且"GF (SAS),：.EF=FG,< FG=DG+DF=BE+DF,：.EF=BE+DF；(3)如图3,连接EE延长AE、8/相交于点C,图3V ZAOB=30°+9Q°+ （90°-70°） =140。，NEOF =70。,ZEOF= - ZAOB, 2又，：OA = OB, ZOAC+ZOBC= （90°- 30&

26、#176;） + （70°+50°） =180°,符合探索延伸中的条件，,结论EF=AE+BF成立，即4=2x （45+60） =210 （海里）.答：此时两舰艇之间的距离是210海里.【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证 AEFAAGF是解题的关键.5. （1）作图见解析；（2）22- 60° , 120。一。；FA=FC +FE,证明见解析：（3 ）AF=FC-EF.【分析】（1）先根据轴对称的性质作出线段AC,再分别以A、C为圆心，AC长为半径画弧，两弧 交于点E,可得等边AACE,最后根据题意画出图形即可：

27、（2）根据轴对称的性质可得NBAC=2NBAD=2。，根据等边三角形的性质可知 ZEAC=60°,根据角的和差关系即可表示出NBAE：根据轴对称的性质和等边三角形的性质 可得AB=AE,根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可表示出NABE：在FA上截取FG=EF,连接EG,利用三角形内角和定理可得NAFB=60。，即可证明 EFG 是等边三角形，根据角的和差故选可得NAEG=NCEF,利用SAS可证明 AEGgZCEF, 即可得出AG=CF,根据线段的和差关系即可得结论；（3）由60。<（1<90。可知点E在直线1右侧,根据题意画出图形，在FA上截取FG=EF,根 据

28、轴对称的性质可得AF_LBC, BF=CF,根据（2）中结论可得NEBC=NFCB=30。，利用三 角形外角性质可得NGFE=60。，可证明三角形EFG是等边三角形，利用SAS可证明 AEFCEG,可得FA=CG,根据线段的和差关系即可得答案.【详解】（1）补全图形如下：(2)2。一60。，120。一a，AB、AC关于直线1对称，A ZBAD=ZCAD, AB=AC, ACE是等边三角形，A ZEAC=60°, AE=AC=EC, / NBAD=a ,A ZBAC=BAD+ZCAD=2ZBAD=2 Ct ,/. ZB AE= ZB AC- ZEAC=2 a -60°.AB=

29、AC, AC=AE,二 AB=AE,ZABE= (180°-ZBAE) =120。-。. 2故答案为：2。-60。，120。-。数量关系是FA=FC+FE,证明如下：在FA上截取FG=EF,连接EG,由得，ZABE=120°-a, NBAD=a,/. ZAFB= 180°-ZABE- ZBAD=60°,A AEFG为等边三角形，EG=FE=FG, ZGEF=60°, AEC是等边三角形，A ZAEC=60°, AE=CE, /. ZAEC=ZGEF=60%:.NAEC-NGEC=NGEF-NGEC,即NAEG=NCEF,EG = EF

30、在 AEG 和 CEF 中，ZAEG = ZCEF , AE = CE：.AAEGACEF,AAG=FC/. FA=AG+FG=FC+FE，(3) AF=FC-EF.V600<a<90°, 如图所示，点E在直线1右侧，在FA上截取FG=EF,连接EG,AB、AC关于直线1对称，点F在直线1上，AAF1BC, BF=CF,/. ZABC=ZACB=90°-a,由(2)可知NABE=120。-明/. ZFBC=ZFCB=120°-a- (900-a) =30。，/. NEFG=NFBC+NFCB=60。， EFG是等边三角形，/. ZFEG=60°

31、;, / ZAEC=60°,/. ZAEF+ ZAEG= ZCEG+ ZAEG=60°,/. ZAEF=ZCEG,EF = EG在4AEF 和CEG 中， ZAEF = NCEG , AE = CE：.AAEFACEG,/.AF=CG,AAF=FC-EF.【点睛】本题考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据轴对称 的性质正确得出对应边并熟练掌握相关性质及判定定理是解题关健.6. (1)见解析；(2)见解析：(3) 4【分析】(1)利用AO所在直线是5C的垂直平分线，点F在直线AD上即可得出结论.(2)由/XACE是等边三角形,得AC=AE=AB

32、推得ZABF = ZFEA .易证aABF且Ab(SSS), /48尸=/F。1 = "£4即可，(3)延长AO至点P处，使。p = AP，连接CP.先证直角三角形ADCg/PDC (SAS), 推出 4C = CP = CE, ZACD=ZPCD.再证=/E4C= 60。.求出， ZFCD=ZFBD = 30°.用 NAC。表示 NEb = 30。+NACZ).而"CP = 30。+/ACD,得 ZECF = ZFCP .可证尸且尸C尸(SAS),可推得= AP 即可.【详解】(1)证明： A5 = AC,。是边6c的中点， A3所在直线是6c的垂直平

33、分线，又：点F在直线AD上:.FB = FC.(2)证明：ACE是等边三角形，A ZEAC = ZACE = 60°, AC = AE.AB = AC, AB = AE ZABF = ZFEA.由(1)可知，FB = FC, 又AF = AF, AB = AC,，AZ?/且Ab （sss）,ZABF = ZFCA, ZFE4 = ZFC4 .（3）解：如图，延长AO至点。处，使。尸= 4）,连接CP.AB = AC,。是边6C的中点， ZADC = ZPDC = 90° . ACE是等边三角形，A AC = CE, ZEAC = 60°. ： AD = DP ,

34、ZADC = APDC, CD = CD,， AOC g APDC（ SAS）,: AC = CP = CE，ZACD=ZPCD.由（2）可知，ZFEA = ZF'CA, : ZAMC = ZFME, ZEFC = ZE4C=60。.由（1）可知，BF = CF, ZBFD = Z.CFD = （180。- 60。）+2 = 60。，AZFCD = 90°-60° = 30°.,/ ZFCA = ZFCD- ZACD,/. ZFC4 = 30°-ZACD.,/ ZECF = ZECA-ZFCA, ZECF = ZECA-（30°-ZAC

35、D） = ZECA _ 30。+ ZACD = 30° +ZACD. ZFCP = ZFCD+ ZPCD,A ZFCP = 30°+Z4CD, ZECF = ZFCP .FC = FC , CE = CP ,: AECF 且 4PCF (SAS),：FE = FP，FE = FA+AP = AF + 2ADfAF = EF-2AD = S-2x2=4.【点睛】本题考查线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，掌握线段垂直平 分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，会利用引辅助线构造三角形全等转化 线与线关系，角与角关系来解决问题.7. (1) BC=

36、AC+AD； (2) ABC 的面积为 80.【分析】(1)在CB上截取CE=CA,则由题意可得AD=DE, ZCED=ZA,再结合NA=2NB可得 DE=BE,从而得至IJBC=AD+AC：(2)在AB上截取AE=AD,连结CE,过C作CF_LAB于F点，由题意可得EC=BC,从 而得到EF的长度，再由勾股定理根据EC、EF的长度求得CF的长度，最后根据面积公式 可以得到解答.【详解】解：(1)如图，在CB上截取CE=CA,则由题意得：2XCAD且ZCED,/.AD=DE, ZCED=ZA,V ZA=2ZB, AZCED=2ZB,又NCED=NB+NEDB,ZB+ZEDB=2ZB, /. Z

37、EDB=ZB, ADE=BE,/. BC=BE+CE=DE+CE=AD+AC ；（2）如图，在AB上截取AE=AD,连结CE,过C作CF_LAB于F点,答案第34页，总34页，由题意可得：CDAgZiCEA,，EC=CD=BC=10, AE=AD=8,VCF1AB.，EF=FB=20-8 ,=o ，2： CF = yjEC2-EF2 =>/102-62 =8，/. S = AB x CF = 9x20x8 = 80.22【点睛】 本题考查三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和 性质、勾股定理是解题关键.8. 2【分析】延长AC至点P,使CP = BE,连

38、接产。，证明5OE4C0P（SAS）推出。石二 DP，ABDE = 4CDP,进而得到 ZEDF = APDF = 60°,从而证明 ADEF/ADPF（SAS）, 推出EF=CP,由此求出aAEF的周长=AB+AC得到答案.【详解】解：如图，延长AC至点夕，使CP = BE,连接PO. 44方。是等边三角形， ZABC = ZACB = 60°. : BD = CD, 400 = 120。， :.ZDBC=ZDCB = 30。，:ZEBD=ZDCF = 90。, ZDCP = ZDBE = 900.BD = CD在 aBDE 和 »CDP 中，< ZDBE

39、 = /DCP , BE = CP abdeacdp(sas),:DE=DP, ZBDE = ZCDP. , /BDC = 120。, ZEDF = 60°,:, ZBDE+ 2CDF = 6S, /CDP+/CDF = 60。，: ZEDF = ZPDF = 60。.DE = DP在 »DEF 和 &DPF 中,< NEDF = /PDF , PF = DF . ADEF%ADPF(SAS),: EF = FP，：EF = FC+BE, A£F的周长=AE+七尸+ A尸=46+AC = 2.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，

40、等腰三角形等边对等角的性质，题 中辅助线的引出是解题的关键.9. (1) EF=BE+FC； (2) EF=FC-BE.【分析】(1)由等腰三角形的性质，解得NABC=NAC5 = 50。，ZDBC = ZDCB = 40。,延长AB至G,使得BG=CF,连接DG,进而证明G6。三尸CO(S4S),再根据全等三角形 对应边相等的性质解得DG = FD,再结合等腰三角形的性质可证明.DEF =DGE(SAS),最后根据全等三角形的性质解题即可；(2)在CA上截取CG=BE,连接DG,由等腰三角形的性质，可得NA6C= NAC6 = 50。， ZDBC = ZDCB = 40%进而证明BED =

41、CGD(SAS)得到DG = DE,据此方法再证明&EDF = 4GDF(SAS),最后根据全等三角形的性质解题即可.【详解】(1) 45c和6DC是等腰三角形，:.ZABC=ZACBZDBC = ZDCBvZAC = 80°, AB = ACZABC=ZACB = 50°-ZBDC = 100°, BD = CDADBC = ADCB = 40°ZABD = ZACD = 90° = ZDCF延长AB至G,使得BG=CF,连接DGZ.GBD = 180°-ZABD = 90°在G6。和尸8中，v BG=CF, /G

42、BD=ADCF, BD = FD/. AGBD 三bCQ(SAS),/. DG = FDZBDG = NCDFZEDF = 50°, ZBDC = 100°:.ZBDE+NCDF = 5。ZGDE = ZBDG + ZBDE = NCDF + ZBDE = 50°在£石斤和OG£中，v DE=DE, ZEDF = /GDE, DF = GD二. GEF 三aDGE(SAS),EF = EG = BE+GB = BE+CF(2)在CA上截取CG=BE,连接DG ”15。是等腰三角形，ZBAC = S0°ZABC = ZACB = 50&

43、#176;vZZ?DC = 100°, BD = CDZDBC = ZDCB = 40°:.ZEBD=NGCD = 90。;CG = BE, BD = CD在aBED和CGD中，v CG=BE, AEBD= /GCD, BD = CD:aBED 三 CGD(SAS) .-.DG = DE 在包尸和GQF中，VFD=FD, NGDF = AEDF, ED = GD:.&EDF 三 GDF(SAS)EF = FG = FCCG = FCBE【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌 握相关知识是解题关键.10.(1) AAF

44、EZAFG，理由：SAS； (2) 4+ ZD = 180。，证明见解析：(3 ME+OF=EE【分析】(1)在前面已证的基础上，得出结论AE=AG,进而证明尸G,从而得出结论；(2)利用“解决问题''中的思路，同样去构造AFE且尸G即可；(3)利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可.【详解】(1) ,/ ABE=ADG» AE = AG, 4BAE = ZD AG, BE = DG,则ZMD = NMD+NAZX7 = NMG ,ZEAF = 45°, /.ZMG = 45°,在AFG与"E中，AE = AG< ZEAF = Z

45、GAF AF = AF:.hFE9lAFG、理由：(SAS)：.EF = FG = FD+ DG = FD+ BE ；(2)满足4+ND = 180。即可，证明如下：如图，延长尸。至G,使BE = DG,.4+ZA3f= 180。，ZADF + ZADG = 180°f:.ZB=ZADG,在/石与AOG中，AB = AD< NB = ZADGBE = DG:.ABEADGSAS,AE = AG,ZBAE = ZZMG,BE=DG,则ZMD = NMD+NA£>G = NMG ,< / ZEAF = 45°, :.ZFAG = 45°,在

46、 aAFG 与中，AE = AG< ZEAF = ZGAFAF = AF:.点E9XAFG、理由：(SAS)；.EF = FG = FD+ DG = FD+ BE ；(3) BE+DF=EF.证明如下：如图，延长尸。至G,使BE = DG,在/后与.AOG中，AB = AD< /B = ZADG = 90°BE = DG. ABEaADG(SAS),AE = AG, /BAE = ZDAG ,则 NBAE+ NFAD= NFAD+ NADG= "AG ,-ZEAF = -ZBAD, ZFAG = - ZEAD = ZFAE, 22在 aAFG 与中，AE = A

47、G< ZEAF = ZGAFAF = AF:.点E9XAFG、理由：（SAS）.EF = FG=FD+DG = FD+BE；【点睛】本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问 题的关键.11. （1）见解析；（2） Z4c8 =60。；（3） AF=11【分析】（1）根据三角形内角与外角之间的关系建立等式，运用等量代换得出NA=N8D4,证得DB = AB；（2）作CH=BE,连接DH,根据角的数量关系证得NE4C=NC,再由三角形全等判定得BDHgABE,最后推出 DCH为等边三角形，即可得出NAC8 =60。；（3）借助辅助线AOJ_CE,构造直

48、角三角形，并结合平行线构造 BFEsBDH,建立相 应的等量关系式，完成等式变形和求值，即可得出AF的值.【详解】（1）证明：V ZBDC = 90°+ ZABD, ZBDC=ZABD+ZA,2:.ZA=90°- ZABD.2NBDC+ ZBDA=180°,/. ZBDA= 1800- ZBDC = 90°- ZABD.2/. ZA= ZBDA=90°- ZABD.2DB AB .解：（2）如图1,作CH=BE,连接DH,V ZAFD=ZABC, ZAFD = ZABD + ZBAE, NABC= NABD+NDBC, /. ZBAE=ZDBC

49、.;由（1）知，ZBAD=ZBDA,又NEAC=NBAD NBAE, NC= NADBNDBC,/. ZCAE=ZC./ AE = CE.VBE = CH,ABE+EH=CH+EH.即 BH=CE=AE.VAB = BD.AABDHAABE.ABE=DH.VBE = CD,ACH=DH = CD.DCH为等边三角形.ZACB =60°.（3 ）如图2,过点A作AO_LCE,垂足为O.；DHAE,AZCAE=ZCDH=60°, ZAEC= ZDHC = 60°.ACE是等边三角形.设 AC=CE=AE=x,则 BE=16x,VDHAE,AABFEABDH.BF BE

50、 _ EF _16-xBF = 巴士 BD ="匚AB,XX16-x(16-x)Lr =Drl =-XXV ABF的周长等于30,即 ab+bf+af=ab+16- a AB +x-(167)=30.r解得 AB=16一2. 8在 RS ACO 中，AC=-, AO=I ,22x ABO=16-.2在 RS ABO 中，AO2 + BO2=AB2,即为+ 16-2)16.解得士=。（舍去）X =:-21256AAC= 21AAF=U.【点睛】 本题考查了三角形角的性质、等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合 应用，解题的关键是能熟练掌握三角形的性质与全等判定并借助辅助

51、线构造特殊三角形的能 力，.12. (1) 4； (2) FG=BF+EG,见解析；(3) FG=BF-EG【分析】(1)解直角三角形分别求出DF, CF即可解决问题.(2)如图2中，结论：FG=BF+EG.在EA上截取EH,使得EH=BF.利用两次全等，证 明FG=GH即可解决问题.(3)如图3中，结论：FG=BF-EG.在射线EA上截取EH,使得EH=BF.利用两次全等, 证明FG=GH即可解决问题.【详解】(1) VDE/7BC,AZBDE+ZABC=180°,VZBDE=120°, /. ZABC=60°,VDF±BF, /. ZBFD=90&#

52、176;, , DF=BF<tan600 = 1 x Q = C，V ZCDF= - ZBDE=60°, ZDFC=90°, 2/. CF=DF<tan60° =逐 x 召=3， ，BC=BF+CF=l+3=4；(2)如图2中,结论：FG=BF+EG.理由：在EA上截取EH,使得EH=BF.VAB=AC,/. NB=NC,VDE/BC,A ZADE=ZB, NAED=NC,/. NADE=NAED,/. ZDEH=ZB,在 DBF DEH 中，BF = EH< ZB = ZDEH ,BD = DEAADBFADEH (SAS),，DF=DH, N

53、BDF=NEDH,VZFDG=-ZBDE,2, ZBDF+ ZEDG= ZEDH+ ZEDG= ZGDH = - ZBDE, 2, NGDF=NGDH,在 DGFfflA DGH 中，DF = DH< ZGDF = ZGDH ,DG = DGAADGFADGH (SAS),，FG=HG,HG=EG+HE=EG+BF,AFG=BF+EG；(3)如图3中，结论：FG=BF-EG.理由：在射线EA上截取EH,使得EH=BF.图3VAB=AC, NB=NC,VDE/BC,A ZADE=ZB, ZAED=ZC,Z. NADE=NAED,Z. ZDEH=ZB,在 DBF和 DEH中，BF = EH&

54、lt; ZB = /DEH , BD = DEAADBFADEH (SAS),，DF=DH, NBDF=NEDH,/. NBDE=NFDH,< / ZFDG= - ZBDE= - NFDH, 22/. NGDF=NGDH,在 DGFfflA DGH 中，DF = DH< /GDF = ZGDH , DG = DGAADGFADGH (SAS),，FG=HG,VHG=HE-GE=BF-EG,，FG=BF=-EG.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关 键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.13. (1) AE=AB+DE；

55、(2) AE=AB + DE+- BD.证明见解析.2【分析】(1)在AE上取一点F,使AF=AB,由三角形全等的判定可证得 ACB0ZACF,根据全 等三角形的性质可得BC=FC, NACB = NACF,根据三角形全等的判定证得 CEFACED, 得到EF=ED,再由线段的和差可以得出结论；(2)在AE上取点F,使AF=AB,连结CF,在AE上取点G,使EG=ED,连结CG,根 据全等三角形的判定证得 ACBAACF和 ECDAECG,由全等三角形的性质证得CF =CG,进而证得 CFG是等边三角形，就有FG=CG=BD,从而可证得结论.2【详解】解：(1)如图(1),在AE上取一点F,使AF=AB.图(I)AC 平分NBAE, ，ZBAC=ZFAC. 在 ACB和 ACF中,AB=AF< ZBAC=ZFAC AC=ACA ACBACF (SAS).，BC=FC, ZACB=ZACF. C是BD边的中点，ABC = CD.ACF=CD. / NACE = 90。，A ZACB+ZDCE=90°, ZACF+ZECF=90°.Z. ZECF=ZECD.iEA CEF