抽象函数-题型大全(例题-含答案)精编版

1、最新资料推荐高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现 将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出f(x),这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。x例 1：已知 f () =2x+1，求 f (x).x 1解：设 _x_ = uUx=-u-. f(u)=2-u-+1=2uf(x)=2xx 11 -u1 -u 1 - u1 - x2.凑合法：在已知f(g(

2、x) =h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。1 Q 1例 2：已知 f(x+) = x +-,求 f(x) x x11 o 111 o11解：: f (x 十一)=(x+)(x 1 +。)=(x+)(x +一)一3)又. | x+|=| x| +至 1x xx x xx | x |23f(x) =x(x 3) =x 3x, (| x | 1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例 3.已知 f(x)二次实函数，且 f(x + 1)+ f(x1) = x2+2x+4

3、，求 f(x).解：设 f (x) =ax2 +bx +c ,则 f(x+1) + f (x-1)=a(x+1)2 +b(x+1) + c + a(x-1)2 +b(x-1)+c2(a c) =42213= 2ax +2bx+2(a+c) =x +2x+4 比较系数得 2a =1= a=,b = 1,c = ，222b =21 23f (x) = 一 x x 一2 24.利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式.例4.已知y = f (x)为奇函数，当x0时，f (x) = lg(x +1)，求f (x)解：f (x)为奇函数，f (x)的定义域关于原点对称，故先求x0,f (

4、-x) =lg( -x 1) =lg(1 -x),f(x)为奇函数，lg(1 x) = f (x) = f (x)，当 x0 时 f (x) = lg(1 x)，lg(1 x),x .0f(x)=-lg(1-x),x ： 01例5.一已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x) + g(x) =,求f(x),g(x).x -1解：: f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f (-x) = f (x), g(-x) = -g(x),1.，不妨用-x代换f(x) + g(x)=中的x,x-111 小-f ( -x) + g(x)=即 f (x) - g(x)= -x -1x 11x显见+即可

5、消去g(x)，求出函数f (x) =1 再代入求出g(x)=Fx 1x 15.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出 f(x)的表达式例6：设f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x+1)= f (x) + f (y) + xy,及f (1)=1,求f(x)解： f(x)的定义域为 N,取 y=1,则有 f(x+1)= f(x)+x+1 f(1)=1, f (2) = f(1)+2, f (3) = f (2)+3 f(n)= f(n1) + n以上各式相加，有 f(n) =1+2+3+ n = n(n+1)f (x) =1x(x + 1),xw N22二、利用函数性质，解f(x)的

6、有关问题1 .判断函数的奇偶性：例7已知f(x + y)+f (x y)=2f (x)f (y),对一切实数x、y都成立，且f (0) # 0,求证f (x)为偶 函数。证明：令x=0,则已知等式变为 f (y) + f (y) =2f (0) f (y)在中令 y =0贝u 2 f(0) =2 f(0) f (0) w0. f (0)=1，f (y) + f(y) = 2f (y) f( y)= f (y)f (x)为偶函数。2 .确定参数的取值范围例8：奇函数f (x)在定义域(-1,1)内递减，求满足f(1 m)+f (1 m2) 0的实数m的取值范围。222解：由 f (1 m) +

7、f (1 m ) 0 得 f (1 m) f (1 m ), ., f (x)为函数，/. f (1 - m) f (m -1)IT ： 1 -m ：二 1又 f (x)在(-1 , 1)内递减，1 m2 -1 1= 0 cm 12.1 -m m -13.解不定式的有关题目例 9：如果 f(x) = ax2+bx+c 对任意的 t有 f (2+t) = f2t),比较 f (15 f(2)、f (4)的大小解：对任意t有f (2+t) = f 2t)，x =2为抛物线y =ax2 + bx + c的对称轴又.其开口向上，f(2)最小，f (1)= f (3) .在2, +8)上，f(x)为增函

8、数 f (3) f (4), . f (2) f (1)0时，f (x) 0, f ( 1) = 2,求f (x)在区间2, 1上的值域。分析：由题设可知，函数 f (x)是用二无茶(尢H 0)的抽象函数，因此求函数 f (x)的值域，关键在于研究它的单调性。解：设勤卬则#X】.当需0时JCO0 . J(孙一河)0./)-/=力电-修) 口 即 丁优)/&1)，.- f (x)为增函数。在条件中，令y= x,则丁一/十,(一切，再令x=y= 0,则f(0)= 2 f(0),f(0)= 0,故 f ( x) = f (x) , f (x)为奇函数，f (1) =- f (1) = 2,又 f (

9、2) = 2 f (1) =4,f (x)的值域为4, 2。例2、已知函数f (x)对任意工，JE衣，满足条件f (x) +f (y) =2 + f (x + y),且当x0时，f(x) 2, f (3) = 5,求不等式- 2* - 2) 3 的解。分析：由题设条件可猜测：f (x)是丫 = *+ 2的抽象函数，且f (x)为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。解：设马 , .当时/2/5两)2则八小)丁【(啊-马)+覆 /(科-才+ 丁如)-2 2+JO)-2 ,了即/(心)/(G), f (x)为单调增函数。/=/(2+1) = / + /

10、-2 = /(D + / - 2 + 川)-2 = 3/(1)-4又 f (3) = 5,f (1) =3。一“-2)j - 2s-2 1 ,即_ 2 - 3 0 ,解得不等式的解为一1 a 0。解：(1)令丫=0代入/泛十月=/(编了8,则/炽)=/(/(0),，/口-/L。若f (x) =0,则对任意五1 f 有/)=/(心)= ,这与题设矛盾，f (x)W0, f (0) =1。(2)令 y= xw 0,则，)一丁 J5)一 - ,又由(1)知 f (x)半 0, f (2x) 0,即 f (x) 0,故对任意x, f (x) 0恒成立。例4、是否存在函数f (x),使下列三个条件：f

11、(x)0,x e N;jG &)=/(白)-丁3 a,bE N .f (2) =4。同时成立？若存在，求出 f (x)的解析式，如不存在，说明理由。分析：由题设可猜想存在 / 7 ,又由f (2) =4可得a=2.故猜测存在函数 产=2; 用数学归 纳法证明如下：(1)x=1 时，./ 7(1 + D -/(D V(D-W- 4 ,又: x e N 时,f (x) 0, /(Q-2-21, 结论正确。假设X =无，3之1且无e的时有/)=则x=k+ 1时JR + D = 出=2 2 = 2卬， x= k+ 1时，结论正确。综上所述，x为一切自然数时(工)=213、对数函数型抽象函数对数函数型抽

12、象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。例5、设f (x)是定义在(0, +8)上的单调增函数，满足 了(工村“方十)，=1 ,求：(1) f (1);(2)若f (x) + f (x 8) 2,求x的取值范围。分析：由题设可猜测 f (x)是对数函数 b宫孑兀的抽象函数，f (1) =0, f (9) =2。解：(1)+ /(1)=0。子 7c1 73 7=2 ,从而有 f (x) +f (x8) W f (9),即一怎1%/(9), f (x)是(0, +8)上的增函数，故最新资料推荐x(z-85 0产一名，解之得：8x0, a是定义域中的一个数)；当 0vxv 2a 时，f (x) 0。试

13、问：(1) f (x)的奇偶性如何？说明理由。(2)在(0, 4a)上，f (x)的单调性如何？说明理由。分析：由题设知f (x)是y的抽象函数，从而由丁 = 一以8犬及题设条件猜想：f (x)是奇函数且霜在(0, 4a)上是增函数(这里把 a看成Z进行猜想)。解：(i) . f (x)的定义域关于原点对称，且 x卜电是定义域中的数时有石)一/(屯)，.勺一鼻)在定义域中。:.f (x)是奇函数。(0, 2a)上 f (x) 0,(2)设 0V xivx22a,则 0x2-xi2a, 在/值+i是 f (xi)f (xi) , f (x2), f (x2 xi)均小于零，进而知”?)中的 f

14、(x2), .在(0, 2a)上 f (x)是增函数。f(a) = f(2a -a)又八了十1十1r=i, .，一心)，f(2a) = 0,设 2avxv4a,则 0V x- 2a0,即在(2a, 4a)上 f (x) 0。设 2axiX24a,则 0vx2xi2a,从而知 f (xi) , f(X2)均大于零。f(X2x。0, .,) ,即f (xi)v f(x2),即f(x)在(2a,4a)上也是增函数。综上所述，f(x)在(0,4a)上是增函数。5、哥函数型抽象函数哥函数型抽象函数，即由募函数抽象而得到的函数。例 8、已知函数 f (x)对任意实数 x、y 都有 f (xy) = f (

15、x) f (y),且 f (1) = 1, f (27) =9, 当0 V k c 1时，/即)。(1)判断f (x)的奇偶性；(2)判断f (x)在0, +8)上的单调性，并给出证明；(3)若口之。且，S+D4的，求a的取值范围。2分析：由题设可知f (x)是哥函数y = 的抽象函数，从而可猜想f(刈是偶函数，且在0, +8) 上是增函数。解：(1)令 y = 1,则 f ( x) = f (x) - f (1)，= f (1) = 1, f (x) = f (x) , f (x)为偶函数。(2)设U工均电，x2 ,如心,/ () 1。工1) +/3,求 f(3) , f(9)的值。解：取3

16、 ,得6) = /+,因为5 ,所以5又取二O/(9) = /(3) + /(3)=-得_1、卡门 左 一+左43口/土V - 2 V- 3i/(2) -1, 7(6)=-评析：通过观察已知与未知的联系， 巧妙地赋值，取芥一& y - ，这样便把已知条件5与欲求的f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。三、值域问题例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、v,+ #)总成立，且存在为W的，使得丁千 /,求函数“X)的值域。解：令x=T = ,得/ =/，即有/(0) =或40)= 1。若，(0) = 0 ,则/=/(1+0)=(工)八。)=0 ,对任意xR均成立， 这与存在

17、实数 与注的，使得 肛)，丁国)成立矛盾，故H 0 ,必有40) = 1。由于/*+) =/)对任意小VER均成立，因此，对任意xaR ,有0下面来证明，对任意1 ,设存在见它R,使得/)=,则八)= 这与上面已证的7矛盾，因此，对任意X E凡/* 所以, 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。四、解析式问题T 1n I心/W+/C) = 1十工例5.设对满足 A的所有实数x,函数J k 满足X，求f(x)的解析式。解：在中以?代换其中X,得:ZA -1 A1再在（1）中以工-1代换X,得八一二7）十/二三|了-1x -1一+化简得：2M

18、1）评析：如果把X和 X 分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。五、单调性问题例6.设f（x）定义于实数集上，当X、Q时，/（用1,且对于任意实数X、y,有丁（工+y）=/5）一/3 ,求证：在R上为增函数。证明：在用=力力/8）中取工=尸=0,得八。）=（0）产若/=0,令0。,则/=0,与/1矛盾所以八0）工0 ,即有八0）= 1当。时，, 1 。；当界口时，尤 0, /（r） o而一 一1/（x） = -一 0所以又当X 一 0时，/（0）= 1 0所以对任意工三尺

19、，恒有丁（琦40设一 80,/（为一町）1所以, ：. 一. .：一一一所以尸二/5）在r上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与 组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。六、奇偶性问题 例7.已知函数w R X丰）对任意不等于零的实数 修、句都有了（巧,河）二（西）+/（工力，试 判断函数f（x）的奇偶性。解：取x】=T电=1得：/（一1）二 了（一1）十八1）,所以,二。又取演二孙二T 得：，。）二（一1）+/（一1）,所以，（-1）=。再取勺二力电=-1则/（f ）*（-1）+，（犬），即，（-冗）=（方因为为非

20、零函数，所以丁（琦为偶函数。七、对称性问题例8.已知函数 （克）满足x）+/D = 202 ,求八十广1（2002人的值解：已知式即在对称关系式 /g+x）+/gK）= 2中取4 = u,占=2加2，所以函数y=/（X）的图象 关于点（0, 2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数 刀二1a）的图象关于点（2002, 0）对 称。所以.： 将上式中的x用舞-1叩1代换，得+广1（2002 -渝二0评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数产二/0）对一切实数x都满足/Q+幻+（5工）=2,则函数产=（*）的图象关于点（a, b）成中心

21、 对称图形。 八、网络综合问题例9.定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m,n,总有阳+划=/（幽）/，且当x0时，0f（x）1 , （1）判断f（x）的单调性；设工=（工，#|）夕）吕=5, 工一厂+在）=1, 口e号，若加方=0,试确定a的取值范围。解：（1）在/配+附）=八J中，令犀=1，盟=U,得）=因为*0,所以/ 在/伽+） = /（ 中，令飕=X,I因为当X 口时，。/工）1所以当左0时一方0, 0 /（-五）1而一,111所以 1 0又当x=0时，）= 1 0,所以，综上可知，对于任意-00 +000 /(x2 - xj 0时,f (x) 0, f (1) =2,求 f (

22、x)在2, 1上的值域。解：设 x1 :二 x2且 x1, x2 w R ,则 x2 xi 0 ,由条件当x A0时，f (x) 0.f (x2 -x1)0又 f&) = f(x2 - xi) xi=f (x2 -x1) f (x1)f (xi)二f (x)为增函数，令 y = -x,则 f (0) = f (x) + f (-x)又令x = y = 0得 f (0) =0二 f (-x) = -f (x),故f (x)为奇函数，J. f (1) =f(1)=2, f (2)=2f (1) = 4二刈在,1上的值域为4, 2二.求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇

23、偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例3 已知f (x)是定义在(-1, 1 )上的偶函数，且在(0 , 1 )上为增函数，满足2f (a 2) f (4 a ) 0,试确定a的取值范围。解：v f(x)是偶函数，且在(0, 1)上是增函数，f (x)在(-1, 0)上是减函数,-1 ： a - 2 ： 1 , 由付 V3 a 45 。-1 ：4-a2 1(1)当 a = 2时，f (a -2) = f (4-a2) = f (0),不等式不成立。(2)当 J3 a 2 时，f (a -2):二 f (4 -a2)-1 a-2

24、a - 4解之得，, 3 :二a :二2(3)当 2 a J5 时，f (a -2):二 f (4 -a2)0 a-2 1一 .2、一 2.=f (a - 4)0 ： a -4-1-2, - 2 a -4解之得，2 ：二a 一 5综上所述，所求a的取值范围是(J3, 2)U(2, 积。例4已知f(x)是定义在(-0% 1上的减函数，若f (m2sinx) E f (m + 1+cos2 x)对xR恒成立，求实数m的取值范围。最新资料推荐2 2.八m sinx 3解：;/m十1十cos2 x m + 1 +cos x2m -sin x 3对x w R恒成立y W 22m - sin x m 1

25、cos x对x W R恒成立u2 2m -3 sinx“2.21x2.5m m1 之sinx+cos x =(sinx) 十 一2274对x W R恒成立，m2 -3 -L4.-.2 m 0 时，f (x)2 ,2f (3) =5,求不等式f(a 2a2) 3的解集。解：设 x1、x2 R R 且 x1 2 ,即 f (x2 x1) 2 0 ,f (x2) = f (x2 -x1)x1=f (x2 -x1) f (x1)-2 f(x1) f(x2) f (x1)故f (x)为增函数，又 f (3) = f (2 1) = f (2) f (1) - 2 = 3f (1) - 4 =5最新资料推

26、荐. f(1) =3-2 一 一 一一二 f (a -2a -2) 3= f (1),即a2 -2a -2 1-1 ： a : 3因此不等式f (a2 2a2) 3的解集为a|1a3。4 .证明某些问题例6 设f (x)定义在R上且对任意的x有f(x) = f(x + 1) f (x + 2),求证：f(x)是周期函数，并找出它的一个周期。分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出f(x+T) = f(x) (T为非零常数)则f(x)为周期函数，且周期为 T证明：. f (x) = f (x 1) f (x 2)(1).f (x 1) = f (x

27、 2) 一 f (x 3)(2)(1) +(2)得 f (x) = -f(x+3)(3)由(3)得 f (x 3) = -f (x 6)(4)由(3)和(4)得 f (x) = f (x +6)。上式对任意xWR都成立，因此f (x)是周期函数，且周期为 6。例 7 已知 f (x)对一切 x, y ,满足 f (0) #0, f(x + y) = f (x)，f (y),且当 x 1 ,求证：(1) x0时，0f(x)0,则x 1 ,而 f (0) -f(x) f(-x) =1f ( -x)=- 1f(x)A 0 f ( x) 1 ,设 x1, x2 w R 且 x1 x2,最新资料推荐则

28、0 c f (x2 x1) f(X2),即f (X)为减函数。5 .综合问题求解抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f ”。例8 设函数y=f(X)定义在 R上，当XA0时，f (x) i ,且对任意m, n,有 f (m +n) = f (m) f (n),当 m #n 时 f (m) = f (n)。(i)证明 f (0) = i ;(2)证明：f (X)在R上是增函数；(3)设 A = (x, y)|f (X2) f

29、 (y2) f(i)LB =( x, y)| f (ax+by+c) = i, a, b, cw R, a = 0,若 a1b = 0,求 a, b, c 满足的条件。解：(i)令 m = n = 0 得 f (0 = f (0 f (0 ,二 f (0) =0或 f(0) =i。若 f (0) =0,当 m #0 时，有 frm +0)= fm) -f (0),这与当 m#n 时，f (m) # f(n)矛盾，, f (0) = i。(2)设 x1 0 ,由已知得 f (x2- x1) i ,因为xi0 , f(x) i ,若 x1 0, f (Xi) Ai,由 f(0) = fx()if

30、(-Xi)f (Xi)=f(-Xi)f (X2) = f(X2 -Xi) f(Xi) f (Xi) 二f(x)在R上为增函数。(3)由 f (x2) f (y2) f(1Hx2 + y2 1 ()由 f (ax + by + c) = 1 得 ax + by +c = 0从(1)、(2)中消去 y得(a2 + b2)x2 +2acx + c2 b2 0 ,因为 aB =0， = (2ac)2-4(a2+b2)(cb - 2) 0,(1)试判断f (x)的奇偶性;(2)判断f (x)的单调性;n2 +31 +1) f(2)。解：(1)对条件中的x, y,令x=y = 0,再令y = x可得f (

31、0)f (0) = f (0)f (0) = 0f (xf (-x) =0 f (-x) = - f ()x,所以f (x)是奇函数。(2)设1 Cx1 x2 0,贝U fx：) 1 - fx(x1 一 x2zia fifE).1.1.(3)求证 f(_) + f()+ f(511分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求 和的综合题。: x1 x2 0, 0 x1x2 1 ,x一包 0 ,从而有 f (x1)- f (x2) 0,即 f (x1) f (x2),1 一 x1x21 - x1x2故f(x)在(-1, 0)上单调递减，由奇函数性质可知

32、，f (x)在(0, 1)上仍是单调减函数。(3) ; f(2n 3n 1f(n 1)(n 2) -1)1-1一)(一) n - 1 n 2f()f(-1f()-f(n+2)511.f(g)+f/)+ f(2n 3n 11111f(;) f(R + f(%) f(二)十十 f( 23341 )一)11f (-) - f ()2 n 21.1。二：二1, . f()：二0n 2n 21f(-) - f(211)f(-)21，二 f +f () + f(-511n2 3n 1.1)f(2)O抽象函数问题分类解析我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中,

33、于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析， 学习参考。1.求定义域这一特性，问这类问题只要紧紧抓住：将函数 fg(x)中的g(x)看作一个整体，相当于 f(x)中的x题就会迎刃而解。例1.函数y = f (x)的定义域为(-, 1,则函数y = flog2(x2-2)的定义域是 。分析：因为10g2 x22)相当于f(x)中的x,所以log2 x2 -2)1 ,解得v2 x W2或2Ex J，。1例2.已知f(x)的定义域为(0, 1),则y = f(x + a)+f(xa)(|a|E)的定义域是 一2 分析：因为x+a及x-a均相当于f(x)中

34、的x,所以0 ：二 x a ： 1 Ira : x ： 1 - a0 x - a 1 a :二 x 1 a1 .(1) 当一一 Wa W0时，则 x= (a, 1+a)2、，一1(2) 当 0 a M 一 时，则 x 匚(a, 1 - a)22. 判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求 f (x)与f(x)的关系。例3.已知f(x)的定义域为R,且对任意实数x, y满足fx y)= fX) + f (y ,求证：f(x)是偶函数。分析：在 fX y) = fx()十 f (y 中，令 x = y =1 ,得 f (1) = f (1) f(1)= f(1) =0令 x=y=_1,得

35、f(1) = f (_1)+ f (_1)= f(1)=0于是 fx：- ) = f(-1 x) f (一1) f (x)= f (x)故f (x)是偶函数。例4.若函数y = f(xf() x #0)与丫 = f (x)的图象关于原点对称，求证：函数y = f (x)是偶函数。证明：设y = f (x)图象上任意一点为 P ( % , y0): y = f (x与y = f (x)的图象关于原点对称，P(x0, y0)关于原点的对称点(x0, -y0)在y = f(x)的图象上，-y0 = - f (-x0)V。= f (-xO)又 y = f (x0).f (-x0) = fx 0)即对于

36、函数定义域上的任意x都有f (-x) = f (x),所以y = f (x)是偶函数。3. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。例5.如果奇函数f (x)在区间3, 7上是增函数且有最小值为5,那么f(x)在区间-7, -3上是A.增函数且最小值为 -5B.增函数且最大值为 -5C.减函数且最小值为 -5D.减函数且最大值为 -5分析：画出满足题意的示意图1,易知选B。最新资料推荐例6.已知偶函数f(x)在(0, +8)上是减函数，问f(x)在 S, 0)上是增函数还是减函数，并证明 你的结论。分析：如图2所示，易知f(x)在,0)上是增函数

37、，证明如下:任取 xx ： 2 :二 0=-x15-x2 . 0因为f (x)在(0,十口)上是减函数，所以f (_x1) f (_x2)。又f (x)是偶函数，所以f(-xi)=f(xf),(-x2)=f(x2),从而f (x) f (x2),故f(x)在(q, 0)上是增函数。4 .探求周期性这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分 析或赋值迭代，获得问题的解。例7.设函数f(x)的定义域为R,且对任意的x, y有_ c i ,4 1f (x+y) + f(xy)=2f (x)(f y),并存在正实数c,使f()=0。试问f (x)是否为周期

38、函数？若是， 2求出它的一个周期；若不是，请说明理由。分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：y=cosx满足题设条件，且cos = 0猜测f (x)2是以2c为周期的周期函数。ccc cc cf(x -) 2 f(x 2)-2=2f(x -)f(2)=0f (x c) = -f (x)f (x 2c) = -f (x c) = f (x)故f (x)是周期函数，2c是它的一个周期。5 .求函数值紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。例8.已知f(x)的定义域为R+,且fxy + )= fX ) + fy()

39、对一切正实数x, y都成立，若f(8) = 4,贝U f (2) =。分析：在条件fxy +户fx( ) +fy：)中，令x = y = 4,得f(8) = f(4)+f(4)=2f(4)=4,.f(4) =2又令x = y = 2,得 f (4) = f(2) + f(2) = 2,. f(2) =1例9.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足：f(x+2)1 f(x) = 1 + f (x),f =1997 ,求 f (2001)的值。分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现f (x)是周期函数，显然 f (x)。1,于是f(x 2)=1 f (x)1 - f (x)f(x 4)=1 f (x

40、 2)1 - f (x 2)1 . 1f (x)1 - f (x)1 1 f (x)1 - f (x)所以 f (x 8)=1f (x 4)= f(x)故f (x)是以8为周期的周期函数，从而f (2001) =f (8 250 1) = f(1)= 19976 .比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。例10.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，x0时，f(x)是增函数，若x1 0 , x2 A 0 ,且|x1|x2| ,贝U f(x1)，f(x2)的大小关系是 分析：v x1 0, x2 A0且 |x1|x2| ,0 ,二

41、-x1 :二 x2 二 -x2 :二 x1 : 0又x fk( 2 sinjx 恒成立，求 k 的值。分析：由单调性，脱去函数记号，得k2 - sin2 x _ 1k -sinx m k2 -sin2 xk 2 22k (sinx-)(2)442由题意知(1)(2)两式对一切x R R恒成立，则有-22k-(1sinx)min=19119k-k-(sinx-)max429 . 研究函数的图象这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。例13.若函数y = f (x+2)是偶函数，则y = f (x)的图象关于直线对称。左移2个单位右移2个单位分析：y = f(x)的图象y = f(x+2

42、)的图象，而y= f(x+2)是偶函数，对称轴是x=0,故y = f(x)的对称轴是x = 2。例14.若函数f(x)的图象过点(0, 1),则f (x +4)的反函数的图象必过定点分析：f(x)的图象过点(0, 1),从而f(x+4)的图象过点(-4, 1),由原函数与其反函数图象间的关系易知，f (x+4)的反函数的图象必过定点 (1, 4)。10 .求解析式例15.设函数f (x)存在反函数，g(x = f(X , h(x与g(x)的图象关于直线x+y = 0对称，则函数 h(x)=a. -f (x) B. -f(-x) C. - f(x) D. - f(-x)分析：要求y =h(x)的解析式，实质上就是求 y=h(x)图象上任一点 Px 0, y0)的横、纵坐标之间的 关系。点Px0, y0)关于直线y = x的对称点(-y0, -x0)适合y = f(x),即x0 =g( y0)。又 gx ) = f A(x),1-x0 = f (-y)= -y0 = f (-x)= y =-f (-x0)即 h(x = _f (-x),选 Bo抽象函数的周期问题2001年高考数学(文科)第 22题：设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称。对1任息 x1, x2 可0,与都有 f(xx + 2)= f (xf)() x2 。2