数列通项公式求法大全

1、最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。 而作为给出数列的一种形式一一通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项 公式的常用方法。一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。二、公式法利用等差数列或等比数列的定义求通项Sn 若已知数列的前项和Sn与an的关系，求数列an的通项a0可用公式加& Sni n 2 求解.（注意：求完后一定要考虑合并通项 ）例1.已知数列an的前n项和Sn满足Sn 2an （ 1）n,n 1 .求数列an的通项公式.已知数列an的前n项和Sn满足Sn n2 n 1,求数列an的通项

2、公式. 已知等比数列an的首项a1 1,公比0 q 1 ,设数列bn的通项为bn an 1 an 2求数列 bn的通项公式。三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想 出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。四、累加（乘）法对于形如an 1 an f（n）型或形如an 1 f（n）an型的数列，我们可以根据递推公式，写出 n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。例4. 若在数列an中，a1 3, an1 an n ,求通项an。例5.在数列an中，a1 1 , an 1

3、2nan (n N ),求通项an。五、取倒（对）数法a、am pa；这种类型一般是等式 两边取对数后转化为a。1 paq ,再利用待定系数法求解1 1 .b、数列有形如f (an，an i，anani) 0的关系，可在等式两边同乘以 ,先求出，再求得an. anan 1anc、an 1 fna一解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为an 1pan Q。g(n)an h(n)例 6.设数列an满足 a1 2, an 1 一an一(n N),求 an.an 3例7设正项数列an满足a11, an2a2 1 (n2).求数列an的通项公式.变式：1 .已知数列 an满足：a1=.,且 an

4、=3nan1 (n 2, n N)2 2an 1+ n 1求数列 an的通项公式；3、已知数列an满足a1 1,n2、若数列的递推公式为a1 3, 2(n ),则求这个数列的通项公式 an 1an2时，an 1 an 2an 1an ,求通项公式。4、已知数列 an满足：an %1,a1 1 ,求数列 an的通项公式3 an1 15、若数列 an 中，a1=1, an 1=-2aJ n N ,求通项 an .an 2六、迭代法迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算 七、待定系数法：1、通过分解常数，可转化为特殊数列an+k的形式求解。一般地，形如an 1 =P an+q(P*1,pqw0)型的

5、递推式均可通过待定系数法对常数 q分解法：设an i+k=p (an+k)与原式比较系数可得pk-k=q,即k=-q,从而得等比数列an+k。P 11例9、数列an酒足a二1, an=-an i+1 (n2),求数列an的通项公式。2练习、1数列an满足ai=1, 3an1 an 7 0,求数列a0的通项公式。2、已知数列an满足a1 1 ,且an 1 3an 2 ,求an .2、递推式为an 1 pan qn1 (p、q为常数)时，可同除qn1,得帮 2之1,令脑 之 q q qq从而化归为an 1 pan q (p、q为常数)型.、例 10.已知数列 an 满足 a1 1 , an 3n

6、2an 1 (n 2),求 an .3、形如 an 1 pan an b (p 1、0, a 0)解法：这种类型一般利用 待定系数法构造等比数列，即令an1 x(n 1) y p(axn y),与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为an xn y是公比为p的等比数列。例 11:设数列 an : a1 4, an 3an 1 2n 1,(n 2),求 an.4、形如 an 1panan2bn c(p 1、0,a 0)解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令斗1 x(n1)2y(n1) c p(anxn2 ync),与已知递推式比较，解出x,y,z.从2而转化为an xn yn c是公比为p的等比数列。例 12：设数列 an : a1 4,an 3an 1 2n2 1,(n 2),求 an.八：不动点法，形如 an 1pan q ran h解法：如果数列an满足下列条件：已知ai的值且对于n N ,都有an 1 pan q (其中p、q、 ran hr、h均为常数，且ph qr,r 0冏 也)，那么，可作特征方程x卫2 ,当特征方程有且仅 rrx h有一根X0时，则- 是等差数列；当特征方程有两个相异的根Xi、X2时，则 目是等比 an X0an X2数列。a 4例15:已知数列满足性质：对于n N,ani 乌一，且 3,求an的通项公式.2an