高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程

1、整理课件第四节第四节 可用变量代换法求解的一可用变量代换法求解的一阶微分方程阶微分方程一、齐次方程一、齐次方程二、可化为齐次型的方程二、可化为齐次型的方程三、三、利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解四、伯努利方程四、伯努利方程整理课件一、齐次方程一、齐次方程)(ddxyfxy 形形如如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .,xyu 令令,xuy 即即代入原方程代入原方程,得得,ddddxuxuxy ),(ddufxuxu .)(ddxuufxu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程1.定义定义xxuufud)(d 两边积分两边积分, , 得得 积分后再用积分后再用

2、代替代替 u,便得原方程的通解便得原方程的通解. .xy分离变量，分离变量， 整理课件例例1 1 求解微分方程求解微分方程.tanxyxyy 解解,xyu 令令,uxuy 则则代入原方程得代入原方程得,tanuuuxu 分离变量分离变量, ,ddsincosxxuuu 两边积分两边积分, ,得得 即即,lnlnsinlnCxu ,sinxCu 即即故原方程的通解为故原方程的通解为.sinxCxy ( 当当 C = 0 时时, y = 0 也是方程的解也是方程的解)整理课件例例2 2 求解微分方程求解微分方程解解.0dd)2(22 yxxyxy,)(22xyxyy 方方程程变变形形为为,xyu

3、令令,22uuuxu ,uxuy 则则代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量, ,dd2xxuuu 两边积分两边积分, ,得得 ,dd111 xxuuu即即,lnln1lnCxuu ,)1(Cuux 即即故原方程的通解为故原方程的通解为.)(yCxyx 说明说明: 显然显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解也是原方程的解, 但在但在 求解过程中丢失了求解过程中丢失了. . 整理课件例例3 3 求解微分方程求解微分方程).ln(lnxyyyx 解解,lnxyxyy 方方程程变变形形为为,xyu 令令,uxuy 则则代入原方程得代入原方程得,lnuuuxu 分离变量分离

4、变量, ,d1)1(lndxxuuu 两边积分两边积分, ,得得 ,lnln1lnlnCxu ,1ln uCx即即故原方程的通解为故原方程的通解为.1lnlnCxxy 整理课件oyx可得可得 OMA = OAM = 解解: 设光源在坐标原点设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线则反射镜面由曲线 )(xfy 绕绕 x 轴旋转而成轴旋转而成 .过曲线上任意点过曲线上任意点 M (x, y) 作切线作切线 M T,由光的反射定律由光的反射定律: 入射角入射角 = 反射角反射角xy cotxyy 22yxOM TMAPy取取x 轴平行于光线反射方向轴平行于光线反射方向,从而从而 AO = OMOPAP 而

5、而 AO 于是得微分方程于是得微分方程 : xyy 22yx 例例4 4 在制造探照灯反射镜面时在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线要求点光源的光线反射出去有良好的方向反射出去有良好的方向性性 , 试试求反射镜面的形状求反射镜面的形状. .整理课件利用曲线的对称利用曲线的对称性性, 不妨设不妨设 y 0, 0, 21dd yxyxyx, vyx 则则,yxv 令令21ddvyvy yvyvyxdddd 积分得积分得故有故有1222 CvyCy,xvy 代入代入得得)2(22CxCy ( (抛物线抛物线) )221)(vvCy Cyvv 21故反射镜面为旋转抛物面故反射镜面为旋转抛物面. .

6、于是方程化为于是方程化为( (齐次方程齐次方程) ) Cyvvlnln)1(ln2 整理课件二、可化为齐次型的方程二、可化为齐次型的方程的微分方程的微分方程形如形如)(dd111cybxacbyaxfxy 为齐次方程为齐次方程. .,01时时当当 cc，令令kYyhXx ,(h 和和 k 是待定的常数是待定的常数)否则为非齐次方程否则为非齐次方程. .1.定义定义,dd,ddYyXx 则则原方程化为原方程化为 YbXaYbXaXY11dd ckbha 111ckbha 整理课件,. 111时时当当bbaa YbXaYbXaXY11dd ckbha 111ckbha 令令 0 ckbha0111

7、 ckbha, 解出解出 h , k YbXaYbXaXY11dd ( (齐次方程齐次方程) ),代入代入将将kyYhxX 求出其通解后求出其通解后, , 即得原方程的解即得原方程的解. . 整理课件.31dd1的通解的通解求求例例 yxyxxy解解,0301 khkh令令, 2, 1 kh, 2, 1 YyXx令令,ddYXYXXY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu ,11dduuXuXu 分离变量并积分得分离变量并积分得方程变为方程变为整理课件,)12(22cuuX ,222CXXYY 即即代代回回，将将2, 1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cx

8、yxy .622122Cyxyxyx 或或整理课件上述方法不能用上述方法不能用.,. 211时时当当 bbaa整理课件三、利用变量代换求微分方程的解三、利用变量代换求微分方程的解.)(dd12的通解的通解求求例例yxxy 解解,uyx 令令1dddd xuxy代入原方程代入原方程21dduxu ,arctanCxu 解解得得得得代代回回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy 有时可通过适当的变量代换把一个方程化为可有时可通过适当的变量代换把一个方程化为可分离变量的方程：分离变量的方程：整理课件.)1(sin22的的通通解解求求例例 yxy解解令

9、令 , 1 yxu 则则,1yu 故有故有,sin12uu 即即,ddsec2xuu ,tanCxu 解得解得.)1tan(Cxyx 所求通解所求通解: :整理课件.)ln(ln3的通解的通解求微分方程求微分方程例例yxyyyx 解解,xyu 令令,yyxu 则则,lnuxuu 代代入入原原方方程程得得,dlndxxuuu ,dlnd xxuuu,ln)ln(ln1Cxu ,lnxCu 所求通解为所求通解为,lnxCxy 整理课件d dy y1 1又又如如：= =d dx xx x + + y y解解,uyx 令令, 1dddd xuxy则则代入原式代入原式,11dduxu 分离变量法解得分离

10、变量法解得,)1ln(Cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解.ddyxyx 方程变形为方程变形为整理课件伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPxy)()(dd )1 , 0,( nRn方程为方程为线性微分方程线性微分方程. 方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.四、伯努利方程四、伯努利方程时时，当当1 , 0 n时时，当当1 , 0 n解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.整理课件,1 nyz 令令，则则xyynxzndd)1(dd ),()(dd1

11、xQyxPxyynn ),()1()()1(ddxQnzxPnxz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式代入上式. )d)1)(d)()1(d)()1(1 CxenxQezyxxPnxxPnn整理课件.4dd2的的通通解解求求方方程程yxyxxy ,yz 令令,4dd22xzxxz ,22 Cxxz解解得得.224 Cxxy即即解解例例1整理课件.2222的的通通解解求求方方程程xxexyyy 解解例例2,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,dd2ddxyyxz 则则,2dd2xxexzxz dd2d22Cxexeezxxx

12、xx 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx 整理课件.)ln(dd2的的通通解解求求方方程程yxaxyxy 解解例例3令令,1 yz则方程变形为则方程变形为,lnddxaxzxz 其通解为其通解为 Cxexaezxxxx d)ln(dd11将将1 yz . 1)ln(22 xaCxy ,)ln(22xaCx 代入代入, , 得原方程通解得原方程通解: : 整理课件五、小结五、小结1、齐次方程、齐次方程).(ddxyfxy 齐次方程的解法齐次方程的解法.xyu 令令2、可化为齐次方程的方程、可化为齐次方程的方程.,kYyhXx 令令), 1 , 0()()(ddRyxQyxPxy 1yz

13、令令3、伯努利方程、伯努利方程伯努利方程的解法伯努利方程的解法整理课件六、几点说明六、几点说明:1、一阶微分方程的类型较多、一阶微分方程的类型较多 , 不同类型有不同的不同类型有不同的解法解法 , 因此首先要识别方程的类型因此首先要识别方程的类型 , 然后应用相然后应用相应的解法应的解法 . 2、有时所给的方程并非标准型、有时所给的方程并非标准型 , 应把方程转化为应把方程转化为标准形式再求解标准形式再求解 .整理课件思考题思考题方程方程)(d )()(2022xxyttyttyx 是否为齐次方程是否为齐次方程?解解 方程两边同时对方程两边同时对 x 求导求导:,222yxyyxy ,22yy

14、xyx ,12xyxyy 原方程原方程是是齐次方程齐次方程.整理课件一一、 求求下下列列齐齐次次方方程程的的通通解解: : 1 1、0dd)(22 yxyxyx； 2 2、0d)1(2d)21( yyxexeyxyx. . 二二、 求求下下列列齐齐次次方方程程满满足足所所给给初初始始条条件件的的特特解解: : 1 1、1, 0d2d)3(022 xyxxyyxy； 2 2、,0d)2(d)2(2222 yxxyyxyxyx 11 xy . . 三三、化化下下列列方方程程为为齐齐次次方方程程, ,并并求求出出通通解解: : 1 1、31 yxyxy； 2 2、0d)642(d)352( yyxx

15、yx. . 练练 习习 题题整理课件练习题答案练习题答案一、一、1 1、)ln2(22cxxy ； 2 2、cyexyx 2. . 二、二、1 1、322yxy ； 2 2、yxyx 22. . 三、三、1 1、Cyxxy )2()1ln(2112arctan22； 2 2、Cxyxy 2)32)(34(. . 整理课件思考：思考：.64dd yxyxxy例例 求解微分方程求解微分方程提示提示:. yxv 令令整理课件上述方法不能用上述方法不能用.,01时时当当 b.1中必至少有一个为零中必至少有一个为零与与ba,. 211时时当当 bbaa),)(dd1cbyaxcbyaxfxy 方方程程可可化化为为,byaxz 令令，则则xybaxzdddd ).()dd(11czczfaxzb , 0 b若若可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程., 0, 01 ab若若),dd(1ddaxzbxy )()dd(11cczfaxzb 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.,01时时当当 b,byaxz 令令可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.整理课件例例 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程: :.)(sin1dd. 12xyxyxxy 解解,xyz 令令,ddddxyxyx