高级中学函数图像全集汇总

1、指数函数概念：一般地，函数 y=aAx （a>0,且aw 1）叫做指数函数，其中 x是自变量，函数 的定义域是Ro注意：L指数函数对外形要求严格，前系数要为1,否则不能为指数函数。2.指数函数的定义仅是形式定义。指数函数的图像与性质：.（I）定义域：R位点（。）即A“H J皮 （1）Zi R匕足增函数（4）6- R工是减函数规律：1.当两个指数函数中的 a互为倒数时，两个函数关于 y轴对称、但这 两个函数都不具有奇偶性。-4 -3 -2 I 23 42 .当a>1时，底数越大，图像上升的越快，在 y轴的右侧，图像越靠近 y轴；当0vav1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，

2、图像越靠近 y轴。在y轴右边 底大图高”；在y轴左边 底大图低”。Ox3 .四字口诀：“大增小减”。即：当a> 1时，图像在R上是增函数；当0vav1时, 图像在R上是减函数。4 .指数函数既不是奇函数也不是偶函数。比较募式大小的方法：1 .当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2 .当底数中含有字母时要注意 分类讨论；3 .当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4 .对多个数进行比较，可用 0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。对数函数

3、1 .对数函数的概念由于指数函数y=ax在定义域(-8, +8)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数 y=ax(a>0, aw 1)的反函数称为对数函数，并记为y=log ax(a >0, aw 1).因为指数函数y=ax的定义域为(-00, +oo),值域为(0, +oo),所以对数函数 y=logax的 定义域为(0, +00),值域为(-OO, +OO).2 .对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=logax(a>0, aw 1)的性质，我们在同一直角

4、坐标系中作出函数y=log 2x, y=log 例，y=log 10x,y=log 1 x,y=log 1 x 的草图210由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=logax(a>0, awi)的图像的特征和性质.见下表.图象a> 1a< 1X=1K-io*ry I&gax (Oa<l)1 磨。)*性 质(1)x >0(2)当 x=1 时，y=0(3)当 x>1 时，y>00<x<1 时，y<0(3)当 x>1 时，y<00<x<1 时，y>0(4)在(0, +8)上是增函

5、数(4)在(0, +8)上是减函数补 充性 质设 y1=logax y2=logbx 其中 a> 1, b> 1(或 0vav1 0vbv1)当x>1时“底大图低”即若a> b则y>y2当0vxv 1时“底大图图”即若a>b,则yo>y2比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助 1、0、-1等中间量进行比较.3指数函数与对数函数对比名称指数函数对数

6、函数一式y=ax(a>0, aw 1)y=log ax(a > 0, aw 1)定义域(-OO, +oo)(0, +00)值域(0, +8)(-OO, +OO)当a>1时，当a> 1时函的1( x 0)0(x 1)值ax 1( x 0)10g a x 0(x 1)变1(x 0)0(x 1)化当0vav1时，当0v av 1时，情1(x 0)0(x 1)况xa 1(x 0)10g a x 0(x 1)1(x 0)0(x 1)单调性当a>1时，ax是增函数；当a> 1时，logax是增函数；当0vav1时，ax是减函数.当0vav 1时，logax是减函数.图像

7、y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称.号函数幕函数的图像与性质哥函数y xn随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分1 1类记忆的万法.熟练掌握 y x ,当n 2, 1, 一，一，3的图像和性质，列表如下.2 3从中可以归纳出以下结论： 它们都过点1,1 ,除原点外，任何幕函数图像与坐标轴都不相交，任何幕函数图像都不过第四象限.小 11 a -,一,1, 2,3时，哥函数图像过原点且在0,上是增函数.3 2小1 一a -, 1, 2时，哥函数图像不过原点且在0, 上是减函数.2任何两个幕函数最多有三个公共点.y xn奇函数偶函数非奇非偶函数! 

8、7; 1TRgT _,T j. /；：,-31,产，. r1咨 1D5 l定义域RRR1#* ' F：J奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第I象限的增减 性在第I象限 单调递增在第I象限 单调递增在第I象限 单调递增在第I象限 单调递增在第I象限 单调递减哥函数y x （X R,是常数）的图像在第一象限的分布规律是：所有备函数y X （ x R,是常数）的图像都过点（1,1） ;当 2时函数y x的图像都过原点（0,0）；当 1时，y x的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如c2）；当2,3时，y x的的图像在第一象限是“ 凹型”曲线（如Cl）1当 2时，y x的的图像在第一象限是“ 凸型”曲

9、线（如c3）当 1时，y x的的图像不过原点（0，0）,且在第一象限是“下滑”曲线（如c4）当 0时，哥函数y x有下列性质：（1）图象都通过点（0,0）,（1,1）;（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1时，图象是向下凸的；01时，图象是向上凸的；（4）在A象限内，过点 （1,1）后, 图象向右上方无限伸展。当 0时，哥函数y x有下列性质：（1）图象都通过点（1,1）;（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近；向右无限地与 X轴无限地接近；（4）在A象限内，过点 ）后， 越大，图象下落的速度越快。无论 取任何实数，幕函数y x

10、的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限对号函数0,+ 8）的图象似符号“一b函数y ax （a>o,b>0）叫做对号函数，因其在（ x而得名，利用对号函数的图象及均值不等式,当x>0时，ax2、b （当且仅当ax . a时取等号），由此可得函数y ,abax 一 x(a>0,b>0,x C R+)的性质：bi一皿一时，函数yabb ax (a>0,b>0,xC R )有取小值 21一,特别地，当 a=b=1b ）上是减函数，在区间（ ab时函数有最小值2。函数y ax - （a>0,b>0）在区间（0,x+ °°

11、）上是增函数。bb因为函数y ax (a>0,b>0)是奇函数，所以可得函数 y ax (a>0,b>0,x e R-) xx的性质：- b . bb 当x 时，函数y ax (a>0,b>0,x C R )有取大值-2y ,特别地，当a=b=1 :axa时函数有最大值-2。函数y ax (a>0,b>0)在区间(-°°, -、口)上是增函数，在区x' ab 间(-I一 , 0)上是减函 a奇函数和偶函数(1)如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f( x)= (x).那么就称f(x)为奇函数.如果对于函数

12、f(x)的定义域内的任意一个x值，者B有f(-x)=f(x),那么就称f(x)为偶函数.说明：(1)由奇函数、偶函数的定义可知，只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间 时，才有可能是奇(2)判断是不是奇函数或偶函数，不能轻率从事，例如判断f(x)是不易的.为了便于判断有时可采取如下办法：计算f(x)+f( -x),视其结果而说明是否是奇函数.用这个方法判断此函数较为方便：f(x)(3)判断函数的奇偶性时，还应注意是否对定义域内的任何x值，当xW0时，显然有f( x)= f(x),但当x=0时，f(x)=f(x)=1 ,，f(x)为非奇非偶函数.(4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对

13、称的中心对称图形；偶函数的图象特征是关于y轴为对称轴的对称图形.(5)函数的单调性与奇偶性综合应用时，尤其要注意由它们的定义出发来进行论证.例 如果函数f(x)是奇函数，并且在(0, +8)上是增函数，试判断在( 8, 0)上的增减性.解设 x1, x2 (-°°, 0),且 x1 V x2 V 0则有x1 >- x2>0,f(x)在(0, +8)上是增函数，.f(-x1)>f(-x2)又 f(x)是奇函数，f(x)= - f(x)对任意x成立，=f(x1) >- f(x2) .f(x1)<f(x2).f(x)在( 8, 0)上也为增函数.由此

14、可得出结论：一个奇函数若在(0, +8)上是增函数，则在( 8, 0)上也必是增函数， 即奇函数在(0, +8)上与( 8, 0)上的奇偶性相同.类似地可以证明，偶函数在(0, +8)和( 8, 0)上的奇偶性恰好相反.时，f(x)的解析式解x< 0,- x>0.又f(x)是奇函数，f( x尸一f(x).偶函数图象对称性的拓广与应用我们知道，如果对于函数y = f(x)定义域内任意一个X,都有 f( x)=f(x),那么函数y = f(x)就叫做偶函数.偶函数的图象关 于y轴对称，反之亦真.由此可拓广如下：如果存在常数a, b,对于函数y = f(x)定义域内任意一个x, a+x,

15、 b-x 仍在定义域丸且3 40他-班 那么函薮V = E的图象关于直卷对称鼻(这 样的函数我们不妨称之为广义偶函数)反之亦真.京+ k证明设Pg EW)是函数图象上任一点，则它关于直线黑=一的对称点为F(a+b-x , f(x),而 f(a +b x)=fa +(bx) =fb (b - x) =f(x),对称点 P'(a+b-x ,f)仍在函数的图象上，所以函数y二期)的图象关于直线乂二土箸对称.11反之，如符二电)的图象关于直线戈二审对称，设川+航通+瑞为图象上 禽|l任一点，则它关于直缥=一的对祢点为Pfb 宜，因此，£(a+ = £(bX).以上拓广简记为：f(a +啰=f(b-啰O函数y =