高等数学第五讲（4学分）

1、整理课件1第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学第一节第一节导数的概念导数的概念 整理课件2 引例引例1. 求变速直线运动物体的瞬时速度求变速直线运动物体的瞬时速度设描述质点位移与时间的函数为设描述质点位移与时间的函数为)(tfs 0t则则 到到 的平均速度为的平均速度为0tt v)()(0tftf0tt 而在而在 时刻的瞬时速度为时刻的瞬时速度为0t lim0ttv)()(0tftf0tt so)(0tf)(tft1.1导数的定义导数的定义整理课件3 xyo2. 求曲线在某点的切线求曲线在某点的切线NT0 xMx割线割线 M N 的斜率的斜率tan)()(0 xfxf0 xx00 )(-

2、)( lim0 xxxfxfkxx切线的斜率)(xfy T整理课件4同类数学问题同类数学问题:瞬时速度瞬时速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切线斜率切线斜率 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx函数增量函数增量与与自变量增量自变量增量之比的极限之比的极限 .整理课件5定义定义2.1、函数在一点处可导、函数在一点处可导定义定义 . 设函数设函数)(xfy 在点在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在存在,)(xf并称此极限为并称此极限为)(xfy 记作记作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxx

3、xf即即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000则称函数则称函数若若的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , 在点0 x处处可导可导, 在点0 x的导数导数. 整理课件60limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述极限不存在若上述极限不存在 ,在点在点 不可导不可导. 0 x若若,lim0 xyx也称也称)(xf在0 x就说函数就说函数的导数为的导数为无穷大无穷大 .整理课件7在在 时刻的瞬时速度：位移关于时间的导数。时刻的瞬时速度：位移关于时间的导数。0t lim0ttv)()(0tft

4、f0tt 曲线在曲线在 M 点处的切线斜率：曲线在点处的切线斜率：曲线在M处的导数处的导数 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(0tf )(0 xf 引例问题的解：引例问题的解：导数就是一种特殊类型的极限。导数就是一种特殊类型的极限。整理课件8例：求函数例：求函数y=x2+1在在x=2处的导数。处的导数。xxxfxfxfxxfy 4)()12(1)2()2()2()()(22200解：解： 函数的增量：函数的增量：xxxxyxx 4)(limlim2004)4(lim0 xx4)2( f整理课件9在点在点0 x的某个的某个右右 邻域内邻域内单侧导数单侧导数)(xfy 若极限若极限

5、xxfxxfxyxx)()(limlim000000则称此极限值为则称此极限值为)(xf在在 处的处的右右 导数导数,0 x记作记作)(0 xf即即)(0 xfxxfxxfx)()(lim0000(左左)(左左)00( x)00( x)(0 xf例如例如,xxf)(在在 x = 0 处有处有,1)0(f1)0(f定义定义 . 设函数设函数有定义有定义,存在存在,整理课件10定理定理. 函数函数在点在点0 x)(xfy ,)()(00存在与xfxf且且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在存在)(0 xf)(0 xf简写为简写为可导的可导的充分必要条件充分必要条件是是例例. 证明函数证明

6、函数xxf)(在在 x = 0 不可导不可导. 整理课件11处可导在点xxf)(. 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理.处连续在点xxf)(证证: 设)(xfy 在点在点 x 处可导处可导,)(lim0 xfxyx存在存在 , 因此必有因此必有,)(xfxy其中其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函数所以函数)(xfy 在点在点 x 连续连续 .注意注意: 函数在点函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:xy xyoxy 在在 x = 0 处连续处连续 , 但不可导但不可导.即整理课件12在点在点处右右 导数存在导数存在0 x定理定理. 函数函数)

7、(xf)(xf在点在点0 x必必 右右 连续连续.(左左)(左左)若函数若函数)(xf)(af)(bf与都存在都存在 , 则称则称)(xf显然显然:)(xf在闭区间在闭区间 a , b 上可导上可导,)(baCxf在开区间在开区间 内可导内可导,),(ba在闭区间在闭区间 上可导上可导.,ba且整理课件13若函数在开区间若函数在开区间 I 内每点都可导内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为此时导数值构成的新函数称为导函数导函数.记作记作:;y; )(xf ;ddxy.d)(dxxf就称函数就称函数在在 I 内可导内可导. 二、函数在区间上的导数二、函数在区间上的导数整理课件14例例. 求函数

8、求函数Cxf)(C 为常数为常数) 的导数的导数. 例例. 求函数求函数的的导导数数。)N()( nxxfn基本初等函数的导数基本初等函数的导数整理课件15说明：说明：对一般幂函数对一般幂函数xy ( 为常数) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21xxaxxax1ln1)(ln,)(log证明：证明：整理课件16hxhxhsin)sin(lim0例例. 求函数求函数xxfsin)(的导数的导数. 解解:,xh令则则)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即即xxco

9、s)(sin类似可证得类似可证得xxsin)(cosh整理课件17第二节第二节导数的法则与基本公式导数的法则与基本公式 第二章 整理课件18一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和的和、 差、差、 积、积、 商商 (除分母除分母为为 0的点外的点外) 都在点都在点 x 可导可导,且且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv整理课件19此法则可推广到任意有限项的情形此法则可推广到任意有限项的情形.证

10、证: 设, 则vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立故结论成立.wvuwvu)( ,例如例如,整理课件20(2)vuvuvu )(证证: 设, )()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论推论: )(uCuC ( C为

11、常数为常数 )整理课件21)()( lim0 xvhxvh(3)2vvuvuvu证证: 设设)(xf则有则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论成立故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2vvCvC( C为常数为常数 )整理课件22求此函数的导数,ln)(sinxxy 例例. 例例. 求证求证,sec)(tan2xx.cotcsc)(cscxxx,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx整理课件23 )( xf二、反函

12、数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理. 可导可导, ,)()(1的反函数为设yfxxfy)(1yf0 )(1yf且1 )(1yf整理课件241例例. 求反三角函数及指数函数的导数求反三角函数及指数函数的导数.解解: 1) 设,arcsin xy 则,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x0cosy, 则整理课件25 )(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xaaaxxln)(xxe)e(整理课件26三、基本初等函数的求导公式三、基本初等函数的求导公式 1. 常数和基本初等函数的导数 (P7) )(

13、C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x整理课件27在点在点 x 可导可导,复合函数求导法则复合函数求导法则定理定理2.4.)(xgu )(ufy 在点在点)(xgu 可导可导复合函数复合函数 fy )(xg且且)()(ddxgufxy在点在点 x 可导可导,整理课件28

14、xyeyxyxcos1,5sin1 求下列函数的导数求下列函数的导数整理课件29例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufuyddvuddxvdd推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形此法则可推广到多个中间变量的情形.整理课件30例例. 设, )cos(lnxey 求.ddxy例例. 设, )1(ln2xxy.y求关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导由外向内逐层求导.整理课件31求下列函数的导数求下列函数的导数2233sinsinarctan)(ln),2sin(xxyeyxyyxx整理课件3231xy4、隐函数的导数、隐函数的导数若由

15、方程若由方程0),(yxF可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,由)(xfy 表示的函数表示的函数 , 称为称为显函数显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数可确定显函数03275xxyy可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,函数为函数为隐函数隐函数 .则称此则称此（1）隐函数与显函数的概念。隐函数与显函数的概念。整理课件33（2）隐函数隐函数求导求导 0),(yxF0),(ddyxFx两边对两边对 x 求导求导(解含导数解含导数 的方程的方程)y整理课件34例例. 求由方程求由方程03275xxyy)(xyy 的导数，并求在的导数，并求在 x = 0处的导数值。处的导数值。解

16、解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导)32(dd75xxyyx得得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因因 x = 0 时时 y = 0 , 故故210dd xxy0确定的隐函数确定的隐函数整理课件35求由方程求由方程0sin21yxy确定的函数确定的函数y=y(x)的导数。的导数。整理课件36法法1、用取对数求导法求、用取对数求导法求 :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyv5、幂指函数幂指函数 导数的求法。导数的求法。)()(xvxuy 法法2、直接变形法求导、直接变形法求导)()(ln)()(xuxvxvexuy)(ln)()()(ln

17、)()()(ln)(xuxvxuxuxvexvxuxv整理课件37的导数。例：求函数xxy)1 ( 课堂练习：求下列函数的导数课堂练习：求下列函数的导数), 0(,sin0232)(cos3xxyaxyyx整理课件38例例,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数两边取对数yln两边对两边对 x 求导求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb可用于取对数求导法的情况：可用于取对数求导法的情况：整理课件39定义定义.若函数若函数)(xfy 的导数的导数)(xfy可导可导, ,或或,dd22xy即即)( yy或或)dd(dddd

18、22xyxxy类似地类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数 ,1n阶导数的导数称为阶导数的导数称为 n 阶导数阶导数 ,y ,)4(y)(,ny或或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二阶导数二阶导数 , 记作记作y )(xf 的导数为的导数为依次类推依次类推 ,分别记作分别记作则称则称2.3、高阶导数、高阶导数整理课件40的三阶导数的三阶导数求函数求函数xexy2例： xyxxyxcos2arctan)1 (2：求下列函数的二阶导数课堂练习：课堂练习：整理课件41第三节第三节微分微分 第二章 整理课件42一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块

19、正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少问此薄片面积改变了多少? 0 xx20 xA xx 02)( x0 x变到变到,0 xx边长由边长由其其2020)(xxxA 20)(2xxx主要部分主要部分高阶无穷小高阶无穷小0 x时为整理课件43故xxA02称为函数在称为函数在 的微分的微分0 x整理课件44的的微分微分,定义定义: 若函数若函数)(xfy 在点在点 的增量可表示为的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy( A 为不依赖于为不依赖于x 的常数的常数)则称函数则称函数)(xfy 而而 称为称为xA在)(xf0 x点记作记作yd,df

20、或即即xAyd)( xoxA在点在点0 x可微可微,微分就是函数增量的线性主部微分就是函数增量的线性主部整理课件45定理 :)(xfy 在点在点 可微的可微的充要条件充要条件是是0 x)(xfy 在点在点 处可导处可导,0 x且且, )(0 xfA即即xxfy)(d0整理课件46求函数求函数y=x在任意一点处的微分在任意一点处的微分)(xddy xxfxxfyd)()(d xxx )(从而从而)(ddxfxy导数也叫作导数也叫作微商微商xdx整理课件47微分的几何意义微分的几何意义xx0 xyo)(xfy 0 xyyd切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量整理课件48例如例如,3xy yd02. 0d2xx23xxd