高等数学D5_3定积分的换元法与分部积分法

1、二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 第三节不定积分一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和 分部积分法 第五五章 第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()(uufd)(基本思路基本思路 设, )()(ufuF)(xu可导,xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(则有一、定积分的换元法一、定积分的换元法 定理定理1. 设函数, ,)(baCxf函数)(tx满足:1), ,)(1Ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t

2、)(t证证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,)()(的一个原函数是设xfxF是的原函数 , 因此有则baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t则说明说明: :1) 当 , 即区间换为，时,定理 1 仍成立 .2) 必需注意换元必换限换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .3) 换元公式也可反过来使用 , 即) )(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不换限tfd)(t)(ttfxxfbadd)()(t)(ttfd)(t)(t例例1. 计算).0(d022axxaa解解: 令,sintax 则,d

3、cosdttax ;0,0tx时当.,2tax时 原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos2O22xayxyaS且例例2. 计算.d12240 xxx解解: 令, 12 xt则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x.3t 原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322; 1t且 例例3., ,)(aaCxf设证证:(1) 若, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)(2) 若, )()(xfxf0d)(aaxxf则xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xx

4、fad)(0 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa时)()(xfxf时)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令例例4. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：xxfxxfTTaad)(d)() 1 (0解解: (1) 记01 sin2 dnIx x,d)()(xxfaTaa)()()(afTafa0无关，与可见aa)(),0()(a因此),(d)(d)()2(0NnxxfnxxfTnTaa并由此计算则即xxfxxfTTaad)(d)(0(2)xxfnTaad)(xxfTkTakTankd)(10 xxnd2sin10),(d)(d)()2(0NnxxfnxxfTn

5、Taa并由此计算,) 1 (akTa中的看作将)(d)(0NnxxfnT为是以x2sin1周期的周期函数xxnd2sin10 xxnd2sin10 xxfxxfTTkTakTad)(d)(0则有xxfxxfTTaad)(d)() 1 (0 xxnxxnd2sin1d2sin100 xxxnd)sin(cos02xxxndsincos0 xxnd)sin(2044 xt令ttndsin2454ttndsin20ttndsin20n22xxfxxfTTaad)(d)() 1 (0二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 定理定理2. , ,)(, )(1baCxvxu设则)()(d)()(xv

6、xuxxvxubaabbaxxvxud)()(二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 定理定理2. , ,)(, )(1baCxvxu设则)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(证证:)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(上积分两端在,ba例例5. 计算.darcsin210 xx解解: 原式 =xx arcsin021210 xxxd1212)1 (d)1 (212022121xx1221)1 (2x021122

7、3120dcosttn20dcosxxn例例6. 证明证明20dsinxxInn证证: 令20dcosxxn,22143231nnnnn 为偶数,3254231nnnnn 为奇数,2xt则20dsinxxn022d)(sinttn令,sin1xun,sin xv 则,cossin) 1(2xxnunxvcossincos1xxInn022022dcossin) 1(xxxnn02022dcossin) 1(xxxnInn2022d)sin1 (sin) 1(xxxnn2) 1(nInnIn) 1( 由此得递推公式21nnnnII于是mI2mm21212mI122mm而0I20dx,220dsi

8、nxxInn201dsinxxI1故所证结论成立 .0I1I22mI2232mm42mI214312mI1222mm32mI3254内容小结内容小结 基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限思考与练习思考与练习1.提示提示: 令, txu_d)(sindd0100ttxxx则ttxxd)(sin0100ud0 xu100sinx100sin2. 设,0) 1 (,)(1fCtf,lnd)(31xttfx(e).f求解法解法1.31d)(lnxttfx) 1 ()(3fxf)(3xf,3xu 令3ln)(uuf得uln3131(e) f解法解法2. 对已知等式两边求导,xxfx132)

9、(3,3xu 令uuf31)(得) 1 (d)(e)e1fuuffe1131duu31得3. 设, 1 ,0)(连续在xf , 3)2(, 1)0(ff且,5)2( f求.d)2(10 xxfx 解解: xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2(分部积分分部积分)1. 证明 证：证：2dsin)(xxxxxf是以 为周期的函数.2dsin)(xxuuxf tu令2d)sin(xxtt2dsinxxtt2dsinxxxx)(xf)(xf是以 为周期的周期函数.证：证：2.右端,)(上有连续的二阶导数在设baxf)(af且试证 babaxxfbxaxxxfd)()(21d)(baxfbxax)(d)(2