新人教二次函数综合题复习(含答案)

1、二次函数综合题专练.解答题1 .如图，已知抛物线 y=-x2+mx+3与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C,点B的坐标为(3, 0)(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当 PA+PC的值最小时，求点 P的坐标.2 .如图，已知点 A (0, 2), B (2, 2) , C ( - 1 , - 2),抛物线 F: y=x2- 2mx+m 2-2 与直线 x= - 2 交于点P.(1)当抛物线F经过点C时，求它的表达式；(2)设点P的纵坐标为yp,求yp的最小值，此时抛物线 F上有两点(x1，y1)，(x2, y2),且xvx2W-2,比较y1与y2的大小

2、;(3)当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出 m的取值围.0).(1)求a, b的值；(2)点C是该二次函数图象上 A, B两点之间的一动点，横坐标为 x (2<x< 6),写出四边形 OACB的面 积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求 S的最大值.4 .如图1,抛物线y=ax2+b的顶点坐标为(0, T),且经过点A (-2, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)若将抛物线y=ax2+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变，就得到了函数y=|ax2+b|图象上的任意一点 P,直线l是经过(0, 1)且平行与x轴的直线，过点 P作直线l的垂 线，垂

3、足为D,猜想并探究：PO与PD的差是否为定值？如果是， 请求出此定值；如果不是，请说明理由.5 .某文具店购进一批纪念册，每本进价为 20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y (本)与每本纪念册的售价 x (元)之间满足一 次函数关系：当销售单价为 22元时，销售量为36本；当销售单价为 24元时，销售量为32本.(1)请直接写出y与x的函数关系式；(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？(3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文

4、具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？6 .某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价 120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价 每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加 10x元(x为整数).(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式.(2)设宾馆每天的利润为 W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？(3)某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：当日所获利润不低于 5000元，宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元，每个房间刚好住满 2人.问：这

5、天宾馆入住的游客人数最少有多少人？7 .为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点 O处发球，排球从点 。的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点 。的水平距离 OE为7米时，到达最高点G建立如图所示的平面 直角坐标系.(1)当球上升的最大高度为 3.2米时，求排球飞行的高度 y (单位：米)与水平距离 x (单位：米)的函 数关系式.(不要求写自变量 x的取值围).(2)在(1)的条件下，对方距球网 0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可

6、以拦网成功？请通过计算说明.Word文档h的取值围是多少？(排球压线属于(3)若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度 没出界)8 .已知，点M是二次函数y=ax2 (a>0)图象上的一点，点 F的坐标为(0,),直角坐标系中的坐标原点。与点M, F在同一个圆上，圆心 Q的纵坐标为.(1)求a的值；(2)当O, Q, M三点在同一条直线上时，求点 M和点Q的坐标；(3)当点M在第一象限时，过点 M作MN，x轴，垂足为点 N,求证：MF=MN+OF9 .小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时，看到前面路口时红灯，他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从

7、家到乙处的过程中，速度 v (m/s)与时间t (s)的关系如图12中的实线所不，行驶路程 s (m)与时间t(s)的关系如图2所不，在加速过程中，s与t满足表达式s=at(1)根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求 a的值；(2)求图2中A点的纵坐标h,并说明它的实际意义；(3)爸爸在乙处等待 7秒后绿灯亮起继续前行，为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度v (m/s)与时间t (s)的关系如图1中的折线O-B-C所示，行驶路程s (m)与时间t (s)2的关系也满足s=at ,当她行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度.11.科技馆是少年儿童节

8、假日游玩的乐园.如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8： 30开门后经过的时间(分钟)，纵坐标y表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为y=, 10： 00之后来的游客较少可忽略不计.(1)请写出图中曲线对应的函数解析式；(2)为保证科技馆游客的游玩质量，馆人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待.从 10: 30开始到12: 00馆陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆人数减少到 624人时，馆外等待的游客可全部进入.请问馆外游客最多等待多少分钟？二次函数综合题专练答案参考答案与试题解析一.解答题(共11小题)1. (2016?)如图，已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交

9、于A, B两点，与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当 PA+PC的值最小时，求点 P的坐标.【分析】(1)首先把点B的坐标为(3,0)代入抛物线y= - x2+mx+3 ,利用待定系数法即可求得 m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；(2)首先连接BC交抛物线对称轴l于点P,则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案.【解答】 解：(1)把点B的坐标为(3, 0)代入抛物线 y= - x2+mx+3得：0= - 32+3m+3 ,解得：m=2 ,1. y= - x2+2x+3= - (

10、x-1) 2+4,，顶点坐标为：(1, 4).(2)连接BC交抛物线对称轴l于点P,则此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b , 点 C (0, 3),点 B (3, 0),解得：， 直线BC的解析式为：y= -x+3 ,当 x=1 时，y= - 1+3=2 , 当PA+PC的值最小时，点 P的坐标为：(1, 2).【点评】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题.注意找到点P的位置是解此题的关键.2. (2016?)我们规定：若=(a, b), = (c, d),贝U?=ac+bd .如=(1, 2), = (3, 5),则=1 X3+2 X5=13

11、. (1)已知=(2, 4) , = (2, - 3),求；(2)已知=(x-a, 1), = (x-a, x+1 ),求y=,问丫=的函数图象与一次函数 y=x - 1的图象是否相交， 请说明理由.【分析】(1)直接利用=(a, b), = (c, d),则？=ac+bd ,进而得出答案；(2)利用已知的出y与x之间的函数关系式，再联立方程，结合根的判别式求出答案.【解答】解：(1) = (2, 4), 二 (2, 3),=2 X2+4 X ( -3) = 8;(2) -.1 = (x a, 1), = (xa, x+1),y= (x- a) 2+ (x+1 )=x2 - ( 2a - 1)

12、 x+a 2+1y=x2 - (2aT) x+a 2+1联立方程：x2 - ( 2a - 1) x+a2+1=x - 1,化简彳导:x2- 2ax+a 2+2=0 , =b 2- 4ac= - 8< 0,，方程无实数根，两函数图象无交点.【点评】 此题主要考查了根的判别式以及新定义，正确得出y与x之间的函数关系式是解题关键.3. (2016?)如图，已知点 A (0, 2), B (2, 2), C (- 1 , 2),抛物线 F: y=x2 2mx+m 2 2 与直线x= - 2交于点P.(1)当抛物线F经过点C时，求它的表达式;(2)设点P的纵坐标为yp,求yp的最小值，此时抛物线F

13、上有两点(x1,y1)，(x2,y2),且x1 < x2 < - 2 ,比较y1与y2的大小;(3)当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出 m的取值围.-2),可以求得抛物线F的表达式;(2)根据题意，可以求得 yp的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y1与y2的大小;(3)根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题【解答】 解：(1).抛物线F经过点C(- 1, -2),1- - 2= (T) 2-2XmX (-1) +m2-2 ,解得，m= - 1 , 抛物线F的表达式是：y=x2+2x - 1;(2)当 x=2 时，yp=4+4m+m 22= (m+2 ) 2

14、2, 当m= -2时，yp的最小值-2,此时抛物线 F的表达式是：y=x2+4x+2= (x+2) 2-2, 当xw - 2时，y随x的增大而减小，xi < x2< 2, yi >y2；3. ) m的取值围是-2WmW0或2WmW4,理由：.抛物线 F与线段AB有公共点，点 A (0, 2), B (2, 2),，或，解得，-2WmW0 或 2WmW4.【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题 的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题.4. (2016?)如图，二次函数 y=ax2+bx的图象经过

15、点 A (2, 4)与B (6, 0).(1)求a, b的值；(2)点C是该二次函数图象上 A, B两点之间的一动点，横坐标为x (2<x< 6),写出四边形 OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求 S的最大值.【分析】(1)把A与B坐标代入二次函数解析式求出a与b的值即可；(2)如图，过A作x轴的垂直，垂足为 D (2, 0),连接CD,过C作CEL AD , CF± x轴，垂足分别为 E, F,分别表示出三角形 OAD,三角形ACD,以及三角形 BCD的面积，之和即为 S,确定出S关于x的函数 解析式，并求出x的围，利用二次函数性质即可确定出 S的最大值

16、，以及此时 x的值.【解答】 解：(1)将A (2, 4)与B (6, 0)代入y=ax2+bx,得，解得：；(2)如图，过A作x轴的垂直，垂足为 D (2, 0),连接CD,过C作CE±AD , CF±x轴，垂足分别为 E, F,Saoad=OD ?AD= X2 X4=4 ;Saacd=AD ?CE= X4X (x-2) =2x - 4;Sabcd=BD ?CF= X4X ( -x2+3x) = - x2+6x ,贝U S=Saoad+Saacd+S abcd=4+2x - 4 - x +6x= - x +8x ,，S关于x的函数表达式为 S= - x2+8x (2<

17、;x< 6),S= - x2+8x= (x4) 2+16,当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为 16.【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解 本题的关键.5. (2016?)如图1,抛物线y=ax2+b的顶点坐标为(0, - 1),且经过点 A ( - 2, 0).图I国2(1)求抛物线的解析式；(2)若将抛物线y=ax2+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变，就得到了函数y=|ax2+b|图象上的任意一点 P,直线l是经过(0, 1)且平行与x轴的直线，过点 P作直线l的垂线，垂足为D,猜

18、想并探究：PO与PD的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.(注：在解题过程中，如果你觉得有困难，可以阅读下面的材料)附阅读材料：1 .在平面直角坐标系中， 若A、B两点的坐标分别为 A (x1, y。，B (x2, y2),则A, B两点间的距离为|AB|二,这个公式叫两点间距离公式.例如：已知 A, B两点的坐标分别为(-1, 2), (2, -2),则A, B两点间的距离为|AB|=5 .2 .因式分解：x4+2x2y2+y4= (x2+y2) 2.【分析】(1)待定系数法求解可得；(2)先根据题意表示出翻折后抛物线解析式，再求出 y=1时x的值，继而可分-2WxW2

19、、- 2< x< - 2 或2、xv - 2或x>2三种情况，根据两点间距离公式列式表示出PO与PD的差即可得出答案.【解答】解：(1)根据题意设抛物线解析式为y=ax2 - 1,将点 A ( - 2, 0)代入，得：4a- 1=0 ,解得：a=,，抛物线的解析式为 y=x2 - 1；1. )如图，根据题意，当-2W xw 2时，y= - x2+1 ;当 xv 2 或 x>2 时，y=x2 1 ;由可得点M (- 2, 1)、点N (2, 1),当-2WxW2时，设点P坐标为(a, - a2+1),贝U PO - PD= - 1 - (- a2+1 )=a2+1 - a

20、2=1 ；当-2Wxv - 2或2时，设点P的坐标为(a, a2- 1),则 PO - PD= - 1 - (a2- 1)=a2+1 - 2+a2=a?T ；当xv - 2或x>2时，设点P的坐标为(a, a2- 1),则 PO - PD= - (a- 1) - 1=a2+1 - a2+2二3 ;综上，当xv- 2、- 2WxW2或x> 2时，PO与PD的差为定值.【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的变化及两点间距离公式，分类讨论 思想的运用是解题的关键.6. (2016?)某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于

21、20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y (本)与每本纪念册的售价 x (元)之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为 24元时，销售量为32本.(1)请直接写出y与x的函数关系式；(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？(3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？【分析】(1)设y=kx+b ,根据题意，利用待定系数法确定出y与x的函数关系式即可；(2)根据题意结合销量X每本的利润 =150 ,进而求出

22、答案；(3)根据题意结合销量X每本的利润 二w,进而利用二次函数增减性求出答案.【解答】 解：(1)设y=kx+b ,把( 22, 36)与(24, 32)代入得：，解得：，则 y= - 2x+80 ;(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意得：(x-20) y=150 ,则(x- 20) (- 2x+80 ) =150 ,整理得：x2- 60x+875=0 ,(x- 25) (x- 35) =0 ,解得：xi=25 , X2=35 (不合题意舍去)，答：每本纪念册白销售单价是25元；(3)由题意可得：w= (x- 20) ( - 2x+80

23、 ) =-2x2+120x - 1600 =-2 (x- 30) 2+200 ,此时当x=30时，w最大，又,一售价不低于 20元且不高于28元，.x< 30时，y随x的增大而增大，即当 x=28时，w最大=-2 (28 - 30) 2+200=192 (元)，答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元.【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量X每本的利润=w得出函数关系式是解题关键.7. (2016?)某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，

24、当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x元(x为整数).(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式.(2)设宾馆每天的利润为 W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？(3)某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：当日所获利润不低于 5000元，宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元，每个房间刚好住满 2人.问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？【分析】(1)根据每天游客居住的房间数量等于50-减少的房间数即可解决问题.(2)构建二次函数，

25、利用二次函数的性质解决问题.(3)根据条件列出不等式组即可解决问题.【解答】 解：(1)根据题意，得：y=50 - x, (0wxw 50,且x为整数)；(2) W= ( 120+10x- 20) (50 -x)=-10x2+400x+5000=-10 (x - 20) 2+9000 , a= - 10V 0当x=20时，W取得最大值，W最大值=9000元，答：当每间房价定价为 320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元；(3)由解得 20<x< 40当x=40时，这天宾馆入住的游客人数最少，最少人数为 2y=2 (- x+50 ) =20 (人).【点评】本题考查二次

26、函数的应用、一元一次不等式等知识，解题的关键是构建二次函数解决实际问题中 的最值问题，属于中考常考题型.8. (2016?)为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度 AB为2.43米，一队员站在点 O处发球，排球从点 O的正上方1.8米的C点向正前方飞出， 当排球运行至离点 O的水平距离OE为7米时，到达最高点 G建立如图所 示的平面直角坐标系.(1)当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度 y (单位：米)与水平距离 x (单位：米)的函数关系式.(不要求写自变量 x的取值围).(2)在(1)的条件下

27、，对方距球网 0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明.(3)若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值围是多少？(排球压线属于没出界)【分析】(1)根据此时抛物线顶点坐标为(7, 3.2),设解析式为y=a (x-7) 2+3.2,再将点C坐标代入即可求得；(2)由(1)中解析式求得x=9.5时y的值，与他起跳后的最大高度为3.1米比较即可得；(3)设抛物线解析式为 y=a (x-7) 2+h ,将点C坐标代入得到用h表示a的式子，再根据球既要过球网，又不出边界即x=9时，y>2.43且x=18时，yw 0得出

28、关于h的不等式组，解之即可得.【解答】 解：(1)根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为(7, 3.2),设抛物线解析式为 y=a (x-7) 2+3.2 ,将点 C (0, 1.8)代入，得：49a+3.2=1.8 ,解得：a=-,排球飞行的高度 y与水平距离x的函数关系式为y= - (x-7) 2+;(2)由题意当 x=9.5 时，y= - (9.5 7) 2+ 3.02<3.1 , 故这次她可以拦网成功；(3)设抛物线解析式为 y=a (x-7) 2+h ,将点 C (0, 1.8)代入，得：49a+h=1.8，即 a二,，此时抛物线解析式为 y= (x- 7) 2+h ,根据题意，

29、得：，h的取值围是 h> 3.025.解得：h> 3.025, 答：排球飞行的最大高度【点评】此题主要考查了二次函数的应用题，求围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，再根据题 意确定围.29. (2016?)已知，点M是二次函数y=ax (a>0)图象上的一点，点 F的坐标为(0,),直角坐标系中的坐标原点。与点M, F在同一个圆上，圆心 Q的纵坐标为.(1)求a的值；(2)当O, Q, M三点在同一条直线上时，求点 M和点Q的坐标；(3)当点M在第一象限时，过点 M作MN，x轴，垂足为点 N,求证：MF=MN+OF .【分析】(1)设Q (m,), F (0,),根据Q

30、O=QF列出方程即可解决问题.(2)设M (t,岛，Q (m,),根据Kom=Koq,求出t、m的关系，根据 QO=QM列出方程即可解决问题.、一2一.一 . 一 .一、.一一 .、一_.(3)设M (n, n ) (n>0),则N (n, 0), F (0,),利用勾股定理求出 MF即可解决问题.【解答】 解：(1) .圆心O的纵坐标为，设 Q (m,), F (0,),QO=QF ,l. m2+ () 2=m 2+ ( - ) 2,a=1 , 2 ，抛物线为y=x .(2) M 在抛物线上，设 M (t, t2), Q (m,),O、Q、M在同一直线上，. Kom =Koq,二,m=

31、, QO=QM ,m2+ () 2= (m - t) 2= (- t2) 2,整理得到：-t2+t4+t 2- 2mt=0 , .,4t4+3t2- 1=0 ,(t2+1 ) (4t2- 1)=0,t1= , t2=-,当 t1 =时，m1=,当 t2=一时，m2=一. . Mi (,), Qi (,), M2Q2 (一,).(3)设 M ( n, n2) ( n>0), N (n, 0), F (0,),MF=n 2+ , MN+OF=n 2+ , .MF=MN+OF .【点评】本题考查二次函数的应用、三点共线的条件、勾股定理等知识，解题的关键是设参数解决问题, 把问题转化为方程解决，

32、属于中考常考题型. 0. (2016?)小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时， 看到前面路口时红灯，他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从家到乙处的过程中，速度 v (m/s)与时间t (s)的关系如 图1中的实线所示，行驶路程 s (m)与时间t (s)的关系如图2所示，在加速过程中，s与t满足表达式2s=at(1)根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求 a的值；(2)求图2中A点的纵坐标h,并说明它的实际意义；(3)爸爸在乙处等待 7秒后绿灯亮起继续前行，为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度v (m/s)与时间t (s)的关系如图1中的折线O-B-C所示，行驶路程s (m)与时间t (s)、.一.一一2的关系也满足s=at ,当她行驶