最新北京市东城区第一学期期末高三年级数学(理)试题及答案

1、学习-好资料东城区2017-2018学年度第一学期期末教学统一检测高三数学(理科)2018.1本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。(1)若集合 A=-2,1,0,1,2,3 , B=x|x2,贝U AP|B =(A) 3(B) 2,-1,2,3(C) 0,1(D) -1,0,1,2TT(2)函数y =3sin(2 x +二)图象的两条相邻对称轴之间的距离是 4(A)须(B) n(C)

2、(D)24(3)执行如图所示的程序框图，输出的 x值为(A)(B)(C)(D)y)2x,(4)若x, y满足x+y)3,则xy的最小值为y 0)在圆P = 2cos 0外，则m的取值范围为.2(13)已知双曲线C： x2 当=10)的一个焦点到它的一条渐近线的距离为 1,则 bb =；若双曲线C与C不同，且与C有相同的渐近线，则G的方程可以为 .(写出一个答案即可)(14)如图1,分别以等边三角形 ABC的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点 间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形 ABC称为勒洛三角形 ABC,等边三角形的中心 P称 为勒洛三角形的中心.如图2,勒洛三角形 ABC夹在直线y

3、=0和直线y = 2之间，且沿x轴 滚动.设其中心 P(x,y)的轨迹方程为 y = f(x),则f (x)的最小正周期为 ; y = f (x)的图象与性质有以下描述：中心对称图形；轴对称图形；一条直线；最大值与最小值的和为 2.其中正确结论的序号为.(注：请写出所有正确结论的序号)学习-好资料三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)(本小题13分)在 ABC中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a=2, 2sinA = sinC.(I)求C的长;4，,一1(n )若B为钝角，cos2C =-,求 ABC的面积.4(16)(本小题13分)中国特

4、色社会主义进入新时代，我国经济已由高速增长阶段转向高质量发展阶段.货币政策是宏观经济调控的重要手段之一，对我国经济平稳运行、高质量发展发挥着越来越重要的作用.某数学课外活动小组为了研究人民币对某国货币的汇率与我国经济发展的关系，统计了2017年下半年某周五个工作日人民币对该国货币汇率的开盘价和收盘价，如下表：周二周三周四周五开盘价164165170172a收盘价164164169173170(I)已知这5天开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，求(n) 在(i)的条彳下，从这 5天中随机选取3天，其中开盘价比当日收盘价低的 天数记为之求E的分布列及数学期望 E片6天收盘价的方差最小.(只需写O,

5、M的正(III )在下一周的第一个工作日，收盘价为何值时，这出结论)(17)(本小题14分)如图，在四棱锥 EABC由，平面ADE _L平面ABCD ,分别为线段 AD,DE的中点.四边形BCDO是边长为1方形，AE =DE , AE _L DE .(I )求证：CM 平面ABE(n )求直线de与平面ABE所成角的正弦值;(III )点N在直线AD上，若平面BMN_L平面ABE求线段AN的长.(18)(本小题13分).一一 1 31已知函数 f(x)= -x x-xlnx.62(I)求曲线y = f(x)在点(1, f(1)处的切线方程；1(n)右f (x) b 0)的离心率等于 ,经过其左

6、焦点F (-1,0)且与x轴不 a b2重合的直线l与椭圆C交于M , N两点.(I )求椭圆C的方程；(n) O为原点，在x轴上是否存在定点 Q，使得点F到直线QM ,QN的距离总相等？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，说明理由.更多精品文档（20）（本小题13分）已知数列 A:ai,a2,|a（n 之2）满足 a w N 且 1a Mi（i =1,2川，n）,数列 B：h，t2，|，a（n之2） 满足 b 5a）+1Q=1,2”|,n）,其中 3）=0, T（a）（i =2,3iM,n）表示 ai,a2,lll,a中与 a不等的项的个数.（I）数列A： 1, 1, 2, 3, 4,请直接

7、写出相应的数列B;（II）证明：b 之a（i =1,2川，n）；（III）若数列A相邻两项均不等，B与a为同一个数列，证明：ai =i（i = 1,2,|,n）.学习-好资料东城区2017-2018学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准（理科）、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）(1) A(2) C(3) D(4) B(6) C(7) A(8)二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）-1(11) 20(13) 1, x2 -y2 =2 等(10) 40(12) (1,收)2 一 一(14)二，3三、解答题（共6小题，共80分）(15)(共 13 分)a c解：(I)因

8、为 a =2, 2sin A=sinC ,由正弦定理一a-=得 c = 4. sin A sin C,9193(n)由 cos2C = 2cos C -1 =,得 cos C = 一.48jT因为0 c , 2得 cosC. 6、2 10一）:44方法一：所以 sin C =,1 -(因为 2sin A = sinC ,所以 sin A =Tq8,cosA 二立8所以 sin B =sin二-(A C) =sin( A C) = sin AcosC cos Asin C,Tq .6.3/6 To 1 8484_T5.更多精品文档4学习-好资料更多精品文档所以S ABC方法二:由余弦定理c2 =

9、a2 +b2 -2abcosC ,得 b2 - J6b -12 = 0 ,解得 b =2娓或b = J6(舍).所以S.ABC=lab sin C =152(16)(共 13 分)解：(I)由于收盘价的中位数为169,且开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，所以a=169.(II)由于只有周四和周五的开盘价比其收盘价低，所以的所有可能取值为0,1,2.-3_2_1_1_2C31- C3c23-C3 C23P仁=0)=-3 ，p=1)=_=_, P(t=2) =C3-=-C510C55C510所以、的分布列为012P13310510故之的数学期望Et=0父工+1父3+2父3 = 6.10510 5

10、(17)(共 14 分) 证明:(I)取线段 AE中点P.连接BP、MP.1 因为点M为DE中点，所以 MPAD, MP=，AD.2又因为BCDO为正方形，所以BC AD , BC = AD ,所以 BC MP , BC =MP .所以四边形BCMP为平行四边形，所以 CM /BP.因为CM辽平面ABE, BPU平面ABE,所以CM /平面ABE .(n)连接EO.因为AE =DE , O为AD中点，所以 EO1 AD.因为EOU平面ADE ,平面 ADE，平面ABCD ,平面 ADE 口平面 ABCD = AD 所以 EO _LOB,EO _LOD又因为正方形 BCDO ,所以OB_LOD

11、.如图所示，建立空间直角坐标系O-xyz .A(0T0 ), B(1,0,0 ), C(1,1,0), D(0,1,0), E(0,0,1)1 1M 10-,22 .设平面ABE的法向量为m=(x,y,z ),AB =(1,1,0 ), AE =(0,1,1),则有AB m =0,s1叫即AE m =0.x y -0,y z =0.令y=_1,则x=z=1,即平面ABE的一个法向量为 m=(1,1,1%DEt Tmm DE=(0,1 X, cos(m, DE) =1* = m m DE2.6. 6 二飞所以直线DE与平面ABE所成角的正弦值为吏3(出)设ON,11 1= ?QD,所以 N=f0

12、J“0,所以 NB=(1,_九,0 % MB=.1,，I.22设平面BMN的法向量为n=(u,v,w ),则有u - v =0,即 11u -v - w =0.22令 v=i,则 n=(o,i,i因为CN n =0 ,则 u = ?u,w =2九1. 人、，-、，W.即平面BMN的一个法向量为n=(AJ,27u1因为平面 BMN _L平面ABE ,所以m ,n=0-25解得九=一所以AN =一.33(18)(本题满分共13分)解：(I) f(x)的定义域为(0,2).一一1 212由已知得 f (x) = x -ln x ,且 f (1)= 一 .223所以 f(1) =0.2所以曲线y =

13、f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为 y=2.31(n)设 g(x) = f (x) , (1 x 0,当且仅当 x = 1 时，f(x) = 0.一 .，、,1所以f(x)在(1,e)上单调递增 e一一 1 Q 1又 f (e) = -e3 e ,621c 1所以a的最小值为为1 e3 - 1 e .62(19)(本题满分共14分) a-解：(I)由题意得a - 2 ,解得0.设 M(x1, y1), N(x2, y2),x1则-4k2+ % =r， a1 +2k22x x2 -2.1 2k2设Q(t,0).由点M, N在x轴异侧，则问题等价于“QF 平分/MQN ，且 x1 0t,x2#t ,2k2 -2y1(x2 -t) y2(x1 -t) = 0.2x1x2 (x1 x2)(1-t) - 2t = 0.又等价于“ kQM +kQN =上+人=0”，即 X T x2 T将y =k(x1 +1), y2 =k(x2 +1)代入上式，整理得将代入上式，整理得 t +2 = 0 ,即t = 2 ,所以Q(-2,0).当直线MN的斜率不存在时，存在 Q(-2,0)也使得点F到直线QM , QN的距离相等故在x轴上存在定点Q(-2,0),使得点F到直线QM , QN的距离总相等(20)(共 13 分)解：(I) 1, 1, 3, 4, 5.(I