202X年高考数学总复习2.4.1【压轴大题1】函数、导数、方程、不等式课件理

1、压轴大题1函数、导数、 方程、不等式-2-3-4-5-6-7-1.导数的几何意义导数的几何意义(1)函数函数f(x)在在x0处的导数是曲线处的导数是曲线f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线的处的切线的斜率斜率,即即k=f(x0).(2)函数切线问题的求解策略函数切线问题的求解策略:用好切点用好切点“三重性三重性:切点在函数图象上切点在函数图象上,满足函数解析式满足函数解析式;切点在切线上切点在切线上,满足切线方程满足切线方程;切点处的导数等于切线的斜率切点处的导数等于切线的斜率.2.函数的导数与单调性的关系函数的导数与单调性的关系函数函数y=f(x)在在(a,b)内可导内可导,(1)假

2、设假设f(x)0在在(a,b)内恒成立内恒成立,那么那么f(x)在在(a,b)内单调递增内单调递增;(2)假设假设f(x)0,右侧右侧f(x)0,那么那么f(x0)为函数为函数f(x)的的极大值极大值;假设在假设在x0附近左侧附近左侧f(x)0,那么那么f(x0)为函数为函数f(x)的极小值的极小值.(2)设函数设函数y=f(x)在在a,b上连续上连续,在在(a,b)内可导内可导,那么那么f(x)在在a,b上上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.(3)假设函数假设函数f(x)在在a,b上单调递增上单调递增,那么那么f(a)为函数的最小值为函数的最小

3、值,f(b)为函数的最大值为函数的最大值;假设函数假设函数f(x)在在a,b上单调递减上单调递减,那么那么f(a)为函数为函数的最大值的最大值,f(b)为函数的最小值为函数的最小值.5.常见恒成立不等式常见恒成立不等式(1)ln xx-1;(2)exx+1.-9-6.构造辅助函数的四种方法构造辅助函数的四种方法(1)移项法移项法:证明不等式证明不等式f(x)g(x)(f(x)0(f(x)-g(x)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最大值.(2)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最小值.(3)x1a,b,x2c,d,f

4、(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最小值.-11-(4)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最大值.(5)x1a,b,当x2c,d时,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域与g(x)在c,d上的值域交集非空.(6)x1a,b,x2c,d,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域.(7)x2c,d,x1a,b,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域.2.4.1导数与函数的单调性、 极值、最值-13-考向一考向二考向三考向四讨论、判断、证明单调性

5、或求单调区间讨论、判断、证明单调性或求单调区间解题策略一解题策略一分类讨论法分类讨论法 (1)讨论f(x)的单调性; 难点突破 (1)讨论f(x)的单调性求函数的定义域求导函数 -14-考向一考向二考向三考向四解:f(x)的定义域为(0,+). 当a0时,x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增,x(1,+)时,f(x)0时,-15-考向一考向二考向三考向四综上所述,当a0时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减;-16-考向一考向二考向三考向四当0a0,x(x0,2)时,(x)2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x11.

6、-22-考向一考向二考向三考向四解题策略二构造函数法解题策略二构造函数法 例例2函数函数f(x)= (k为常数为常数,e是自然对数的底数是自然对数的底数),曲线曲线y=f(x)在在点点(1,f(1)处的切线与处的切线与x轴平行轴平行.(1)求求k的值的值;(2)求求f(x)的单调区间的单调区间.-23-考向一考向二考向三考向四即h(x)在(0,+)上是减函数.由h(1)=0知,当0 x0,从而f(x)0;当x1时,h(x)0,从而f(x)0知,f(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,那么g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)

7、上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值,从而g(x)0,x(-,+).综上可知,f(x)0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+).-26-考向一考向二考向三考向四求函数的极值、最值求函数的极值、最值解题策略一解题策略一利用单调性求利用单调性求 (1)求函数f(x)的单调区间.(2)当a=-1时,求函数f(x)在e-e,e上的值域;-27-考向一考向二考向三考向四难点突破 (1)求出函数f(x)的导数,通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可.(2)将a=-1代入f(x),求出函数的导数,根据函数的单调性求出函数的值域即可;-28-考向一考向二考向三考向四解:

8、(1)f(x)=1-aln x-a=1-a(ln x+1).当a=0时,f(x)0,f(x)在(0,+)单调递增;(2)a=-1时,f(x)=x+xln x.由f(x)=2+ln x,令f(x)=0,x=e-2,f(x)在e-e,e-2单调递减,在e-2,e单调递增,-29-考向一考向二考向三考向四-30-考向一考向二考向三考向四解题心得1.求最值的常用方法是由导数确定单调性,由单调性确定极值,比较极值与定义域的端点值确定最值;2.对kf(x)恒成立,求参数k的最值问题,假设求不出f(x)的极值点,可求极值点所在区间,再由极值点范围求极值的范围,由此得出参数的最值.-31-考向一考向二考向三考

9、向四对点训练对点训练3函数函数f(x)=excos x-x.(1)求曲线求曲线y=f(x)在点在点(0,f(0)处的切线方程处的切线方程;解:(1)因为f(x)=excos x-x,所以f(x)=ex(cos x-sin x)-1,f(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,那么h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.-32-考向一考向二考向三考向四解题策略二解题策略二构造函数法构造函数法 h(x)=ex-(a+1)x-b0h(x)=ex-(a+

10、1)h(x)min=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b0(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1)(a+10),令F(x)=x2-x2ln x(x0),-33-考向一考向二考向三考向四解:(1)由得f(x)=f(1)ex-1-f(0)+x.所以f(1)=f(1)-f(0)+1,即f(0)=1.又f(0)=f(1)e-1,所以f(1)=e.由于f(x)=ex-1+x,故当x(-,0)时,f(x)0.从而,f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增.(2)由条件得ex-(a+1)xb.可得ex-(a+1)x0,设g(x)=ex-(a+1)x,那么g(x)=ex-(a+1).

11、当x(-,ln(a+1)时,g(x)0.从而g(x)在(-,ln(a+1)单调递减,在(ln(a+1),+)单调递增.故g(x)有最小值g(ln(a+1)=a+1-(a+1)ln(a+1).ba+1-(a+1)ln(a+1).因此(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),那么h(a)=(a+1)(1-2ln(a+1).-35-考向一考向二考向三考向四解题心得本例在(2)中,通过作差将条件进展转化,通过构造函数求函数的最小值得出关于a,b的不等式,通过乘以(a+1)得(a+1)b的关系式,再通过第二次构造函数求函数最大值得出结果.

12、-36-考向一考向二考向三考向四对点训练对点训练4函数函数f(x)=ax-ln x,F(x)=ex+ax,其中其中x0,a0.(1)假设假设f(x)和和F(x)在区间在区间(0,ln 3)上具有一样的单调性上具有一样的单调性,求实数求实数a的取值范围的取值范围;a0,f(x)0在(0,+)上恒成立,即f(x)在(0,+)上单调递减,当-1a0,即F(x)在(0,+)上单调递增,不合题意.当a0,得xln(-a),由F(x)0,得0 x0时时,g(x)0,求求b的最大值的最大值.-40-考向一考向二考向三考向四解:(1)f(x)=ex+e-x-20,等号仅当x=0时成立,所以f(x)在(-,+)

13、单调递增.(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,g(x)=2e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2).当b2时,g(x)0,等号仅当x=0时成立,所以g(x)在(-,+)单调递增.而g(0)=0,所以对任意x0,g(x)0;当b2时,假设x满足2ex+e-x0,记|f(x)|的最大值为A.(1)求f(x);(2)求A;(3)证明|f(x)|2A.(1)解:f(x)=-2sin 2x-(-1)sin x.(2)解:当1时,|f(x)|=|cos 2x+(-1)(cos x+1

14、)|+2(-1)=3-2=f(0).因此A=3-2.当01时,将f(x)变形为f(x)=2cos2x+(-1)cos x-1.令g(t)=2t2+(-1)t-1,那么A是|g(t)|在-1,1上的最大值,-43-考向一考向二考向三考向四|g(-1)|=,|g(1)|=2-3,|g(-1)|g(1)|,所以A=2-3.-44-考向一考向二考向三考向四-45-考向一考向二考向三考向四(3)证明:由(1)得|f(x)|=|-2sin 2x-(-1)sin x|2+|-1|. 所以|f(x)|1+0,得结论a0,1)x0(0,2,从而h(a)(a0,1)的值域就是g(x0)(x0(0,2)的值域.-4

15、8-考向一考向二考向三考向四解:(1)f(x)的定义域为(-,-2)(-2,+). 当且仅当x=0时,f(x)=0,所以f(x)在(-,-2),(-2,+)单调递增.因此当x(0,+)时,f(x)f(0)=-1.所以(x-2)ex-(x+2),(x-2)ex+x+20.由(1)知,当x0时,f(x)+a单调递增.对任意a0,1),f(0)+a=a-10,f(2)+a=a0.因此,存在唯一xa(0,2,使得f(xa)+a=0,即g(xa)=0.当0 xxa时,f(x)+a0,g(x)xa时,f(x)+a0,g(x)0,g(x)单调递增.-49-考向一考向二考向三考向四因此g(x)在x=xa处取得

16、最小值, 解题心得在证明函数f(x)有最值及求最值范围时,假设f(x)=0解不出,可运用零点存在性定理求出极值点t存在的范围,从而用t表示出最值,此时最值是关于t的函数,通过函数关系式求出最值的范围.-50-考向一考向二考向三考向四对点训练对点训练6函数函数f(x)=(x-2)ex+a(x+2)2(x0).(1)假设假设f(x)是是(0,+)上的单调递增函数上的单调递增函数,求实数求实数a的取值范围的取值范围;(2)当当a 时时,求证求证:函数函数f(x)有最小值有最小值,并求函数并求函数f(x)最小值的取最小值的取值范围值范围.(1)解:由题意,得f(x)=ex+(x-2)ex+2ax+4a

17、,函数f(x)在区间(0,+)上单调递增,f(x)0在(0,+)上恒成立.ex+(x-2)ex+2ax+4a0,-51-考向一考向二考向三考向四(2)证明:f(x)=ex+(x-2)ex+2ax+4a,f(x)=xex+2a0,y=f(x)在(0,+)上单调递增,又f(0)=4a-10,存在t(0,1)使f(t)=0,x(0,t)时,f(x)0,当x=t时,f(x)min=f(t)=(t-2)et+a(t+2)2,由f(t)=0,即et(t-1)+2a(t+2)=0,-52-考向一考向二考向三考向四f(t)在(0,1)上递减,f(1)f(t)f(0),-ef(t)1或a-1时,令g(x)=0,设x2-2ax+1=0的两根为x1和x2,因为x1为函数g(x)的极大值点,-55-考向一考向二考向三考向四所以0 x10,所以a0,0 x1h(1)=0,原题得证.解题心得将条件进展转换或将要解决的问题进展等价转换是解决函数问题的常用方法,通过转换变陌生问题为熟悉问题,从而得到解决.-57-考向一考向二考向三考向四对点训练对点训练7设函数设函数f(x)=e2x-4aex-2ax,g(x)=x2+5a2,aR.(1)假设假设a=1,求求f(x)的递增区间的递增区间