高等数学教学 第五节 极限的运算法则

1、一、极限运算法则一、极限运算法则二、求极限方法举例二、求极限方法举例三、小三、小 结结2/171、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质:定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍有限个无穷小的代数和仍 是无穷小是无穷小.一、极限运算法则一、极限运算法则注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .是是无无穷穷小小，时时例例如如nn1, .11不不是是无无穷穷小小之之和和为为个个但但nn3/17推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与

2、无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.xxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例例如如都是无穷小都是无穷小定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.4/17. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设定理定理35/17推论推论1 1.)(lim)(lim,)(limcAxfcxcfcAxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面

3、.)(lim)(lim,)(limnnnAxfxfnAxf 则则是是正正整整数数而而存存在在如如果果推论推论2 2推论推论3.)(lim)(lim, 0,)(lim,)(lim)(lim)(BxgxgAxfxfBABxgAxf 则则不不同同时时为为、且且如如果果6/17二、求极限方法举例二、求极限方法举例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 7/17小结

4、小结: :则则有有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则则有有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0则商的法则不能应用则商的法则不能应用若若 xQ8/17解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大

5、的关系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx9/17解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分分母母的的极极限限都都是是零零分分子子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)10/17例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分

6、子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法)11/17小结小结: :为为非非负负整整数数时时有有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.12/17例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是无限多个无穷小之和是无限多个无穷小之和时时, n222221lim)

7、21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.关于数列，也有类似的极限运算法则关于数列，也有类似的极限运算法则13/17例例6 6.sinlimxxx 求求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx .sin 是是有有界界函函数数而而x. 0sinlim xxxxxysin 14/17.)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(00000AufxfxxxfAufaxxaxaxxxuauxxauxx 时的极限也存在，且时的极限也存在，且当当则复合函数则复合函数，又，又的某去心邻域内的某去心邻域内但在点但在点，即，即时

8、的极限存在且等于时的极限存在且等于当当运算法则）设函数运算法则）设函数定理（复合函数的极限定理（复合函数的极限)(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 意义：意义：15/17例例8 8.lim333axaxax 求求解解axaxaxax 3233)()(lim原原式式3233232)(limaaxxaxax 0 323203limauuaxu 令令16/17) 7( ) 5() 3(149 P业业作作三、小结三、小结1、极限的四则运算法则及其推论、极限的四则运算法则及其推论;2、极限求法、极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极

9、限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.3、复合函数的极限运算法则、复合函数的极限运算法则用时用时1课时课时17/17思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 18/17思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf )(xf有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则

10、可知： )()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误19/17._1sinlim320 xxx、._33lim132 xxx、一、填空题一、填空题:._)112)(11(lim22 xxxx、._coslim4 xxxeex、练练 习习 题题20/17二、求下列各极限二、求下列各极限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、)(lim4xxxxx 、21/17一一、1 1、- -5 5； 2 2、3 3； 3 3、2 2； 4 4、51； 5 5、0 0； 6 6、0 0； 7

11、7、21； 8 8、30)23(. .二二、1 1、2 2； 2 2、x2； 3 3、- -1 1； 4 4、- -2 2； 5 5、21； 6 6、0 0； 7 7、nmnm . .练习题答案练习题答案22/17集合运算法则中的对偶律：集合运算法则中的对偶律：cccBABA )(IABBABAcBA)(证明：证明：BAx BxAx 且且ccBxAx 且且ccBAx cccBABA )(ccccBxAxBAx 且且又又BxAx 且且cBAx)( cccBABA )(cccBABA )(故故BAxBAxc )(I 23/17IAB BABAcBA)(集合运算法则中的对偶律：集合运算法则中的对偶律

12、：cccBABA )(证明：证明：BAx BxAx 且且ccBxAx 且且ccBAx cccBABA )(ccccBxAxBAx 且且又又BxAx 且且cBAx)( cccBABA )(cccBABA )(故故BAxBAxc )( 24/17IABBBA ABA cBA)(集合运算法则中的对偶律：集合运算法则中的对偶律：cccBABA )(证明：证明：BAx BxAx 且且ccBxAx 且且ccBAx cccBABA )(ccccBxAxBAx 且且又又BxAx 且且cBAx)( cccBABA )(cccBABA )(故故BAxBAxc )( 25/17IABBABAcBA)(集合运算法则中的对偶律：集合运算法则中的对偶律：cccBABA )(证明：证明：BAx BxAx 或或ccBxAx 或或ccBAx cccBABA )(ccccBxAxBAx 或或又又BxAx 或或cBAx)( cccBABA )(cccBABA )(故故BAxBAxc )( 26/17集合运算法则中的对偶律：集合运算法则中的对偶律：cccBABA )(证明：证明：BAx BxAx 或或ccBxAx 或或ccBAx cccBABA )(ccccBxAxBAx 或或又又BxAx 或或cBAx)( ccc