拉格朗日中值定理在高考题中的妙用

1、拉格朗日中值定理 在高考题中的妙用拉格朗日中值定理在高考题中 的妙用LT一.拉格朗日中值定理1 拉格朗日中值定理：若 函数f满足如下条件：(i) 续；(ii)则在f在开区间(a,b)内可导；ab内至少存在一点，使得f几何意义：在满足定理条件的曲线上f在闭区间a,b上连y f (x)至少存在一一 点p(，f()，该曲线在该点处的切线平行于曲线两 端的连线ab (如图) 二求割线斜率大小几何意义的利用由拉格朗日中值几何意义可知：曲线上两点 的割线斜率，可以转化为曲线上切线的斜率即连 续函数上任意两点的连线总与某条切线平行下面通过下题具体分析 例1: (2011年福建省质检理19题)已知函数 2a2

2、f(x) xaln x.x(I)求f(x)的单调递增区间；(D)设a 1,g(x) f'(x)，冋是否存在实数k，使得函数g(x) 上任意不同两点连线的斜率都不小于k ?若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由.解(I)略(H)当a 1时，g(x) 1 4 ，假设存在 x x实数k，使得的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k，即对任意X2 X1 0，都有g(Xk,即求X2 X1任意两点割线斜率的大小，由中值定理知存在x(X，X2)，有g'(x)卄k,转为求切线斜率的大小即g'(x)X3 _L k在(o,)上恒成立.(以下同参考答案)入入评析：该题若用初等方法解决，构

3、造函数同是本 题的难点和突破口.将四四k,转化为X2 xg(x,) kx2 g(xi) x,转而考查函数 h(x) g(x) kx , 学生不是很 容易想到， 但若利用拉格朗日中值定理，则只 需求二次导函数在所给区间的最小值即可，学生 易接受.利用拉格朗日中值定理证最值(1)证b a证f'与的大小关系例2: (2009年辽宁卷理21题)已知函数 f（x） =- ax +（a-l）lnx,a > 1（I）讨论函数加的单调性；（II）证明：右 a<5,则对任意 x（,x2 e（0,+oo） ,x2 9 有 /（比）-/（小）二（I ）略；（II ）要证 /（石）一/仕2）>

4、; 成立，即证f(C=S+号 >-1+ 4 1 9不7则 A = (a-l)2-4(a-l)=(a-l)(a-5)» 由于<a<5 9所以AvO从而g（§）>0在/?恒成立也即g _ag + a_ >_g .(斗，吃)9xpx2 e(0,+oo) 9 故歹 >0则 S 二茫+a二1 >_,即/£）十a +呼>_1 ,也即 /（兀）一/仗2）：.g召一勺评注：这道题（II）小题用初等方法做考虑 函数g（x）=/（g.为什么考虑函数如=4）+,很多考生 一下子不易想到而且沖）的放缩也不易想到.（2）、证明型或出U成立（其

5、中/（o）=o）XX即证心（0）»或/（ Wx-0兀-0例3： （2007年高考全国卷I第20题） 设函数W.（I）证明：的导数 /'（小2；(II)证明：若对所有都有 f(x)>ax 9 贝!的取值范围是(一8,2 (I)略.(II)证明：(i)当“。时，对任意的 a 9都有.0处(ii)当5时，问题即转化为心牛对所有5恒成立.令g(x)=£=A±2(2),由拉格朗日中值定理知心)内xx-0至少存在一点纟(从而卯)，使得门沪牡严，即G(x) = f (§)=涉+产 9 由于/"(§) = e一八(?>0) 9 是

6、增函数，让一。得 取值范围是(-沖x-0 故八0在(0,x)上G虻/'小宀/'(0)=2 , 所以。的评注:用的是初等数学的方法即令能)卄)" 再分必2和“>2两种情况讨论.其中，心2又要去解 方程小H但这有两个缺点：首先，为什么。的取 值范围要以2为分界展开其次，方程沖円求解较 为麻烦但用拉格朗日中值定理求解就可以避开 讨论，省去麻烦.sinx2 + cosx例4： (2008年全国卷II22题)设函数/(I)求川)的单调区间；(II)如果对任何沦都有 f(x)<ax 9求。的取值范围.证明(I )略;(II)证明：当“。时,显然对任何“都有 当小时，由

7、拉格朗日中值定理，知存在0, X，使得''f x 0 得, 最大值f 值 f x max 值是fmax2k1xmax 3 1 所以，成立，应有faxmax2k , 2k 1.所以在 2k 1 , 2k 2 上，f' x 的f' 2k 2£在 2k , 2k 1 上, f' x 的最大3 .从而函数f'x在2k , 2k 2上的最大 3k N知，当x 0时，f'x的最大值为的最大值f' max 为了使f' a恒所以a的取值范围是右maxmax.由（I）知f'x竺注4，从而2 cosx2sin x 2 cos

8、x cosx 122 cosxf x 2.令 f x0 彳得，x 2k 1 , 2k 2； 令评注：这道题的参考答案的解法是令g x ax f x，再去证明函数g x的最小值g x min 0 .这与 上述的思路是一样的但首先参考答案的解法中 有个参数a,要对参数a进行分类讨论；其次为了判 断g x的单调性,还要求g' x 0和g' x 0的解,这个求 解涉及到反余弦arccosaa ,较为复杂.而用拉格朗日中 值定理就可以避开麻烦，省去讨论再次体现了 高观点解题的优越性三利用拉格朗日中值定理证不等式 近几年的数学高考中，出现了不少含有拉格朗日 中值定理的试题.常以不等式恒成立

9、问题为基本切入点，具有一定的深度，既符合高考命题“能 力立意”的宗旨，又突出了数学的学科特点，较 好地甄别了学生的数学能力.下面以近几年全国各地的数学高考试题为例，说明拉格朗日中值 定理的不同形式在高考中不等式的应用， 更好地 体会用“高观点”解题的优势.(1)用于证明f b f a与b a的大小关系例5: (2006年四川卷理第22题)同已知函数f x x2 - alnx(x 0), f x的导函数是f' x，对彳壬x1意两个不相等的正xx2，证明：(U)当a 4时，f ' X1 f' X2 X1 X2 .证明：由 f x x2 2 alnx 得，f'(x)

10、2x 二-，令 g x f' xx7x x 7则由拉格朗日中值定理得：|gx! gx2| g' (X! X2)下面只要证明：当a 4时，任意0,都有g' 1， 则有g' x 2 $斗1，即证a 4时，a x2上恒成立.这等X XX价于证明X2 -的最小值大于4 由X2 4 X2 2 - 34，当 XXXX7且仅当X 32时取到最小值，又a 4 33 4，故a 4时，2 4 a i恒成立.所以由拉格朗日定理得：'g X1 g X2 g' (X1 X2) g' |xi x 风 x?.评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长， 而且技巧性较强.

11、因而思路较为突兀，大多数考 生往往难以想到相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.体现了高观点解 题的优越性，说明了学习高等数学的重要性.(2)证明g a , g孚,g b二者大小的关系f x的最例6: (2004年四川卷第22题) 已知函数f x ln(1 x) x,g x xlnx.(I)求函数 大值；a bg a g b 2g 2-(b a)ln 2 .(H)设 0 a b 2a，证明：证明(I)略;(n)证明：依题意，有g'x Inx 1 ,由拉格朗日中值定理得，存在 a,专, a bagb gg石In- ?山 In b?2 a 2评注：对于不等式中含有b b厂,

12、b，使得g a4a b aIn ?b a In2a 2InIng a ,g b ,gb的形式，我们往往可以把g专ga和gb g专，分别对g乎g a和gb g专两次运用拉格朗日中值定理.例7: (2006年四川卷理第22题)已知函数f X X2 2 a In x(x 0), f x的导函数是f x，对任1x7,证明：(I)当a 0时，意两个不相等的正数X,X2f X f X2 X1 X22 2证明：(I)不妨设X1 X2，即证由拉格朗日中值定理知,f X2fXX22XiX2存在xX2X1,-2X1 X22, X22，则f X2fX1X22d2 af (x) 2x X7 X，X2 X1f X1 X

13、22 ， 2c 4 a Ak X 232 .当X Xf X1 f一个单调递减函数，故f'f x成立，Xx2xx2f X2f -2 f -22 20时，ff' 2从而 因此命题获证.?3又2x 0 所以f(x)是4四：利用拉格朗日定理证明根的存在又对于(0,1)内所有f(x) x 1 0在(0,1)内有唯一的实g(x) f(x) x 1 ,又因为 0 f(x) 1,贝V g(0) f(0) 1 0,g f(1) 0 ,得证明方程根的存在性，所给根的范围就是区 间a,b把所给方程设为函数f(x)就可用拉格朗日中 值定理证明方程根的存在性，一般用反证法 例1 设f(x)在0,1可导，且0 f(x) 1, 的点有f '(x) 1证明方程 根 分析：要证明方程有唯一的实根，分两步证明，先 证