数同步精致讲义选修1-1北师大：第一章常用逻辑用语1Word含答案

1、§1命题学 习 目 标RuizeL 了解命题的概念及命题的构成，会判断一个命题的真假2理解四种命题及其关系，掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断.知识点一命题的概念及命题的形式思考给出下列语句：若直线。瓦则直线。和直线6无公共点： 3 + 6=7；偶函数的图像关于y轴对称：5能被4整除.请你找出上述语句的共同特点.答案 上述语句有两个特点：都是陈述句；能够判断真假.梳理(1)定义可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.(2)分类真命题：判断为真的语句叫作其命题;假命题：判断为假的语句叫作假命题.命题的形式：”若p,则g"，其中命题的条件是p,结论是q.由P能推出如 则

2、为真命题.能举一反例即可确定为假命题.知识点二四种命题思考给出以下四个命题：若x=2,则炉-3x+2=0：(2)若炉一3x+2=0,则 x=2：(3)若 xH2,则 2 3x+2W0：(4)若 x2-3x+2W0,则 xW2.你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？答案 命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了.命题(1)的条件与结论恰 好是命题(3)条件的否定和结论的否定.命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件 的否定.梳理 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件, 那么把这两个命题叫作互逆命题，如果是另一

3、个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫作互否命题，如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫作互为逆否命题.把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.知识点三四种命题的关系及其真假判断思考 如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？ 答案 原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真 命题.梳理(1)四种命题的相互关系(2)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题其假性相同的是逆否命题.(3)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的其假性没有关系.(4)四种命题中，真命题都

4、是成对出现，即真命题的个数为。或2或4.1 .有些命题的真假性不能确定.(X )2 .有的命题没有逆命题.(X )3 .原命题的否命题的逆命题就是原命题的逆否命题.(V )类型一命题的概念例1下列语句：(1)也是无限循环小数；(2焜 一 3、+2=0：(3)当 x=4 时，2x0：(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(5)一个正整数不是合数就是素数：(6)作AJBCg，:T B' C ：(7)二次函数的图像太美了！(8)4是集合1,2,3中的元素.其中是命题的是.(填序号)考点命题的概念及分类题点命题概念的理解答案 (5)解析本题主要考查命题的判断，判断依据：看能否判断真假.(1

5、)是命题，能判断真假；(2) 不是命题，因为语句中含有变量x,在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；(3)是 命题；(4)不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断；(5)是命 题；(6)不是命题;(7)不是命题；(8)是命题.故答案为(1)(3)(5)(8).反思与感悟一般地，判断一个语句是不是命题，要看这个语句能不能判断真假.跟踪训练1判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若，则”的形式.(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗？(2)三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；(3)当x+是有理数时，x, 都是有理数；(4)1+2+341-2 014；(

6、5)这盆花长得太好了！考点命题的概念及分类题点命题概念的理解解(1)(4)(5)未涉及真假，都不是命题.(2)是真命题.此命题可写成“在三角形中，若一条边所对的角大于另一边所对的角，则这条 边大于另一边. “(3)是假命题.此命题可写成“若x+j，是有理数，则x, 1y都是有理数”.类型二四种命题及其相互关系命题角度1四种命题的概念例2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.(1)若7M »<0,则方程7WA2x + ?7 = 0有实数根；(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；若刑W0或则(4)在八/。中，若则NON3考点四种命题题点四种命题概念的理

7、解解(1)逆命题：若方程加t2x+=0有实数根，则”0,假命题.否命题：若则方程7n炉一x+=0没有实数根，假命题.逆否命题：若方程式2x+=0没有实数根，则.>0,真命题.(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的瓠，则这条直线是弦的垂直平分线，真命 题.否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命 题.逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的瓠，则这条直线不是弦的垂直平分线， 真命题.(3)逆命题：若?+W0,则川W0或W0,真命题.否命题：若切>0且>0,则i+>0,真命题.逆否命题:若川+>0,则相>0

8、且>0,假命题.(4)逆命题：在ZUBC中，若则心从真命题.否命题：在八43。中，若aWb,则NXWN3,真命题.逆否命题：在,"C中，若NKWN3,则真命题.反思与感悟四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题.(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题.(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题.跟踪训练2分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.(1)若而=0,则。=0：(2)已知a, b, c为实数,若a=b,则c=6c.考点四种命题题点四种命题概念的理解解(1)逆命题：若=0,贝

9、。6=0,真命题.否命题：若则工0,真命题.逆否命题：若aKO,则HHO,假命题.(2)逆命题：已知a, b, c为实数，若=儿，则。=瓦 假命题.否命题：已知a, b, c为实数，若。工瓦 则acWbc,假命题.逆否命题：已知a, b, c为实数，若雨¥%,则。Wb,真命题.命题角度2四种命题的相互关系例3若命题?“若x+j，=O,则x, 7互为相反数”的否命题为q,命题q的逆命题为r, 则，与p的逆命题的关系是()A.互为逆命题B.互为否命题C.互为逆否命题D.同一命题考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案 B解析 已知命题p：若x+y=O,则x, y互为相反数.命

10、题R的否命题：若x+yWO,则x, y不互为相反数，命题g的逆命题r：若x, y不互为相反数，则x+y¥O,；r是P的逆否命题,是的逆命题的否命题，故选B.反思与感悟1.判断四种命题之间四种关系的两种方法(1)利用四种命题的定义判断.(2)巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否” 一个字，是 互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系.2.要判断四种命题的真假：首先，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性：其 次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.跟踪训练3有下列四个命题：“若x+y=O,则x, y互

11、为相反数”的否命题：一个实数不是正数就是负数；“若xW-3,则必一、一6>0”的否命题:“同位角相等”的逆命题.其中真命题的个数是.考点四种命题的真假判断题点四种命题的概念及真假判断的综合应用答案 1解析''若x+j，WO,则x, y不互为相反数”，是真命题.实数0既不是正数，也不是负数，所以原命题是假命题.“若、>一3,则/一X-6W0”，解不等式/一X-6W0可得一2WxW3,而x=4>3不是不等式的解，故是假命题.“相等的角是同位角”，是假命题.类型三等价命题的应用例4判断命题”已知a, x为实数，若关于x的不等式x2+(2a+l)x+a2+2W0的解集

12、非空, 则的逆否命题的真假.考点四种命题的相互关系题点逆否证法解 方法一 原命题的逆否命题：已知dx为实数，若则关于工的不等式1+(20+ 1)+3+2五0的解集为0,判断如下：二次函数y=x2+(2a+l)x+，+2的开口向上，令 x2+(2a+l)x+a2+2=0,则=(2a+1)?4(02+2)=4。-7.因为"1,所以4°-7<0,即关于x的不等式x2+(2a+l)x+a2+2W0的解集为。.故此命题为真命题.方法二利用原命题的真假去判断逆否命题的真假.因为关于x的不等式始+(2。+1)工+°2+20的解集非空.所以(20+1)24(+2)，0,即

13、4。-7、0,解得所以原命题为真，故其逆否命题为真.引申探究判断命题“已知O,x为实数，若关于X的不等式炉+(2。+1我+小+2>0的解集为R,则的逆否命题的真假.解先判断原命题的真假如下：因为x为实数，关于x的不等式9+(2。+ 1)小+病+2>0的解集为R,且二次函数y=N+ (2a+l)x+2+2 的开口 向上，所以= (2a+l)24(a2+2)=4a 7v0,7所以"不所以原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题.反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有 等价性，所以我们在直接证明某

14、一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为 真命题来间接地证明原命题为真命题.跟踪训练4证明:若后一4拄-2a+lW0,则W26+L考点四种命题的相互关系题点逆否证法证明 “若42424+1X0,则。#26+1”的逆否命题为“若4=26+1,则。:一防一2 + 1 = 0” .，=26+1,，a2-4b2-2a+1 =(26+ l)2-462-2(2Z>+1)+1=4按+1 +464/462+1=0.命题"若a=2b+L则标-4622。+1 = 0”为真命题.由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确.1.命题“若x>l，则4一 1”的否命题是()A.若

15、*>1,则 xW-lB.若xWl,则4一1C.若 xWl,则 xW 1D.若xvl,则二一1考点四种命题概念的理解题点四种命题概念的理解答案 C解析 原命题的否命题是对条件“x>l”和结论、>一1"同时否定, 即“若xWl,则xW - l"，故选C.2.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（）A.两个平面B. 一条直线C.垂直D.两个平面垂直于同一条直线考点命题的概念及分类题点命题的结构答案 D解析只要分清命题中的条件和结论即可.3 .命题“若_/（、）是奇函数，则大一X）是奇函数”的否命题是（）A.若危）是偶函数，则大-x）是偶函数B.若加）不

16、是奇函数，则大一x）不是奇函数C.若大-x）是奇函数，则危）是奇函数D.若逐一x）不是奇函数，则人、）不是奇函数考点四种命题题点四种命题概念的理解答案 B解析否命题是既否定条件又否定结论.因此否命题应为“若加）不是奇函数，则逐一、）不是奇函数”.4 .命题“若ab,则启加2（°,6c£R）”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题 的个数为（）A. 0B. 2C. 3D. 4考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 B解析 命题“若心b,则2庆2（°, b, c£R）"是假命题，则其逆否命题是假命题.该命题的逆命题为“若。4瓦”

17、则。6（。，b, cCR）”是真命题，则其否命题是真命题.故 选B.5.给出以下命题：“若炉+炉工0,则x, y不全为零”的否命题；“正多边形都相似”的逆命题：“若心0,贝lJF+x7 = 0有实根”的逆否命题.其中为真命题的是.(填序号)考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 ®解析 否命题是“若公+产=0,则x, j，全为零”，真命题.逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”，假命题./ = 1+4处 当加0时，A0,，炉+工一加=0有实根，即原命题为真.，逆否命题为真.1 .可以判断真假、用文字或符号表述的语句是命题，命题的条件与结论之间属于因果

18、关系， 真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可.2 .任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若夕，则q”的形式.含有大前提的命题 写成''若“则q”的形式时，大前提应保持不变.3 .写四种命题时，可以按下列步骤进行(1)找出命题的条件P和结论q.(2)写出条件?的否定和结论g的否定.(3)按照四种命题的结构写出所有命题.4 .判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.课时对点练注56双基强化落实一、选择题1.下列说法正确的是()A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B.语句“最高气温30时我就开空调”是命题C.命

19、题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D.语句“当。>4时，方程1-4工+。=0有实根”是假命题考点命题的概念及分类题点命题真假性的判断答案 D解析 对于A,改写成“若口,则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”； B所绐语句不是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3,腰为2的等 腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明.故选D.2 .给出下列三个命题：（）“全等三角形的面积相等”的否命题；"若1g炉=0,则x=-l”的逆命题；“若xWy或xW-y,则|x|WW'的逆否命题.其中真命题的个数是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3考点四种

20、命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 B解析 的否命题是“不全等的三角形面积不相等”，它是假命题；的逆命题是“若x= -1,则lg=0"，它是真命题；的逆否命题是“若卜|=M，则x=y且x=-y"，它是假 命题，故选B.3 .已知命题“若就<0,贝iJaWO或b0”，则下列结论正确的是（）A.真命题，否命题：“若而>0,则心0或b>0”B.真命题，否命题：“若06>0,则心0且b>0”C.假命题，否命题：“若帅>0,则00或b>0”D.假命题,否命题:“若而命,则心0且b>0”考点四种命题题点四种命题概念的理解答案

21、 B解析 “若且6X）,则就>0”是真命题，又“若心0且A0,贝iJaAO"是''若而W0, 则。0或6W0”的逆否命题，故原命题为真命题.已知命题的否命题是“若。6>0,则。>0 且 b>0,f .4 .下列命题中为真命题的是（）A. “若x>2 016,则x>0”的逆命题B. “若孙=0,则x=0或y=0”的逆否命题C.若好+%2=0,则 x=lD. “若则x21”的逆否命题考点 四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 B解析 A选项，"若*>2 016,则x>0”的逆命题为“若xX）,则x&

22、gt;2 016”是假命题；B选项, “若孙=0,则x=0或7=0”的逆否命题为“若xWO且yWO,则不，WO”是真命题；C选项, 由K+x2 = 0,得x=l或x=-2,故C是假命题；D选项，“若犬1,则x21”是假命 题，故其逆否命题是假命题.5.已知叫6CR,命题“若。+6=1,则标+方>”的否命题是（）A.若公+济受,则a+bWlB.若 a+6=l,则东+,C.若 a+bHl,则东 + ,D.若十月2,则a+6=l考点四种命题题点四种命题概念的理解答案 C解析 “。+6=1” , “病+/沾的否定分别是“。+犷1”, “标十%；”，故否命题为 “若0+”1,则东+尻” .6.有下

23、列三个命题：“若x+y=O,则x, y互为相反数”的逆命题:“若方，则Kb”的否命题：“若qWl,则必+ 2%+=0有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.其中真命题为（）A.B.C.D.考点 四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 c解析 命题：“若互为相反数，则x+y=O”是真命题；命题：“若宗尻，则 是假命题；命题：“若qWl,则F+2x+q=0有实根”是真命题，则其逆否命题也为真命 题；命题是假命题.7.已知命题“若外b, c成等比数列，则，在它的逆命题、否命题、逆否命题中， 真命题的个数是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3考点四种命题的真假判

24、断题点利用四种命题的关系判断真假答案 B解析 命题“若。，b, c成等比数列，则/=今”是真命题，故其逆否命题是真命题.该命题的逆命题为“若则a, b, c成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题, 故选B.8 .原命题为5c中，若cosHvO,则八43。为钝角三角形”，关于其逆命题、否命题、 逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A.真，真，真B.假，假，真C.真，真，假D.真，假，假考点 四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 B解析若cos,4V0, .4为钝角，则&"。为钝角三角形，所以原命题为真，则逆否命题也为 真；,"C为钝角三角形，

25、可能是8或者C为钝角，4可能为锐角，cos H>0.所以逆命题为 假，则否命题也为假.故选B.9 .已知命题：若XI,则。-I,则下列说法正确的是（）A.命题p是真命题B.命题p的逆命题是真命题C.命题的否命题是“若“I,则病，1”D.命题p的逆否命题是“若°221,则qvl”考点 四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 B解析 若。=一2,则（一2）2>1,.命康p为假命题，A不正确；命题0的逆命题是“若则K1”，为真命题，.*.B正确；命题0的否命题是''若。21,则排21"，.c不正确；命题p的逆否命题是“若标1,则“21”，

26、D不正确.故选B.二、填空题10 .已知命题p的逆命题是“若实数。，6满足。=1且b=2,则a+b<4"，则命题p的否 命题是考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案 若实数。，6满足。+624,则aWl或6W2解析由命题0的逆命题与其否命题互为逆否命题可得.11 .在命题“若抛物线 =。必+8+。的开口向下，则x|ax2 + bx+c<OW0”的逆命题、否 命题、逆否命题中结论成立的个数是.考点 四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 1解析原命题是真命题，则其逆否命题是真命题，该命题的逆命题是假命题，则其否命题也 是假命题，故答案为1.12.给定下列命题：若A0,则方程炉一2x一左=0有实数根：若 x+j，W8,则 xW2 或 yW6：“矩形的对角线相等”的逆命题：“若不，=0,则x, >中至少有一个为零”的否命题.其中真命题