高中物理竞赛辅导讲义-微积分初步

1、微积分初步高中1、二、微分1、基本的求导公式(1) (C)'=0(C为常数)(3) (exy=ex，、1(ln x J =-x(2) xn ' = nxn 4( n = 0)* (4) (ax )' =axlna* (6) (log a x)'= xln a、微积分的基本概念极限极限指无限趋近于一个固定的数值两个常见的极限公式sin x /lim 1x-0 x二1rrX* lim 1 +一51 X)2、导数当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。y'=电=lim -ydxx0 x导数含义，简单来说就是 y随x变化的变化率。导

2、数的几何意义是该点切线的斜率。3、原函数和导函数对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数。y . y(x：x) - y(x)y'(x) = lim j = lim 1y二J0 =x LJ0xX4、微分和积分由原函数求导函数：微分由导函数求原函数：积分微分和积分互为逆运算。例1、根据导函数的定义，推导下列函数的导函数(3) y = sin x(1) y =x2(2) y =xn (n 00)(sinxj=cosx(8)(cosx)' = sinx1(9)(tanx)'=2 cos x，、，1(10) (cotx)'=2 sin x*1(

3、11) arcsin x ' = _j 1 - x.1112) (arccosx )' = - .2.1 -x2*2、1(13) (arctan x j =-2函数四则运算的求导法则设 u=u(x), v=v(x)1(14) (arccot x)' = 2(1)u 士v ' =u'_v'(2)uv '= u 'v uv'(3)u 'v -uv'2 v例2、求y=tanx的导数3、复合函数求导对于函数y=f(x),可以用复合函数的观点看成y=fg(x),即y=f(u), u=g(x)dy dy duy =二d

4、x du dx即：y' = y'u u'x例3、求y =(1+2x2)8的导数例4、求y =ln tan x的导数三、积分1、基本的不定积分公式下列各式中C为积分常数(1) Jkdx=kx+C (k 为常数)n 1xndx = C (n；-1)n 1(3) Jexdx=ex+C，、1 ， 一(5) jdx = In x +C x jcosxdx =sin x+C. 一、 1(9) 2 dx = arctan x + C1 x2xx a* (4) fa dx =+CIn a(6) sin xdx = -cosx C一，-1,， 一* (8) j2dx=tanx + C c

5、os x* (10)dx = arcsin x C2、简单的定积分求法(即牛顿莱布尼茨公式) 物理竞赛中最基本的微积分公式牛顿莱布尼茨公式：若f(x)是F(x)在区间a, b上的导函数，则ba f(x)dx =F(b)-F(a) a而根据导函数f(x)求原函数F(x)的过程，其实就是不定积分的过程。3、换元积分法(1)第一类换元积分(凑微法)例 5、求 2xcosx2dx* (2)第二类换元积分法技巧性较强，没有一定的通法，高中阶段很少用到。* 例 6、令6 x =1即即*二6,5 .dx=6t dt6t5dtt2 t3=6 (t2 -1 1-)dt物理例题：例7、已知地球的半径为 R,质量为

6、M。将质量为m的质点从地面移动到无穷远处，此过程 中，万有引力做了多少功？例8、求半径为R,质量均匀的半圆形薄板的重心位置例9、求常见几何体的转动惯量。各物体质量均为m,杆长均为L,半径均为(1)均匀杆绕中点转动(2)均匀杆绕一端转动(3)均匀圆盘绕中心转动*(4)均匀球绕中轴转动*5.2附微积分阅读材料、求极限的罗必塔法则如果当XT a （或XT g）时，两个函数f（x）与F（x）都趋于零或都趋于无穷大，那么极限lim 口可能存在、 也可能不存在。通常把这种极限称为°或型未定Xxa/（x）0 二此时可以对分子分母同时求导后再求极限，从而避免出现未定式无法计算的情况。limx_.a(

7、x-')f(x) g(x)二 limx_.a(x ：:)f'(x)g'(x)则此方法失效。如果求导后仍然是未定式， 可多次利用罗必塔法则。 如果始终是未定式,例 1tanx求 lim.x 0 x原式Mm空包x 0 (x)ln sin ax例2：求limx0 ln sin bxacosaxsin bxb cosbx sin axlimx 0cosbxcosax00或一的形式00 二，二-二,00,1 ；二0型未定式，可以化为二、分部积分法理解、运用起来容易出错，高中阶段很少用到。根据函数相乘的求导公式：（uv）' = u'v+uv'移项可得：uv&

8、#39;= uv '-u'v两边取积分： uv dx = uv - . vu dx.udv = uv -. vdu* 例 3、求 x x cos xdx取 u = ,dv =cosxdxx cosxdxxsin x - sin xdx = xsin x cosx C贝Lldu =dx,v 与in x* 例 4、求 jx2exdx取 u =X2,dv zzexdx 2 x2 xxx e dx = x e - 2 xe dxx -则 du ? xdx,v z：e取u =x,dv zzexdx 2 xxx二 x e - 2xe 2 e dx贝U du Rx,v -ex2 xxx= x

9、 e - 2xe 2e C利用分部积分法的步骤：(1)将被积函数分为两部分，一部分可以看做是原函数，即u,另一部分可以看做是导函数，即v'。(2)右边第一项为两个原函数uv的乘积，第二项将原函数u变为导函数u',导函数V,变为原函数v,相乘后再求积分。利用分部积分法的技巧：上述过程的难点在于对 v'求积分，以及对u'求积分。因此，要将被积函数拆成适当的 两部分，使得这两个积分求解起来都比较容易。三、简单的常微分方程(分离变量法)*例5:放射性元素衰变问题设铀的衰变速度与未衰变的原子数目M成正比已知t=0时未衰变的铀的含量为 Mo,求M随时间变化的函数。解：dMM

10、 dt变量为M和t,分离变量得：dM 小二一 dtM两边分别求不定积分： 根据初始状态求出积分常数 带入后消去C可得：lnMC：=-t CIn M o二C-t*例6:电容器充放电问题电容为C的电容经过充电后，两端电压为Uo。从t=0时刻开始串联上电阻 R进行放电。求电压U随时间t的变化函数。解：dQ 八dUi-Cdt dt.U i 二R联立上面两式可得：U 仆dU一 =-C - R dt分离变量可得：dU _ dtRC两边分别求不定积分:lnU = - CoRC根据初始状态求出积分常数 Co： lnU0 =C0 t带入后消去Co可得：u = Uoe-RC可以看到，RC的值与电容器放电的快慢有关

11、，因此 RC也叫做RC电路的时间常数。类似的，RL电路中，时间常数为 L/R。此外，求解简谐运动和电磁振荡问题时也需要求解微分方程，不过采用的方法是试探解法。*四、泰勒展开将一个函数写成多项式的形式各项分别为零阶小量、一阶小量、二阶小量常用于 近似处理和对小量的讨论。f (x0:-x)= f (x0)f(x0)x '(xo)x2-(x0)Xxno( . ：xn)2!n!理解公式前两项的几何意义。公式最后一项 o( Axn)表示剩下所有的项，相对于Axn都是小量。常见函数在xo=O处的泰勒展开:357k »2k 12k .2.-犷5r7r川钞由o(x )o(x2k1).(1 x):1 J x ( a 1)x2(1)n(， n1) xn o(x