数学发现的艺术

1、林信安老師編寫數學發現的藝術 解題是數學中一個主要的活動，從小到大數學的學習活動，都脫離不了學習如何去解題，這個課程主要是取材於George.Polya的、這三部書，希望同學能對於數學方法有更深一層的認識，同時在學習數學的過程中，能有一些遵循的模式與法則。當然並不是所有的問題都能經由這些模式與法則去解決，但是我們試圖舉出一些理性、有效率的建議，以提供同學參考。一、歸納法(1)觀察與歸納 什麼是觀察：觀察不是單純去看，單純去看可能會視而不見。觀察是有意識知覺的活動，它與有意注意結合在一起，與思維相聯繫。如何進行觀察呢？第一點要有意識、有目標，處處留心。第二點要有基礎，有必要的相關知識，否則難以看

2、出門道，只是外行人看熱鬧。第三點要有方法，否則抓不到要領。在觀察中，要特別注意從個別中想到一般，從平常中發現異常。 什麼是歸納：歸納是由個別的事例向關於這一類事物的一般性的過渡，是一種對經驗、對實驗觀察結果進行去蕪存精、去偽存真的綜合處理方法。人們用歸納法清理事實，概括經驗，處理資料，從而形成經驗，發現規律。(2)歸納的過程從一個例子談起哥德巴赫(Goldbach)猜想探索接觸：自然數：1,2,3,4.,.質數的一些性質：觀察：3+3=6，3+5=8，3+7=5+5=10，5+7=12，3+11=14，.歸納的結果：任意兩個奇質數的和為偶數、任意兩個奇數之和為偶數，任意兩個奇 質數的和為大於5

3、的偶數，.反向思考：哥德巴赫的疑問？ 大於5的偶數可表為兩個奇質數的和. 哥德巴赫猜想檢驗接觸：Euler常用的假想實驗 設60=3+質數=5+質數=7+質數=.一個一個去檢查 如果對於一個大於5的偶數，經檢驗證明不對，舉出了反例，猜想就錯 了，但是至目前為止，對直到33106的偶數進行驗算，都是對的。自從哥德 巴赫於1742年給瑞士數學家歐拉寫了封信，提出了自己證不出的兩個命題：(1) 每個大於或等於6的偶數，可表為2個奇質數的和。(2) 每個大於或等於9的奇數，可表為3個奇質數的和。 至今都無法得知此猜想的正確性。從哥得巴赫猜想的例子，我們研究了兩類資料：一類在建立猜想之前，起了引導、觸發

4、的作用，另一類在猜想形成之後，起了檢驗、支持的作用，對於這兩種情形的研究，都形成了猜想與事實間的某種接觸點：前者帶有探索性，後者帶有支持性。換句話說，當我們建立一個猜想之後，就希望弄清楚猜想的真偽，當我們經過一連串特例的研究與檢驗，如果都支持猜想的話，我們的信心就會更強，這對於解決猜想是有益的。例題1 法國數學家費馬研究公式Fn=n=1 F1=21+1=3n=2 F2=24+1=17n=3 F3=28+1=257n=4 F4=216+1=65537 均為質數討論：(1)根據這些結果，你可以形成什麼猜想？ (2)費馬這個猜想對嗎？ (3)為何費馬不多檢查幾個數呢？ (4)多檢查幾個就保險嗎？(練

5、習1) 考慮如下的表：1=0+12+3+4=1+85+6+7+8+9=8+2710+11+12+13+14+15+16=27+64.你可以得到什麼猜想？這個猜想真或偽？(3)歸納的態度(a)隨時準備重新審查所得的結論。(b)有充足理由說明應當改變的，就毅然決然改變。(c)沒有充分的根據，則不隨意改變，而應當堅持。二、一般化、特殊化、類比對、增強不對、推翻特殊化一般化、類比(1)從幾個例子談起：(a)哥德巴赫猜想：3+7=10，3+17=20，13+17=30，23+17=40，. 奇質數+奇質數=偶數 (猜想) 回頭檢驗此結論是否正確(b)研究三角形的問題研究正n邊形問題研究三角形的問題 研究

6、正三角形的問題研究三角形問題研究正三角形的問題觀察：直角三角形、一般三角形的尤拉線一般化特殊化類比類比類比(c)類比的例子：平面上 空間中理由：平面上 空間中平面上 空間中理由：(d)商高定理：一般化特殊化類比 一般化：從研究對象的一個給定集合，進而考慮包含這個給定集合的更大集合。 特殊化：從研究對象的一個給定集合，進而考慮包含在這個給定集合的較小集合。 類比：類比是抓住某種相似之處，這種相似性有時候是概念上的相似。確切的說，類 比與其他類型的對比，在思想意圖上有所不同，想像的事物在某種意義下是協 調一致的。如果我們試圖把這種協調一致的關係歸結為確定的概念，那麼，就 是在對這些想像的事物進行類

7、比。(2)用類比來發現的例子：例題2 (1)找一個整數n，n除以3,5,7分別餘1,2,3。(2)找一個多項式f(x),使得f(3)=1，f(5)=2，f(7)=3。(3)一數列an，a1=2，a2=4，且2an+2-an+1-3an=0，求an的一般式。例題3 物理中的類比：萬有引力：F=G，庫倫定律：Fe=k。虎克定律：F=kx歐姆定律：V=IR(3)一般向特殊的化歸方法： 由特殊到一般和一般到特殊是我們認識客觀事物的普遍規律，數學中許多結論都是經過由特殊到一般的發現過程，再用一般的結論解決具體的問題。特殊問題往往是比較簡單、具體的，如果一個一般性的問題不易解決，則可先考慮幾種特殊的情形，

8、在分析特殊情況與一般情況之間的聯繫，以啟發解題思路或根據特殊情形提出猜測，即可得出一般的結果，這就是所謂一般向特殊的化歸。例題4 在正三角形ABC的邊上任取一點D，作ADE=60，交C的外角平分線於E，那麼DADE是什麼三角形？特殊情形：考慮D為的端點、中點一般情形：問題與研究1. 二項式定理(a+b)0=1，(a+b)1=a+b，(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)n(a)將(a+b)3、(a+b)4、(a+b)5、(a+b)6.展開並注意每一個展開式，找出規則。(b)將展開式之中的係數加起來，找出規則。(c)找出尋找(a+b)n的各項係數的方法。2. 一般化(a)設P為正方形Q所在

9、平面上任意點，試過P點作直線平分Q，這樣的直線有幾條？(b)考慮Q為正六邊形、正2n邊形、圓、平行四邊形、任何一個中心對稱的圖形，試 過P點作直線平分Q，這樣的直線有幾條？(c)根據(a)(b)的結果，你可以得出最廣義的結論是什麼？3. 一般化、類比(a)運用空間中的類比第2題可以改寫成什麼樣的猜想或問題？(b)試著證實你的猜想或問題？4. 一般化(a)希波克拉底的新月形： 分別以直角三角形的三邊為直徑，分別作 半圓，則勾股上的兩個新月形的面積， 等於直角三角形的面積。(b)銳角三角形ABC中，A、B、C的對邊分別為a,b,c，則a2=b2+c2-2bccosA。 將A逐漸變化接近90，a2-

10、(b2+c2)會有什麼變化？(c)直角梯形ABCD中，兩底和直腰分別為a,b,c斜腰為d， 則d2=(a-b)2+c2 。觀察(a)(b)(c)這三個例子，它們是勾股定理的一般化嗎？為什麼？5. 空間中的類比：(a)空間中，直角四面體ABCD(即圍繞一個頂點的三個面的夾角都是直角)中，頂點 A,B,C,D所對面的面積依次為SA、SB、SC、SD(DBCD為斜面)，則SA2=SB2+SC2+SD2。(b)空間中直角四面體ABCD(即圍繞一個頂點的三個面的夾角都是直角)中C=90，AB平面BCD，則AD2=AB2+BC2+CD2。證明(a)(b)兩個結論，並說明它與勾股定理的關係。6. (a)如圖

11、，將小正方形A1B1C1D1任意放置在大正方形ABCD中， A/、B/、C/、D/分別為AA1、BB1、CC1、DD1中點， 則A/B/C/D/為正方形。要證明(a)可以先觀察幾個特例：你可以藉由研究這些特例，而得到一般的結果嗎？(b)能否將(a)中的結果推廣到正n邊形呢？(c)能否將(a)中的結果推廣到相似圖形呢？(d)能否將(a)中正形內部推廣到正方形外或任意位置。(e)在空間中能否提出類似的問題呢？7. 特殊化在DABC三邊分別有點D、E、F，使=l，=m，=r，(a)求=？(b)利用(a)的結果你能證明Ceva定理嗎？8. 類比的危險：(a)化為分數，做法如下： 令x=0.33333 10x=3,33333. 兩式相減：9x=3 x=。(b)求1-1+1-1+1-1+.之值： 令x=1-1+1-1+1-1+. x-1=-(1-1+1-1+.) x-1=x x=。可以看出來(a)(b)有類比的關係，你能說出那一個結果是正確的嗎？透過這樣的類比，我們處理這一類的問題，須注意那些條件？來避免錯誤。9. (a)設x,y,a,b為正實數，且x+y=1，求證：+的最小值為(+)2。 (Hint：利用x+y=1，+= + ，再利用算幾不等式)(b)設x,y,a,b為正實數，且x+y=1，求證：+的最小值為。(c)你可否推廣(a)(b)的結果？10.