第二章静电场

1、第二章第二章 静电场静电场第二章第二章 静电场静电场 主主 要要 内内 容容电场强度、电位、介质极化、场方程、边界条件、能量与力电场强度、电位、介质极化、场方程、边界条件、能量与力1. 电场强度电场强度2. 真空中静电场方程真空中静电场方程3. 电位与等位面电位与等位面4. 介质极化介质极化5. 介质中的静电场方程介质中的静电场方程6. 两种介质的边界条件两种介质的边界条件7. 介质与导体的边界条件介质与导体的边界条件8. 电容电容9. 电场能量电场能量10. 电场力电场力第二章第二章 静电场静电场2真空中静电场的基本规律真空中静电场的基本规律1. 库仑库仑（Coulomb）定律定律(1785

2、年年) 库仑定律与电场强度库仑定律与电场强度静电场静电场：由静止电荷产生的电场。由静止电荷产生的电场。重要特征重要特征：对位于电场中的电荷有电场力作用。对位于电场中的电荷有电场力作用。真空中静止点电荷真空中静止点电荷 q1 对对 q2 的作用力的作用力:yxzo1r1q2r12Rr12F2q121212122301201244Rq qq q RFeRR第二章第二章 静电场静电场3 电场力服从叠加定理电场力服从叠加定理()iiRrr 真空中的真空中的N个点电荷个点电荷 （分别位于（分别位于 ）对点电荷对点电荷 （位于（位于 ）的作用力为）的作用力为12Nqqq、 、 、q12Nrrr、 、 、r

3、qq1q2q3q4q5q6q731104iNNiiqq qiiiqq RFFR第二章第二章 静电场静电场42. 电场强度电场强度000( )( )limqF rE rq30( )4qRE rR如果电荷是连续分布呢？如果电荷是连续分布呢？ 根据上述定义，真空中静止点根据上述定义，真空中静止点电荷电荷q 激发的电场为激发的电场为()Rrr 描述电场分布的基本物理量描述电场分布的基本物理量 电场强度矢量电场强度矢量E0q试验正电荷试验正电荷 yxzorqrREM第二章第二章 静电场静电场5小体积元中的电荷产生的电场小体积元中的电荷产生的电场( )rVyxzoriVrM)(rS面密度为面密度为 的面分

4、布的面分布电荷的电场强度电荷的电场强度)(rl线密度为线密度为 的线分布的线分布电荷的电场强度电荷的电场强度体密度为体密度为 的体分布电荷产生的电场强度的体分布电荷产生的电场强度)(riiiiiRRVrrE304)()(301()d4VrRVR30( )1( )d4SSr RE rSR30( )1( )d4lCr RE rlR第二章第二章 静电场静电场1. 电场强度电场强度 电场对某点单位电场对某点单位正正电荷的作用力称为该点的电荷的作用力称为该点的电场电场强度强度，以以E 表示表示。 qFE式中式中, ,q 为试验电荷的电荷量为试验电荷的电荷量; ;F 为电荷为电荷q 受到的作用力。受到的作

5、用力。 电场强度通过任一曲面的通量称为电场强度通过任一曲面的通量称为电通电通，以以 表示，即表示，即 dSES第二章第二章 静电场静电场0d lE电场线电场线方程方程电场管电场管带电带电平行平行板板 负负电荷电荷 正正电荷电荷 几种典型的几种典型的电场线电场线分布分布电场线的电场线的疏密程度疏密程度可以显示电场强度的可以显示电场强度的大小大小。定义曲线上各点的切线方向表示该点的电场强度方向，这种曲线称定义曲线上各点的切线方向表示该点的电场强度方向，这种曲线称电场线电场线第二章第二章 静电场静电场2. 真空中静电场方程真空中静电场方程 实验表明，真空中静电场的电场强度实验表明，真空中静电场的电场

6、强度 E 满足满足下列两个积分形式的方程下列两个积分形式的方程0dSqESd0lEl式中，式中，0 为真空介电常数。为真空介电常数。129018.854 187 81710 (F/m)10 (F/m)36第二章第二章 静电场静电场此式表明，真空中静电场的电场强度沿此式表明，真空中静电场的电场强度沿任一任一条闭条闭合曲线的合曲线的环量环量为零。为零。0dSq ESd0l El此式称为高斯定此式称为高斯定律律。它表明真空中静电场的电场。它表明真空中静电场的电场强度通过任一强度通过任一封闭封闭曲面的电通等于该封闭曲面所曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电荷量与真空介电常数之比。包围的电荷量与真空介电常

7、数之比。第二章第二章 静电场静电场 根据上面两式可以求出电场强度的根据上面两式可以求出电场强度的散度散度及及旋度旋度分别为分别为0 E0E左式左式表明，真空中静电场的电场强度在某表明，真空中静电场的电场强度在某点点的散度的散度等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比。右式右式表明，表明，真空中静电场的电场强度的旋度真空中静电场的电场强度的旋度处处处处为零为零。真空中静电场是真空中静电场是有散无旋有散无旋场。场。0dSqESd0lEl第二章第二章 静电场静电场 已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据据亥姆霍兹亥姆霍兹

8、定理，电场强度定理，电场强度E 应为应为 AEVVVV d)( 41)(d)( 41)(|rr |rErA|rr |rErxPzyrOVd)(rrrr第二章第二章 静电场静电场VV 0d)(41)(|rr |rr0)(rA求得求得E因此因此 标量函数标量函数 称为称为电位电位。因此，上式表明真空。因此，上式表明真空中静电场在某点的电场强度等于该点电位梯度的中静电场在某点的电场强度等于该点电位梯度的负负值。值。0 E0E已知已知第二章第二章 静电场静电场E 按照国家标准，电位以按照国家标准，电位以小写小写希腊字母希腊字母 表示，上式应写为表示，上式应写为 将电位表达式代入，求得将电位表达式代入，

9、求得电场强度电场强度与与电荷电荷密度密度的关系为的关系为VVd4)()(30rrrrrrE第二章第二章 静电场静电场 若电荷分布在一个有限的若电荷分布在一个有限的表面表面上，或者分布在一上，或者分布在一个有限的个有限的线段线段内，那么可以类推获知此时电位及电场内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的强度与电荷的面密度面密度 S 及及线密度线密度l 的关系分别为的关系分别为SSS 0d|)(41)(|rrrrSSS 30d|)(41)(|rrrrrrEll d)(41)(0|rr |rrllll 30d|)(41)(|rrrrrrE第二章第二章 静电场静电场（1 1）高斯定律中的电荷量高斯

10、定律中的电荷量q 应理解为封闭面应理解为封闭面 S 所包所包围的围的全部全部正、负电荷的总和。正、负电荷的总和。 静电场几个重要特性静电场几个重要特性（2）静电场的静电场的电场线电场线是不可能闭合的，而且也不可是不可能闭合的，而且也不可能相交。能相交。（3）任意两点之间电场强度任意两点之间电场强度 E 的的线积分与路径无线积分与路径无关，它是一种关，它是一种保守场保守场。 第二章第二章 静电场静电场（4）若若电荷分布已知，计算静电场的三种方法是：电荷分布已知，计算静电场的三种方法是：直接根据直接根据电荷电荷分布计算电场强度分布计算电场强度通过通过电位电位求出电场强度求出电场强度利用利用高斯定律

11、高斯定律计算电场强度计算电场强度第二章第二章 静电场静电场175. 利用高斯定律简捷计算电场强度的条件利用高斯定律简捷计算电场强度的条件简捷计算条件：简捷计算条件： 可以提到积分号可以提到积分号以外，使积分方程简化为代数方程以外，使积分方程简化为代数方程 球对称分布球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等均匀带电球体均匀带电球体带电球壳带电球壳多层同心球壳多层同心球壳( )E r什么情况下，什么情况下， 可以提到积分号以外？可以提到积分号以外？( )E r在在S上均匀分布时！或积分结果已知时！上均匀分布时！或积分结果已知时！( )E r什么

12、问题，具有这种特性呢？什么问题，具有这种特性呢？ 具有对称性的问题具有对称性的问题! !S0( ) dSq内E rS第二章第二章 静电场静电场18 无限大平面电荷无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。：如无限大的均匀带电平面、平板等。 轴对称分布轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。( (a a) )( (b b) )第二章第二章 静电场静电场例例1 计算计算点电荷点电荷的电场强度。的电场强度。 解解 利用高斯定律求解。取中利用高斯定律求解。取中心位于点电荷的球面为心位于点电荷的球面为高斯面高斯面，得，得 0dSqES上式左

13、端上式左端积分为为 2n d dd4SSSE Sr EESE eS得得204qErr204qrEe或或 xzy高斯面高斯面第二章第二章 静电场静电场 也可通过电位计算点电荷产生的电场强度。当也可通过电位计算点电荷产生的电场强度。当点电荷位于坐标原点时，点电荷位于坐标原点时， 。那么点电荷的。那么点电荷的电位为电位为r|rrrq04)(rrrqrqeE200414求得电场强度求得电场强度 E 为为 rVrrqVreerE20 204d4)(若直接根据电场强度公式，同样求得电场强度若直接根据电场强度公式，同样求得电场强度E 为为 第二章第二章 静电场静电场例例2 计算计算电偶极子电偶极子的电场强度

14、。的电场强度。 解解 由于电位及电场强度均与由于电位及电场强度均与电荷量的电荷量的一次方一次方成正比。因此，可成正比。因此，可以利用以利用叠加原理叠加原理计算多种分布电荷计算多种分布电荷产生的电位和电场强度。那么，电产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位应为偶极子产生的电位应为 rrrrqrqrq000444xq+qzylrrr+O第二章第二章 静电场静电场 若观察距离远大于间距若观察距离远大于间距 l ，则可认为则可认为 , , ，那么，那么/rree/rreecoslrr2cos2cos2rlrlrrrxq+qzylrrr+O式中，式中，l 的方向规定由的方向规定由负负电荷指向电荷

15、指向正正电荷。电荷。)(4cos42020rrqlrqel求得求得第二章第二章 静电场静电场乘积乘积 q l 称为电偶极子的称为电偶极子的电矩电矩，以，以 p 表示，即表示，即lpq2200cos44rprrp e那么电偶极子产生的那么电偶极子产生的电位电位可用电矩可用电矩 p 表示为表示为 3300cossin24rpprrEee已知已知 ，求得电偶极子的，求得电偶极子的电场强度电场强度为为E可见电偶极子的可见电偶极子的 ， ，而且两者均与方位，而且两者均与方位角角 有关。有关。21r31Er第二章第二章 静电场静电场电偶极子的电场线和等位线电偶极子的电场线和等位线第二章第二章 静电场静电场

16、 例例3 设半径为设半径为a，电荷体密度为电荷体密度为 的无限长圆柱的无限长圆柱带电体位于真空，计算该带电体位于真空，计算该带电圆柱带电圆柱内、外的电场强度。内、外的电场强度。 xzyaLS1 选取选取圆柱圆柱坐标系，由于场量与坐标系，由于场量与 z 坐标无关，且坐标无关，且上下对称上下对称，因此电，因此电场强度一定垂直于场强度一定垂直于 z 轴。再考虑到轴。再考虑到圆柱结构具有圆柱结构具有旋转对称旋转对称的特点，场的特点，场强一定与角度强一定与角度 无关。无关。 因此，可以利用因此，可以利用高斯定律高斯定律求解。求解。第二章第二章 静电场静电场 取半径为取半径为 r ，长度为长度为 L 的圆

17、的圆柱面与其上下端面构成柱面与其上下端面构成高斯面高斯面。应用高斯定律，得应用高斯定律，得 0dSqESxzyaLS1 因电场强度方向处处与圆柱侧面因电场强度方向处处与圆柱侧面S1的外法线方向的外法线方向一致一致，而与上下端面的外法线方向，而与上下端面的外法线方向垂直垂直，因此上式，因此上式左端的面积分为左端的面积分为11 ddd2SSSE SESrLEES第二章第二章 静电场静电场 当当 r a 时，则电荷量时，则电荷量q 为为 , , 求求得电场强度为得电场强度为 Laq2rraeE022第二章第二章 静电场静电场 a2 可以认为是可以认为是单位长度单位长度内的电荷量。那么，内的电荷量。那

18、么，柱外电场可以看作为位于圆柱轴上线密度为柱外电场可以看作为位于圆柱轴上线密度为a2 的线电荷产生的电场。的线电荷产生的电场。rlreE02因此线密度为因此线密度为 的的无限长线电荷无限长线电荷的电场强度为的电场强度为l 由上可见，对于无限长圆柱体分布电荷，利用由上可见，对于无限长圆柱体分布电荷，利用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积分计算电位或电场强度，显然不易。荷分布直接积分计算电位或电场强度，显然不易。 第二章第二章 静电场静电场xzyr21rOrrzdzrzere),2,(zrP 例例4 求长度为求长度为L，线密度为线密

19、度为 的均匀的均匀线分布线分布电荷电荷的电场强度。的电场强度。l 解解 令圆柱坐标系的令圆柱坐标系的 z 轴与轴与线电荷的长度方位一致，且中点线电荷的长度方位一致，且中点为坐标原点。由于结构为坐标原点。由于结构旋转对称旋转对称，场强与方位角场强与方位角 无关。无关。 因为电场强度的方向无法因为电场强度的方向无法判断，判断，不能不能应用高斯定律，必应用高斯定律，必须直接求积。须直接求积。第二章第二章 静电场静电场 因场量与因场量与 无关，为了方无关，为了方便起见，可令观察点便起见，可令观察点P 位于位于yz平面，即平面，即 ，那么，那么 2 23 02d4LlLlrrE|rr |xzyr21rO

20、rrzdzrzere),2,(zrP考虑到考虑到2|csc csc (cos sin )cot dcsc dzrrrazz rzr rr |rree第二章第二章 静电场静电场21 222 0cos sincsc d4cscalrzarr eeE求得求得21210(sin sin )(cos cos ) 4lzrree当长度当长度 L 时，时，1 0，2 ，则，则00242llrrrEee此结果与此结果与例例3 完全相同。完全相同。 第二章第二章 静电场静电场32 例例 5 计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度。计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度。222 3/200( )d

21、d4()bzSae zeE rz P(0,0,z)brRyzx均匀带电的环形薄圆盘均匀带电的环形薄圆盘dSadE2200dcossin)d0 xye(ee22 3/222 1/222 1/200d11( )2()2()()bSSzzazzzzazb E ree由于由于30( )1( )d4SSr RE rSRd d d Sd d d Szre z(0,0, )Pzre Rrr 场点：场点：源点：源点： 解解：2200dcossin)d0 xye(ee由于由于第二章第二章 静电场静电场33 例例 6 求真空中均匀带电球体产生的电场。已知球体半径为求真空中均匀带电球体产生的电场。已知球体半径为a

22、，电，电 荷密度为荷密度为 0 。 解解：（1）球外某点的场强球外某点的场强0300341daqSES（2）求球体内一点的场强）求球体内一点的场强VSEVSd1d00ar0rrEa20303raE3302343414raqEr003rE （r 11第二章第二章 静电场静电场各向异性各向异性介质的电通密度与电场强度的关系为介质的电通密度与电场强度的关系为zyxzyxEEEDDD 333231232221131211可见，可见，各向异性各向异性介质中介质中，电通密度电通密度和电场强度的关系和电场强度的关系与外加电场的与外加电场的方向方向有关。有关。 均匀均匀介质的介电常数与介质的介电常数与空间坐标

23、空间坐标无关。无关。线性线性介质介质的介电常数与电场强度的的介电常数与电场强度的大小大小无关。无关。静止静止介质的介电介质的介电常数与常数与时间时间无关。无关。第二章第二章 静电场静电场 对于对于均匀均匀介质，由于介电常数与坐标无关，介质，由于介电常数与坐标无关，因此获得因此获得 dSqES E可见，对于可见，对于均匀均匀介质，前述电场强度及电位与自介质，前述电场强度及电位与自由电荷的关系式仍然成立，只需将由电荷的关系式仍然成立，只需将0 换为换为 即可。即可。 上式中上式中 q , 是什么电荷是什么电荷？第二章第二章 静电场静电场例：例：空气中半径为空气中半径为a，介电常数为，介电常数为 的

24、介质球，其中充满密度的介质球，其中充满密度为为Ruo0的电荷，试求的电荷，试求（1）介质球内外的）介质球内外的E和和P（2）介质球内束缚电荷体密度和介质球表面的束缚电荷密度）介质球内束缚电荷体密度和介质球表面的束缚电荷密度解：解：0DEP dSqDS利用：利用：得到：当得到：当ra时时30203rarEe0P第二章第二章 静电场静电场(2) 介质球中：当介质球中：当ra时时20021()r Prr p(-)= -P=介质球表面介质球表面003r a psr(-)a= Pe=0003rr e(-)P(-1)E =第二章第二章 静电场静电场6. 两种介质的边界条件两种介质的边界条件 由于介质的特性

25、不同，引起场量在两种介质的由于介质的特性不同，引起场量在两种介质的分界面上发生突变，这种变化规律称为静电场的分界面上发生突变，这种变化规律称为静电场的边边界条件界条件。 通常分别讨论边界通常分别讨论边界上场量的切向分量和法上场量的切向分量和法向分量的变化规律。向分量的变化规律。 1 2enetn normalt tangential第二章第二章 静电场静电场E2E11324lh 1 2et 围绕围绕某某点点且且紧贴边界紧贴边界作作一个有向矩形闭合曲线，其一个有向矩形闭合曲线，其长度为长度为l，高度为高度为h，则则电电场强度沿该矩形曲线的场强度沿该矩形曲线的环量环量为为 2 3 4 1 1 2

26、3 4 d d d d dlElElElElEl 为了求出为了求出边界上边界上的场量关系，必须令的场量关系，必须令 h 0，则线积分则线积分 0d d 1 4 3 2 lElE 电场强度的电场强度的切向切向分量。分量。第二章第二章 静电场静电场 为了求出边界上为了求出边界上某点某点的场量关系，必须令的场量关系，必须令 l 足够足够短，以至于在短，以至于在 l 内可以认为场量是内可以认为场量是均匀均匀的，则上述环的，则上述环量为量为 2 4121t2t 1 3d d dElElElElEl2t1tEE 此式表明，此式表明，在两种介质的边界上，两侧的在两种介质的边界上，两侧的电场强度的电场强度的切

27、向分量相等切向分量相等，或者说，或者说，电场强度的切向分量是电场强度的切向分量是连续连续的的。 已知已知 , 得得 d0El第二章第二章 静电场静电场22t1t 1DD此式表明，此式表明，在两种各向同性的线性介质形成的边界在两种各向同性的线性介质形成的边界上，上，电通密度的切向分量是不连续的电通密度的切向分量是不连续的。 已知各向同性的线性介质，已知各向同性的线性介质， ，得，得 DEhS 围绕某点作一个围绕某点作一个圆柱面圆柱面，其高度为其高度为h，端面为端面为S。那那么么 dSqDS 1 2en 电通密度电通密度的法向分量。的法向分量。D2D1第二章第二章 静电场静电场 当当 h0 ，则通

28、过侧面的通量为零，又考虑到则通过侧面的通量为零，又考虑到 S 必须足够小，则上述通量应为必须足够小，则上述通量应为2n1n dSDSDS DS边界法线的边界法线的方向方向en规定为由介质规定为由介质指向介质指向介质。 dSqDS2n1nSqDDS求得求得式中，式中， S 为边界上自由电荷的面密度。为边界上自由电荷的面密度。hS 1 2enD2D1第二章第二章 静电场静电场 在两种介质的边界上不可能存在表面自由电在两种介质的边界上不可能存在表面自由电荷，因此荷，因此2n1nDD此式表明，此式表明，在两种介质边界上在两种介质边界上电通密度的法向分量电通密度的法向分量相等相等，或者说，或者说，电通密

29、度的法向分量是连续的电通密度的法向分量是连续的。 对于各向同性的线性介质，得对于各向同性的线性介质，得 n221n1EE可见，可见，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电电场强度的法向分量不连续场强度的法向分量不连续。 还可证明还可证明 )(n1n20EES第二章第二章 静电场静电场7. 介质与导体的边界条件介质与导体的边界条件 可见，导体中不可能存在可见，导体中不可能存在静电场静电场，导体内部不可，导体内部不可能存在能存在自由电荷自由电荷。处于。处于静电平衡静电平衡时，自由电荷只能分时，自由电荷只能分布在导体的布在导体的表面表面上。上。EEE + E

30、= 0EE = 0导体导体静电平衡静电平衡第二章第二章 静电场静电场 因为因为导体中导体中不可能存在静电场，因此导体中的不可能存在静电场，因此导体中的电位梯度电位梯度为为零零。所以，处于。所以，处于静电平衡静电平衡状态的导体是状态的导体是一个一个等位体等位体，导体表面是一个，导体表面是一个等位面等位面。 既然导体中的电场强度为既然导体中的电场强度为零零，导体表面的外，导体表面的外侧不可能存在电场强度的切向分量。换言之，侧不可能存在电场强度的切向分量。换言之，电场电场强度必须垂直于导体的表面强度必须垂直于导体的表面，即，即0nEe介质介质E, D导体导体en第二章第二章 静电场静电场导体表面存在

31、的自由电荷面密度为导体表面存在的自由电荷面密度为 nSeDSE n或写为或写为式中，式中， 为导体周围介质的介电常数。为导体周围介质的介电常数。 已知导体表面是一个等位面，因已知导体表面是一个等位面，因 ，求得，求得nEnSn 考虑到导体中不存在静电场，因而考虑到导体中不存在静电场，因而极化强度极化强度为为零。求得导体表面零。求得导体表面束缚束缚电荷面密度为电荷面密度为 SPen第二章第二章 静电场静电场边界条件边界条件E2E1 1 2et 1 2enD2D12t1tEE 22t1t 1DD2n1nDDn221n1EE02n1n()SEE 2n1nSDD介质介质E, D导体导体en0nEenS

32、eDnSESn nS eP第二章第二章 静电场静电场 静电屏蔽静电屏蔽E = 0E 0 E = 0 E = 0 0dSSD第二章第二章 静电场静电场 例例 已知半径为已知半径为 r1 的的导体球导体球携带的携带的正正电荷量为电荷量为q，该导该导体球被内半径为体球被内半径为 r2 的导体球的导体球壳壳所包围，球与球壳之间填充所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为介质，其介电常数为1 ，球壳的外半径为，球壳的外半径为 r3 ，球壳的外表球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径为面敷有一层介质，该层介质的外半径为r4 ，介电常数为介电常数为2 ，外部区域为真空，如左下图所示。外部区域为真空，如

33、左下图所示。试求：试求： 各区域中的各区域中的电场强度电场强度； 各个表面上的各个表面上的自由自由电电 荷和荷和束缚束缚电荷。电荷。r1r2r3r4 0 2 1可以应用可以应用高斯定律高斯定律求解吗求解吗? ?第二章第二章 静电场静电场解解 在在 r r1及及 r2 r r3 区域中区域中 E = 0 在在 r1 r r2 区域中区域中Sq dSDrrqeE2224同理，在同理，在 r3 r r4 区域中，求得区域中，求得？rrqeE2114注意，各区域中的介电常数不同注意，各区域中的介电常数不同！r1r2r3r4 0 2 1第二章第二章 静电场静电场根据根据 及及 ，分别求得，分别求得SPe

34、nnSeDr = r1:214 rqS0114121n10rSSrqEr = r4:0114)(224n2n004rSrqEE0Sr = r2:2224 rqS011412221n02rSSrqEr = r3:2334 rqS011422332n03rSSrqEr1r2r3r4 0 2 1第二章第二章 静电场静电场2014年考题：年考题：第二章第二章 静电场静电场第二章第二章 静电场静电场8. 电容电容由物理学得知，平板电容器的电容为由物理学得知，平板电容器的电容为 UqC 电容的单位电容的单位 F（法拉）。法拉）。C地球地球 F310708. 06121 F10 F, 1 pF10 F 实际

35、中，使用实际中，使用 F（微法）及微法）及 pF（皮法）作为皮法）作为电容单位。电容单位。第二章第二章 静电场静电场 例例 已知金属球的内导体半径为已知金属球的内导体半径为 a，外导体的内外导体的内半径为半径为b，,外壳半径为外壳半径为c， 内、外导体之间填充介内、外导体之间填充介质的介电常数为质的介电常数为 0。试求。试求单位长度单位长度内、外导体之间内、外导体之间的电容。的电容。 ab设：内导体带电量为设：内导体带电量为q，外导体球壳带电，外导体球壳带电量为量为-q。则空间各处电场为：。则空间各处电场为：204 0qarbrrbEE导体球与导体球壳之间的电压为：导体球与导体球壳之间的电压为

36、：0114 qabbaU =Edr第二章第二章 静电场静电场ab导体球与球壳之间的电容为：导体球与球壳之间的电容为：0114 qabbaU =Edr0411 abqC =U由于球与球壳分别带由于球与球壳分别带+q和和-q电荷，电场完全电荷，电场完全分布与球与球壳之间。分布与球与球壳之间。Rb时，电场出处为时，电场出处为0，因此，球壳相当于接地，球壳对地没有，因此，球壳相当于接地，球壳对地没有电容。电容。对于一般情况下，导体球带电荷对于一般情况下，导体球带电荷q1，导体，导体球壳电荷球壳电荷q2，则系统中各处电场为：，则系统中各处电场为：第二章第二章 静电场静电场ab系统中各处电场为：系统中各处

37、电场为：12012204 04 qarbrbrcqqrcrEEE导体球上的电位：导体球上的电位：112220012004 4 1114 4 baq drqqrrqqabcc1ac=Edrdr导体球上的电位：导体球上的电位：121222004 4 cqqqqdrcr第二章第二章 静电场静电场表明导体球之间有电位差，导体球与无穷远处，表明导体球之间有电位差，导体球与无穷远处，导体球壳与无穷远处也有电位差，因此不仅导体导体球壳与无穷远处也有电位差，因此不仅导体球与导体球壳之间有电容，导体球与无穷远处，球与导体球壳之间有电容，导体球与无穷远处，导体球壳与无穷远处也有电容。导体球壳与无穷远处也有电容。,

38、 1212-为了描述这种具有多个电容系统，定义为了描述这种具有多个电容系统，定义电位系数电位系数P，则可以将电位表示为：，则可以将电位表示为：111 11222121222 P qP qP qP q电位系数电位系数P（V/C),仅与导体系统的尺寸，仅与导体系统的尺寸，结构和周围介电常数有关结构和周围介电常数有关第二章第二章 静电场静电场111 1122221 1222 P qP qP qP q可以将上式中的可以将上式中的q用电容系数用电容系数表示及电位表示：表示及电位表示：11111222211222 qq 比较三个电位公式：得比较三个电位公式：得1112002122001111,4411 4

39、4abcPPcPPcc可见：可见：P12=P21第二章第二章 静电场静电场11111222211222 qq 11、 22为电容系数，为电容系数， 12， 21为感应系数为感应系数通过线性代数通过线性代数-1=P.为了表示系统中各个导体之间的电容关系，需要用导体的为了表示系统中各个导体之间的电容关系，需要用导体的电位及导体间的电位差来表示电荷电位及导体间的电位差来表示电荷q，因此上式可表示为：，因此上式可表示为：11112112122212121222()()()() qq 第二章第二章 静电场静电场上式另可表示为：上式另可表示为：11112112122212121222()()()() qq

40、 1111121222121222()() qCCqCC0111202122040,44c abCCbaabCCba可以求出：可以求出：第二章第二章 静电场静电场0111202122040,44c abCCbaabCCbaC12和和C21给出的是导体球和球壳之间的互电容，给出的是导体球和球壳之间的互电容，C22给出的给出的是导体球壳和地之间的自电容：是导体球壳和地之间的自电容：导体球的自电容导体球的自电容C11=0，并不表明导体球与，并不表明导体球与地之间的电容为地之间的电容为0，有左图可以看出，自电，有左图可以看出，自电容容C11为为0的情况下，导体球与地之间的电容的情况下，导体球与地之间的

41、电容等于等于C12与与C22的串联。的串联。C11=0？第二章第二章 静电场静电场C11=0？因为因为C11是该导体系统中金属球的自电容，它是在是该导体系统中金属球的自电容，它是在该导体系统中金属球的对地电容。该导体系统中金属球的对地电容。由于金属球被同心金属球壳所封闭，因此，能在金属球与地直由于金属球被同心金属球壳所封闭，因此，能在金属球与地直接相连的电场为接相连的电场为0，即这一部分的储存电能为，即这一部分的储存电能为0.注意：注意：不要把此时的不要把此时的C11与孤立金属球对地电容相混淆。与孤立金属球对地电容相混淆。下面我们讨论在开放系统底下，下面我们讨论在开放系统底下，C11的取值。的

42、取值。第二章第二章 静电场静电场例例:自由空间有半径为自由空间有半径为a1，a2的两个金属球，两球心间的距离为的两个金属球，两球心间的距离为d且且da1，a2.试求该导体系统的互电容和自电容。试求该导体系统的互电容和自电容。12010120024444qqadqqda12=220110212212120122124()4()4a da da da dCCda ada aa a dCda a11221221= C=当当da1,a2, 两个球几乎成为孤立的导体球，从而，两个球几乎成为孤立的导体球，从而，0102440CaCaC11221221= C=C11和和C22变成了孤立金属球的电容表达式，互

43、电容为变成了孤立金属球的电容表达式，互电容为0.第二章第二章 静电场静电场 多导体系统中，每个导体的电位不仅与导体多导体系统中，每个导体的电位不仅与导体本身本身电荷有关，同时还与电荷有关，同时还与其他其他导体上的电荷有关。导体上的电荷有关。 q1q3qnq21111121211112212122222221411122()()()()()() ()()()()()jhnnjknniiiiiijijininnnnnnqCCCCqCCCCqCCCCqCC()njnjnnnCC 各个导体上的各个导体上的电荷电荷与与导体间的导体间的电位差电位差的关系为的关系为式中，式中，Cii 称为称为固有部分电容固

44、有部分电容；Cij 称为称为互有部分电容互有部分电容。 |第二章第二章 静电场静电场 例例 已知同轴线的内导体半径为已知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内外导体的内半径为半径为b， 内、外导体之间填充介质的介电常数为内、外导体之间填充介质的介电常数为 。试求。试求单位长度单位长度内、外导体之间的电容。内、外导体之间的电容。 能否应用高斯定律求解能否应用高斯定律求解? ? ab第二章第二章 静电场静电场 解解 设内导体单位长度内的设内导体单位长度内的电荷量为电荷量为q，围绕内导体作一个单围绕内导体作一个单位长度圆柱面作为位长度圆柱面作为高斯面高斯面S，则，则那么内、外导体之间的电位差那么内、外

45、导体之间的电位差 U 为为 baabqrEU ln2d因此单位长度内的电容为因此单位长度内的电容为 abUqCln2rrqeE 2 dSqESab第二章第二章 静电场静电场9. 电场能量电场能量 电场力作电场力作功功，需要消耗自身，需要消耗自身的能量，可见静电场是具有的能量，可见静电场是具有能量能量的。的。 外力外力反抗反抗电场力作功，此功电场力作功，此功将转变为静电场的能量将转变为静电场的能量储藏储藏在静在静电场中。电场中。 根据根据电场力作功电场力作功或或外力作功外力作功与与静电场能量静电场能量之间的之间的转换关系，可以计算静电场能量。转换关系，可以计算静电场能量。EFEv第二章第二章 静

46、电场静电场9. 电场能量电场能量 在一个由点电荷在一个由点电荷q1q1产生的电场中，将另一个电荷产生的电场中，将另一个电荷q2q2由无穷远处由无穷远处移至距点电荷移至距点电荷q1q1为为R R1212处时，外力反抗电场所做的功为：处时，外力反抗电场所做的功为：12220124 q qqR2W表示由点电荷表示由点电荷q1在点电荷在点电荷q2处产生的电位。处产生的电位。2同样，在点电荷同样，在点电荷q2q2产生的电场中，将电荷产生的电场中，将电荷q1q1由无穷远处移至距由无穷远处移至距点电荷点电荷q2q2为为R R2121处时，外力反抗电场所做的功为：处时，外力反抗电场所做的功为：12110214

47、 q qqR1W1表示由点电荷表示由点电荷q2在点电荷在点电荷q1处产生的电位。处产生的电位。第二章第二章 静电场静电场9. 电场能量电场能量 在线性介质中，外力做功的大小与电荷的建立方式无关，所以在线性介质中，外力做功的大小与电荷的建立方式无关，所以上面两种移动方式做功相等，即上面两种移动方式做功相等，即W W1 1=W=W2 2. .在在q q1 1、q q2 2构成的系统中构成的系统中，得到，得到N=2N=2系统的电场能量为：系统的电场能量为：1122111()222qq12W =WW第二章第二章 静电场静电场9. 电场能量电场能量 如果在此系统中再将另一个点电荷如果在此系统中再将另一个

48、点电荷q3q3由无穷远处移动到距离由无穷远处移动到距离q1q1为为R13R13，距离，距离q2q2为为R23R23处，则移动电荷处，则移动电荷q3q3外力所作的功为：外力所作的功为：123330130234 4 qqqqRR3W3表示由表示由q1和和q2在点电荷在点电荷q3处产生的电位，于是处产生的电位，于是N=3系统能量：系统能量：1323120120130234 4 4 q qq qq qRRRW第二章第二章 静电场静电场9. 电场能量电场能量 N=3系统能量：系统能量：1323120120130234 4 4 q qq qq qRRRW33211230120130120231213121

49、23231323112233124 4 4 4 1212qqqqqqqRRRRqqqqqqWN=3系统时，系统时，q1处的电位处的电位 由点电荷由点电荷q2和和q3产生，其余类似。产生，其余类似。1第二章第二章 静电场静电场9. 电场能量电场能量 N=3系统能量：系统能量：11223312qqqW是除是除qi之外其他所在的电荷在之外其他所在的电荷在qi处产生电位：处产生电位：将上式扩展到将上式扩展到N点电荷构成的系统：点电荷构成的系统：1111122NNNiijiiijiijqq eWi1104 NNiiijjiijijqR第二章第二章 静电场静电场9. 电场能量电场能量 1104 NNiii

50、jjiijijqR此公式没有包含各个点电荷在自身形成所积累的能量。此公式没有包含各个点电荷在自身形成所积累的能量。第二章第二章 静电场静电场qqWQd )( 0 e 已知孤立导体的电位已知孤立导体的电位 等于携带的电量等于携带的电量 Q 与电与电容容 C 的之比，的之比， 即即QC求得电量为求得电量为Q 的孤立带电体具有的能量为的孤立带电体具有的能量为 CQW2e 21e1 2WQ或者为或者为 已知带电体的电位随着电荷荷的逐渐增加而不断已知带电体的电位随着电荷荷的逐渐增加而不断升高，可见电位是电量升高，可见电位是电量 q 的的函数函数。 那么当电荷量增至那么当电荷量增至最终值最终值 Q 时，外

51、力作的总功为时，外力作的总功为第二章第二章 静电场静电场 对于对于 n 个带电体，设每个带电体的电荷量个带电体，设每个带电体的电荷量均均从零从零开始，且以开始，且以同样同样的比例增长。若周围介质是的比例增长。若周围介质是线性线性的，则当各个带电体的电荷量增加一倍时，的，则当各个带电体的电荷量增加一倍时，各个带电体的电位也升高一倍。各个带电体的电位也升高一倍。 设第设第 i 个带电体的个带电体的电位最终值电位最终值为为 i，电荷量电荷量最终值最终值为为 Qi ，若某一时刻第若某一时刻第 i 个带电体的电荷量个带电体的电荷量为为 qi = Qi ( 1)，则电位为则电位为ii 第二章第二章 静电场

52、静电场ddd11eniiiniiiQqW 当各个带电体的电量同时分别增至最终值当各个带电体的电量同时分别增至最终值 时，该系统的总电场能为时，该系统的总电场能为 nQQQ,21niiiQW1e21求得求得 那么当各个带电体的电荷量均以同一比例那么当各个带电体的电荷量均以同一比例 增长，增长，外力外力必须作的功为必须作的功为1 0 1eeddniiiQWW第二章第二章 静电场静电场 当带电体的电荷为当带电体的电荷为连续连续的的体体分布、分布、面面分布或分布或线线分布电荷时，由分布电荷时，由 ，求得总能量，求得总能量为为 d dddSlqVSle 111( ) ( ) d( ) ( ) d ( )

53、 ( ) d222SlVSlWVSlrrrrrr式中，式中， (r) 为体元为体元 dV、面、面元元 dS、或、或线元线元 dl 所在处所在处的电位；积分区域为的电位；积分区域为电荷电荷分布的整个空间。分布的整个空间。 从场的观点来看，静电场的能量分布在电场所从场的观点来看，静电场的能量分布在电场所占据的占据的整个整个空间，应该计算静电场的能量分布空间，应该计算静电场的能量分布密度密度。静电场的静电场的能量密度能量密度以小写英文字母以小写英文字母 we 表示。表示。第二章第二章 静电场静电场 设两个导体携带的电荷量为设两个导体携带的电荷量为Q1和和 Q2，其表面积其表面积分别为分别为 S1和和

54、 S2，如下所示。，如下所示。 S2Q2Q1S1Venennene 已知电荷分布在导体已知电荷分布在导体的的表面表面上，因此，该系统上，因此，该系统的的总总能量为能量为 12e11 d d22SSSSWSS 又知又知 ，nnS D eD e求得求得12e11 d d22SSW DSDS第二章第二章 静电场静电场S 若在无限远处再作一若在无限远处再作一个无限大的球面个无限大的球面 S，由由于电荷分布在有限区域，于电荷分布在有限区域，无限远处的电位及场强均无限远处的电位及场强均趋于零。因此，积分趋于零。因此，积分 d0SDSS2Q2Q1S1Venennene那么，上面的储能公式可写为那么，上面的储

55、能公式可写为 12e111 d d d222SSSWDSDSDSSD d 21S式中式中 。SSSS21第二章第二章 静电场静电场e 1( ) d2VWVD 1( ) d2VV DD考虑到区域考虑到区域 V 中没有自由电荷，所以中没有自由电荷，所以 。0 D又又 ，代入上式，求得，代入上式，求得EVWVd 21eED由此求得静电场的能量密度由此求得静电场的能量密度 ED21ew利用散度定理，上式可写利用散度定理，上式可写e1 d2SWDS第二章第二章 静电场静电场已知已知各向同性各向同性的的线性线性介质，介质， ，代入后得，代入后得 ED 2e 21Ew 此式表明，静电场能量与电场强度此式表明

56、，静电场能量与电场强度平方平方成正比。成正比。因此，能量因此，能量不符合不符合叠加原理，即多带电体的叠加原理，即多带电体的总总能量能量并不等于各个带电体并不等于各个带电体单独单独存在时具有的各个能量之存在时具有的各个能量之和。和。 因为第因为第2个带电体引入系统时，外力必须反抗第个带电体引入系统时，外力必须反抗第1个带电体对第个带电体对第2个个带电体产生的电场力而作功，此带电体产生的电场力而作功，此功转变为电场能量，这份能量称为功转变为电场能量，这份能量称为互有能互有能，而带电，而带电体体单独单独存在时具有的能量称为存在时具有的能量称为固有能固有能。第二章第二章 静电场静电场能量计算能量计算n

57、iiiQW1e21e 111( ) ( ) d( ) ( ) d( ) ( ) d222SlVSlWVSlrrrrrrVVwWVVd )21(d eeED第二章第二章 静电场静电场 例例 计算半径为计算半径为 a ，电荷量为，电荷量为 Q 的导体球具有的的导体球具有的能量。导体周围介质的介电常数为能量。导体周围介质的介电常数为 。 解解 通过通过电位电位。aQ 4aQ可以通过可以通过三种三种途径求解途径求解。aQQW 8 212e已知半径为已知半径为a，电荷量为电荷量为 Q 的导体球的电位为的导体球的电位为第二章第二章 静电场静电场 通过通过表面电荷表面电荷。e1d24 SSQWSaaQ 82

58、 通过通过能量密度能量密度。2 4rQE4222e 3221rQEw2 2 2ee 0 0 ddsin d8 aQWw rra求得求得已知导体表面是一个等位面，那么积分求得已知导体表面是一个等位面，那么积分求得 已知电荷量为已知电荷量为 Q 的导体球外的电场强度为的导体球外的电场强度为第二章第二章 静电场静电场10. 电场力电场力 某点电场强度在某点电场强度在数值上数值上等于单位等于单位正正电荷在该点电荷在该点受到的电场力。因此，受到的电场力。因此，点点电荷电荷 受到的受到的电场力电场力为为 qEFq若上式中若上式中 E 为为点点电荷电荷 q 产生的电场强度，则产生的电场强度，则 rrqeE2

59、 4式中，式中， 为该点电荷周围介质的介电常数。为该点电荷周围介质的介电常数。第二章第二章 静电场静电场那么，那么，点电荷点电荷 q 对于点电荷对于点电荷 的作用力为的作用力为 qrrqqeF2 4式中式中er 为由为由 q 指向指向 的的单位单位矢量。矢量。q库仑定律库仑定律EFqrrqeE2 4qqF第二章第二章 静电场静电场 根据根据库仑定律库仑定律可以计算电场力。但是，对于可以计算电场力。但是，对于电荷分布电荷分布复杂复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场的带电系统，根据库仑定律计算电场力是力是非常非常困难的。困难的。为了计算电场力，通常采用为了计算电场力，通常采用虚位移法虚位移法。 这

60、种方法是这种方法是假定假定带电体在电场作用下发生一带电体在电场作用下发生一定的定的位移位移，根据位移过程中，根据位移过程中电场能量电场能量的变化与的变化与外外力力及及电场力电场力所作的所作的功功之间的关系计算电场力。之间的关系计算电场力。第二章第二章 静电场静电场 以平板电容器为例，设两极板上的电荷量以平板电容器为例，设两极板上的电荷量分别为分别为+q 及及 q ，板间距离为板间距离为 l 。dll q+q 两极板间的相互作用力两极板间的相互作用力实际上实际上导致板间距离导致板间距离减小减小。因此，在上述假定下，求出因此，在上述假定下，求出的作用力应为的作用力应为负值负值。 假定在电场力作用下