数理统计期末试题

1、数理统计期末试题数理统计期末练习题作者:日期:数理统计期末练习题1 .在总体N(7.6,4)中抽取容量为n的样本，如果要求样本均值落在 (5.6,9.6)内的概率不小于0.95，则n至少为多少2 .设X1, ,Xn是来自N( ,25)的样本，问n多大时才能使得 P(|x | 1) 0.95成立3 .由正态总体N (100,4)抽取两个独立样本，样本均值分别为x, y,样本容量分别15,20,试求P(|x y| 0.2).225 .设X1, ,X16是来自N(,)的样本，经计算x 9,s5.32，试求P(|x | 0.6).6 .设X1,Xn是来自(，1)的样本，试确定最小的常数C,使得对任意的

2、 0,有(I x | c)7 .设随机变量XF(n,n),证明 (X 1)9.设Xi,X2是来自N(0,2)的样本,试求Y2X1X2服从分布.10.设总体为 N(0,1),X1,X2XiX2为样本，试求(X1 X2)222(X1 X2)(X1 X2)0.05.11 .设X1, Xn是来自N (的样本,y1,ym是来自N( 2,2、)的样本,c,d是任意两个不为0的常数，证明tc(x1)sc27d(y2)d2m t(nm 2),其中12.(n 1)s2 (m 1)s2s2与sy分别是两个样本方差.设 X1, X2,2 一， 一 1Xn,Xn1是来自N(,)的样本，Xn -2Xi, Sn(X Xn

3、)2,试求 i 119常数cX X使得tc cqn服从t分布，并指出分布的自由度 cSn试求p偿2).14 .某厂生产的灯泡使用寿命X N(2250,2502)，现进行质量检查，方法如下：随机抽取若干个灯泡，如果这些灯泡的平均寿命超过2200h,就认为该厂生产的灯泡质量合格，若要使检查能通过的概率不低于0.997,问至少应检查多少只灯泡?2215 .设(Xi X17) 是来自正态分布 N(,) 的一个样本，x 与 S2分别是样本均值与样本方差。求 k,使得p( x ks) 0.95,1 n21 .设Xi,L ,xn是来自正态分布总体 N , 2的一个样本。s2 x x是样本 n 1 i 12方

4、差,试求?t足P % 1.50.95的最小n值。1 .设(X1, X 2,Xn)为来自正态总体N( , 2)的样本，2未知，现要检验假设 H0: = 0,则应选取的统计量是 ；当H0成立时，该统计量服从分布.2 .在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小 ，则只有增加.1 .设总体XN( , 2) , 2已知，x 1, x 2,，x n为取自X的样本观察值，现 在显著水平 =0.05下接受了 H0: = 0.若将 改为0.01时，下面结论中正 确的是(A)必拒绝H0 (B) 必接受H0 (C)犯第一类错误概率变大(D)犯第一类错误概率变小2 .在假设检验中，H。表示原假设，H1为备选假设

5、，则称为犯第二类错误的是(A) H 1不真，接受H(B) H0不真，接受H(C) H。不真，接受代(D) H0为真，接受H3.设(X1, X2,Xn)为来自正态总体N( ,2)的样本，2未知参数，且1 nnX 1 Xi , Q2 (Xi X)2 n i 1i 1则检验假设H:= 0时，应选取统计量为(A) n(n 1)X(B)Qn 一 (C). n 1 一 (D)QQXn八2Q4,对于单因素试验方差分析的数学模型，设 St为总离差平方和，Se为误差平方和，Sa为效应平方和，则总有St Se Sa1、设来自总体X的样本值为(3,2,1,2,0),则总体X的经验分布函数F5(x)在x 0.8处的值

6、为2、设来自总体B(1,)的一个样本为Xi,X2,L ,Xn ,又为样本均值。则Var(X)23、设X-K ,Xm，Xmi,，X2m是来自总体N(0, 2)的简单随机样本，则统mXi计量T i1 服从的分布为2m1Xi21 m 14、设X1,K ,Xn为来自总体U(0,)的样本，为未知参数，则的矩法估计量为5、设X1,X2,L ,Xn为来指数分布Exp()的简单随机样本，为未知参数，则n2 Xi服从自由度为 的卡方分布。i 122 .6、设Xi,X2,L ,Xn为来自正态分布N(,)的简单随机样本，均未知,X,S2分别为样本均值和样本无偏方差，则检验假设 H。：0 VS Hi：的检验统计量为t

7、四隹一0)，在显著性水平下的拒绝域为S1、设Xi，K ,Xn是来自总体N( , 2)的简单随机样本，统计量n 11T c (Xi 1 Xi)2为2的无偏估计。则常数c为i 12(n 1)4的样本，若对假设检验问题3、设Xi,X2,X3,X4是来自总体B(1,p)样本容量为4H0: p 0.5 , H1: p 0.75的拒绝域为Wxi3，该检验犯第一类错误的i 1概率为()。(A) 1/2(B) 3/4(C) 5/16(D) 11/164、设Xi,X2,L ,Xn为来自总体X的简单随机样本，总体X的方差2未知，又S2分别为样本均值和样本无偏方差，则下述结论正确的是()。(A) S是 的无偏估计量

8、(B) S是 的最大似然估计量(C) S是 的相合估计量(D) S与X相互独立1、某种产品以往的废品率为5%采取某种技术革新措施后，对产品的样本进行 检验，这种产品的废品率是否有所降低，取显著水平5%,则此，设题的原假设H。： 备择假设$： .犯第一类错误的概率为 。2、设总体x N ( , 2),方差2未知，对假设H 0 :0 , H1 :0,进行假设检验，通常采取的统计量是，服从分布，自由度是3、设总体x N( , 2)和2均未知。统计假设取为H0:0 H1：若用t检验法进行假设检验,A、|t| 勺(n 1)1 _2则在显著水平B之下，拒绝域是(B)、|t| (n 1)1 -2G |t|

9、ti (n 1)、|t| ti (n 1)4、在假设检验中，原假设Hi ,则称(B )为犯第二类错误H0为真，接受H0H0不真,接受H02、C、H0为真，拒绝H0H0不真,拒绝H0X1,X2,.,Xn 为取自总体X N(,2)的样本，X为样本均值，1 n一(Xin i 1X)2,则服从自由度为n 1的t分布的统计量为3、4、在假设检验中，分别用样本容量n一定时，下列说法中正确的是(A) 减小时也减小;(B) 增大时也增大;(C),其中一个减小，另一个会增大;(D) (A)和(B)同时成立.6、设总体X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0, 32),而(X1,X2L ,X9)和(丫，丫2 L ,

10、Y9)是分别来自X和Y的样本，则U X1 LX9;服从的分布是Yi2 LY927、设？与？2都是总体未知参数的估计，且？比？2有效，则？与？2的期望与方差满足.8、设总体X N( , 2) , 2已知，n为样本容量，总体均值的置信水平为1的置信区间为(X ,X ),则 的值为.9、设X1, X2，,Xn为取自总体X N( , 2)的一个样本，对于给定的显著性水平,已知关于2检验的拒绝域为2< 12 (n 1),则相应的备择假设Hi为 ?一、填空题1 .若X是离散型随机变量，分布彳t是PX x P(x;),(是待估计参数)，则似然函数, X是连续型随机变量，概率密度是f (x;),则似然函

11、数是 。2 .若未知参数的估计量是$，若 称$是 的无偏估计量。设 $1, $2是未知参数 的两个无偏估计量，若 则称 $1较$2有效。3 .对任意分布的总体， 样本均值 X是 的无偏估计量。样本方差S2是 的无偏估计量。4 .设总体X P(),其中 0是未知参数，X1,K ,Xn是X的一个样本，则 的矩估计量 为 ,极大似然估计为 。二、计算题1 .设总体服从几何分布：P X x p1 px1,x 1,2,3.如果取得样本观测值为x1,x2, ,xn,求参数p的矩法估计量和极大似然估计。2 .设总体服从指数分布 Xe(),取一个样本为x,xa,L ,xn,求 矩估计量 和最大似然估计量.3

12、.设总体X服从0-1分布B(1, p),这里0 p 1.现从总体中抽 取了一个样本x1,L ,xn,试求p的极大似然估计量.4 .设XU(a,b), 一个样本为x1,x2,L ,xn,求参数a, b的矩估计量.5 .设总体X的概率密度为f(x,)x 1, 0 x 1,0, 其它.其中值.0,如果取得样本观测值为Xi,X2,L ,4,求参数的矩估计值和最大似然估计7、设总体X的概率函数为p(x; )a 1ax e0苴中0，/、丁0是未知参数,a 0是已知常数，试根据来自总体X的简单随机样本Xi,X2, Xn ,求的最大似然估计量8 .设？和？为参数 的两个独立的无偏估计量，且假定 D? 2D 4

13、,求常数c和d ,使 ? c? d?为 的无偏估计，并使方差 D ?最小.n-n9、设n个随机变量Xi,X2,，Xn独立同分布，D(XJ 2,又Xi,S23X)2,n i 1n 1 i 1则A) s是 的无偏估计量；B) S是 的最大似然估计量；C) S是 的相合估计量(即一致估计量)； D) S与X相互独立.一、 填空题1、设总体 ( , 2), 1,，n是 的样本，则当 2已知时，求 的置信区间所使用的统计量为=； 服从 分布；当 2未知时，求的置信区间所使用的统计量, 服从 分布.2、设总体 ( , 2), 1,，n是来自 的一个样本，则当已知时，求 2的置信区间所使用的统计量为 =；

14、服从 分布.则当 未知时，求2的置信区间所使用的统计量为=； 服从 分布.3、设由来自总体 ( ,0.92)容量为9的简单随机样本，得样本均值一=5,则未知参数的置信度为0.95的置信区间是 .、选择题 1.设随机变量 X服从n个自由度的t分布，定义 3满足P(XWt“)=1-"，0<”<1。若已知P(|X|>x)=b , b>0,则 x 等于(A) t1-b(B)t1-b/2(C) tb (D) tb/22.设X1,X2，Xn是来自标准正态总体的简单随机样本，X和S2为样本均值和样本方差,(A) X服从标准正态分布n(B) Xi2服从自由度为n-1的x 2分

15、布(C) nX服从标准正态分布(D) (n21)S服从自由度为n-1的X2分布3,设X1,X2，Xn是来自正态总体 N(科,。2)的简单随机样本，X为其均值，记S2n-(Xi ),n i 1nS2 (Xin i 12 c21n2X) 'S3-Xi )S421 n2小(Xi X)，服从自由度为n-1的t分布的随机变量是(A)S1/n 1(B) TX |XS2/Jn 1(C)<XS3/ < n 1(D) TS4/ ， n 14.设X1,X2是来自正态总体 N(科2)的简单随机样本，则 X X2与X1 X2必(A)不相关(B)线性相关(C)相关但非线性相关(D)不独立5.设X1,

16、X2，Xn是来自正态总体 N(w,b2)的简单随机样本，统计量2，则(A) Y x 2(n-1)(B) Yt(n-1)(C) YF(n-1,1)(D)YF(1,n-1)6.设随机变量XN(0,1),YN(0,2)，且X与Y相互独立，则1(A) 1X31(C) -X22 2,丫2服从x312 g-Y服从x22分布2分布_12(B) 1(X Y)2服从x 2分布31(D) -(X Y)2服从x 2分布27 .设X, Xi,X2,.,Xio是来自正态总体 N(0,(T2)的简单随机样本,21 n 2YXi10 i 1(A)X2I。) y22(10)© X/Yt(10)(D)X2/Y2 F(

17、10,1)8 .设总体X与Y相互独立且都服从正态分布N(科，b 2)X, Y分别为来自总体X,Y的容量为n的样本均值，则当 n固定时，概率P(| X Y |)的值随b的增大而(A)单调增大(B)单调减小(C)保持不变(D)增减不定9设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则(A) X+Y服从正态分布(B) X2 Y2服从x 2分布(C) X2和Y2都服从x 2分布(D) X2 /Y2服从F分布填空题1 .已知随机变量X, Y的联合概率密度为f(x,y)12,122exp (9x 4y 8y 4), 729X2则X服从参数为4(Y 1)2分布。2 .假设X1,X2,.,X16是来自正态总体N(科2)

18、的简单随机样本，X为其均值,S为其标准差，如果P(XaS) 0.95,则参数 a =。(to.05(15)=1.7531 )3 .在天平上重复称重一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布N(a,0.22)。若以Xn表示n次称重结果的算术平均值，则为使 P(| X n a| 0.1) 0.95, n 的最小值应不小于自然数4 .假设X1, X2，Xn是来自正态总体 N(科32)的简单随机样本，S为其标准差，则 ES45 .设随机变量 XF(n,n),则概率P(X<1)=6 .已知 Xt(n),则 1/X2 ,o7 .设随机变量 X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,32),

19、而Xi,X9和Yi,Y9分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量 UXi, 丫12红服从丫92分布，参数8 .设 X1, X2, X3 , X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本，_2_2X a(X1 2X2)b(3X3 4X4),则当 a=，b=时，统计量X服从X 2分布，其自由度为9.设总体X服从正态分布N(0,22),而Xi,.,Xi5是来自总体X的简单随机样本，则随机变量Y二X：XA安服从X：分布，参数为解答题1 .设Xi,X2,.,Xi0是来自正态分布 XN(0,4)的简单随机样本,求常数 a,b,c,d,使Q aX12 b(X2 X3)2 c(X4 X5 X6)2 d(

20、X7 X8X9 X10)2服从X 2分布,并求自由度n。2 .设Xi,X2,.,X9是来自正态分布 X的简单随机样本,1Yi6(X11丫23(X7 X8 X9),S21 9VXi2 i 7丫2)2,Z 2(XSY2),证明统计量Z服从自由度为2的t分布。3.已知总体X的数学期望EX=科，DX=2 (TX1,X2,.,X2n是来自总体X容量为2n的简单随机样本，样本均值为 X ,统计量丫(Xi Xn i 2X)2 ,求 EY。4 .已知Xi, X2,.,Xn是来自正态总体 N(0,(T2)容量为n(n>1)的简单随机样本，样本均值与方差分别为 X , S2。记Y (n 1)X2- S2 ,

21、试求Y的期望EY与方差DY。n5 .已知总体X的数学期望EX=w,方差DX= b2, X1，X2，.,Xn是来自总体X的简单随机样本，样本均值为 X,求Xi X与Xj X(iwj)的相关系数P。6 .从正态分布总体 N(3.4, 36)中抽取容量为n的样本，若要求其样本均值位于区间(1.4, 5.4)的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大？选择题1,设X1,X2，Xn是来自正态总体 X的简单随机样本，X的分布函数F(x;。)中含未知 参数，则(A)用矩估计法和最大似然估计法求出的0的估计量相同(B)用矩估计法和最大似然估计法求出的0的估计量不同(C)用矩估计法和最大似然估计法求出的0的

22、估计量不一定相同(D)用最大似然估计法求出的0的估计量是唯一的2,设X1,X2，Xn是来自正态总体 X的简单随机样本，EX=八DX=(T2,其中小d 2均为未知参数，?1X , ?2 Xi ,下面结论哪个是错误的。(A) ?iX是科的无偏估计(B) ?2X1是的无偏估计_1 n(C) ?1X比？2 X1有效 (D) (Xi )2是b 2的最大似然估计量n i i3.设X1,X2，,Xn是来自正态分布总体N( w ,。2)的简单随机样本，其中数学期望科已知,则总体方差。2的最大似然估计量是n 一(A)工(Xi X)2(B)n 1 i i1 n2(C) (Xi )(D)n 1 i 11 n2.(X

23、i X) n i 14.已知总体 X在区间0, 0 上均匀分布，其中0是未知参数，设X1,X2，,Xn是来自X的简单随机样本，X是样本均值，X(n)maX X1,Xn是最大观测值，则下列选项错误的是(A) X(n)是。的最大似然估计量(B)X(n)是。的无偏估计量(C) 2X是。的矩估计量(D)2X是。的无偏估计量X1,X2,.,Xm和Y1,Y2,.,Yn分别是来自总体X和Y的简单随机样本，样本方差分别为SX 与 SY2 , 则b 2的无偏估计量是(A) sXSY2(B) (m 1)SX (n 1)S2(C)m n 2(D)_ 2_2(m 1)Sx (n 1)Sy6.设X是从总体X中取出的简单

24、随机样本Xi,X2，,Xn的样本均值，则X是科的矩估计,如果(A) XN(i2)(B) X服从参数为科的指数分布(C) P (X=m ) =(1-)m-1 , m=1,2,(D) X服从0,科上的均匀分布填空题1 .假设总体X服从参数为入的泊松分布,Xi,X2，,Xn是取自总体X的简单随机样本，其均值、方差分别为 X, S2 ,如果？ aX2 .(2 3a)S为入的无偏估计，则 a=2 .已知 彳、g为未知参数。的两个无偏估计,1与？2不相关，D?4D?2,如果3 a ? b ?2也是9的无偏估计，且是 ？g所有同类型线性组合无偏估计中有最小方差的，则a=，b二3 .设总体X的概率密度为f(x

25、)(1 X)X0,10x1一, 01 ,则。的矩估计量为 其它，4 .设Xi,X2，,Xn是取自总体X的简单随机样本,且 EX= - DX= b2,其均值、方差分别为时,2(X)2cS2是科2的无偏估计。5 .设Xi,X2，,Xn是取自总体X的简单随机样本,且 EX=g DX= d2n2- 2,a Xi b(X)的i 1数学期望等于b 2,则a=b=解答题1 .设总体 X的概率密度为f(x)(1)x , 0 x 1,0,其它,其中0 >-1是未知参数,X1,X2，,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求0的估计量。2.设某种元件的使用寿命X的概率密度为2e 2(x ) xf(x) 2e , x '其中0 >0是未知参0, 其它，自x的一个样本