《微积分》讲义

1、微积分讲义 第一章 极限 一、函数极限的概念：fA 要点： x 为变量； A 为一常量。 二、函数极限存在的充分必要条件： fA fA， fA 例：判定 是否存在？ 三、极限的四则运算法则 f± g f · g g0 k·fk· f 四、例： 五、两个重要极限 1 1 e e 型 理论依据： 两边夹法则：若fgh，且 limflimhA， 则：limgA 单调有界数列必有极限。 例题： 六、无穷小量及其比较 1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。 2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。 3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小

2、，等价无穷小。 4、定理： fA fAa （ a0） 七、函数的连续性 1、定义：函数yf在点处连续在点处给自变量x一改变量 x： x0时，y0。即： y0 ff 左连续： ff 右连续： ff 2、函数yf在区间上连续。 3、连续函数的性质： 若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、 （g()0）在点处连续。 若函数uj在点处连续，而函数yf在点j()处连续， 则复合函数 f(j(x) 在点处连续。 例： 4、函数的间断点： 可去间断点： fA，但 f 不存在。 跳跃间断点： fA ， fB，但 AB。 无穷间断点：函数在此区间上没有定义。 5、闭区间上连续函数的

3、性质：若函数f在闭区间上连续，则： f在闭区间上必有最大值和最小值。 若 f与 f异号，则方程 f0 在内至少有一根。 例：证明方程式 410在区间内至少有一个根。 第二章 一元函数微分学 一、导数 1、函数yf在点处导数的定义：x yff A f'A y'，。 2、函数yf在区间上可导的定义： f'， y'，。 3、基本初等函数的导数公式： 0 n· ， ·ln， cosx， sinx x， secx·tanx， cscx·cotx 4、导数的运算： 、四则运算法则： ± ·g(x)f(x)·

4、; 例：求下列函数的导数 y253x7 f(x)4cosxsin y 、复合函数的求导法则： yu，uv，vw，wx yx ''''' 例：ylntanx yln yarcsin 、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y的 式子，先对y求导，然后y再对x求导。 例1：设方程 xy0 确的隐函数 yy(x)，求； 例2、求方程式 2yx30 所确定的隐函数在x0处的导数； 5、导数的几何意义：曲线的切线斜率。 例1：问曲线 y上哪点处的切线与直线 y3x1 平行？ 例2：求曲线 5在点处的切线方程。 6、函数的可导性与连续性的关系： 可导必

5、连续，但连续不一定可导。 7、高阶导数：y''，y'''， 例：求 ysin5x的三阶导数。 二、微分 1、微分的概念：df(x)f'(x)·dx df(x)f'(x)·x 例：求函数 y 当 x2，x0.02 时的微分。 2、微分的几何意义：y 的近似值。 3、基本微分法则： d(u±v)du±dv d(u·v)u·dvv·du d(ku)k·d(u) d 例1、ysinx，求 dy； 例2、yln，求dy； 4、微分在近似计算中的应用 ydy f(x)f(

6、)f'()·x f(x)f'()·xf() 例：求 的近似值。 三、导数的应用 1、中值定理 罗尔定理： 拉格朗日定理： 柯西定理： 2、洛必达法则：求末定式“”“”型极限 limlim 基本型：， ： ： 其它末定型：“0·”、“”、“”、“”、“” “0·”型 或 x·lnx “”型：通分 ： 对数式 ： ： ： 三、函数的单调性、极值与凹凸性 1、单调性： 2、极值： 可能的极值点 3、凹凸性： 例 求函数 y3x 的极值、增减区间、凹凸区间。 第三章 一元函数积分学 一、不定积分的概念及简单运算 不定积分求原函数 1、原

7、函数的定义：设f、F在区间I内有定义，且：F'f, 则称F为f在区间I内的一个原函数 如： 是 的一个原函数。 cosx sinx 是 cosx 的一个原函数。 观察： 结论：若f有原函数，它的原函数有无穷多个，它们之间相差一 个常量。即：若F为f在区间I内的一个原函数，则FC均为 f在区间I内的原函数。 2、不定积分定义：f在区间I内的所有原函数称为f的不定积分； 记为：fdx 即：若F为f在区间I内的一个原函数，则：fdxFC； 例：dxC； cosxdxsinxC； 3、不定积分的性质： f 或 dfdx f'dx fC 或 dffC k·fdxk·f

8、dx dxfdx±gdx 4、不定积分的基本积分公式： dx C dx lnC dx C dx C cosxdx sinx C sinxdx cosx C xdx tanx C xdx cotx C secx·tanxdx secx C cscx·cotxdx cscx C dx arcsinx C dx arctanx C 5、不定积分的简单运算： 例1 dx 例2 dx 例3 dx 例4 xdx 例5 dx 二、不定积分的运算 1、换元积分法 第一类换元积分法“凑”微分法 例1 cos5xdx 例2 dx 例3 x·dx 例4 x dx 例5 dx

9、例6 dx 例7 tanx dx 第二类换元积分法去根号 例11 dx “三角”代换去根号 例14 dx 2、分部积分法：u dv u·v v du 例18 xcosx dx 例19 x dx 例20 xlnx dx 例23 sinx dx 3、有理函数的积分 例25 dx 例26 dx 三、定积分的概念与性质 1、定积分的概念几何意义：求曲边梯形的面积 fdx f· 2、定积分的性质： 规定： fdx fdx 规定： fdx 0 dx fdx ± gdx k·fdx k· fdx fdx fdx fdx 若 f 在对称区间 上连续，则： 3、

10、定积分的计算： 微积分基本公式牛顿莱布尼兹公式 若 F 是 f 的一个原函数，则： fdx F F F 例 dx 定积分的换元积分法 例7 dx 例8 dx 定积分的分部积分法 u dv u·v v du 例10 x dx 例11 sinx dx 4、定积分在几何中的应用： 例1 计算由两条抛物线 x 和 y 所围成图形的面积。 例2 计算抛物线 2x 与直线 y x4 所围成图形的面积。 四、反常积分广义积分 例2 dx 例3 xdx 例4 讨论 dx 的收敛性。 第四章 多元函数微分学 定义：二元及二元以上的函数统称为多元函数。 一、二元函数的极限与连续 1、二元函数的极限： 例1 例2 证明： 1 2、二元函数的连续性 ff 二、偏导数 1、定义：对于二元