最新专升本高等数学知识点汇总

1、精品文档常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：y = kx b(1) 2一般形式的定义域：xCRy = ax bx ck(2) y=分式形式的7E义域：xW0 x(3) y=Jx根式的形式定义域：x>0(4) y = log a x对数形式的定义域：x>0二、函数的性质1、函数的单调性当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2), f(x)在X, x2所在的区间上是增加的。当x1<x2时，恒有f(xi)f(x2), f(x)在xi, x2所在的区间上是减少的。2、函数的奇偶性定义：设函数y = f(x)的定义区间D关于坐标原点对称(即若 xW D,则有-xW D

2、) 偶函数f (x)VxW D ,恒有f(x)=f(x)。(2)奇函数 f (x)VxW D ,恒有 f (一x) = - f (x)。三、基本初等函数1、常数函数：y=c,定义域是(-电,2)，图形是一条平行于 x轴的直线。 u2、哥函数：y=x ,(u是常数)。它的定义域随着 u的不同而不同。图形过原点。3、指数函数定义：y = f(x)=ax, ( a是常数且a A0, a =1).图形过(0,1)点。4、对数函数 定义：y = f (x) =logaX , ( a是常数且 a >0, a =1)。图形过(1,0 )点。5、三角函数(1) 正弦函数：y=sinxT =2 兀，D(f

3、)=(i"), f(D)=1,1。(2) 余弦函数：y=cosx.T =2兀，D(f)=(i"), f(D)=1,1。(3)正切函数：y =tan x.T =冗,D(f)=x|xw R,x#(2k + 1),kw Z , f (D) =(-+«).(4)余切函数：y = cot x.T =n , D(f)=x|xw R,x#kn,kw Z , f(D)=.5、反三角函数(1)反正弦函数：y=arcsinx, D(f)=1,1, f (D) =- °2, 2(2)反余弦函数：y = arccos<, D(f)=1,1, f(D)=0,n。反正切函数：

4、y=arctanx, D( f)=(3,收)，f (D) = (- )o2'2(4)反余切函数：y=arccotx, D( f) =(-«，)，f(D) = (0,n)。极限一、求极限的方法1、代入法代入法主要是利用了 “初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。2、传统求极限的方法(1)利用极限的四则运算法则求极限。(2)利用等价无穷小量代换求极限。(3)利用两个重要极限求极限。(4)利用罗比达法则就极限。、函数极限的四则运算法则设 lim u = A , lim v = B ,则 x >'x >

5、(1) lim.(u ±v) = lim' u ± lim. v = A ± Bx L，x L， x L，(2)lim (u v)=lim u lim v = AB .x J，x J， x推论(a)lim(C v) =C lim v , (C 为常数)。 x j/.x "(b) lim un = (lim u)n j/ x ).ulim uA(3) lim u =2 J,( b#0).J vlim vBx >.(4)设 P(x)为多项式 P(x) = a()xn + aixn，+an ,则 lim P(x) = P(x0) x%(5)设P(

6、x),Q(x)均为多项式,且 Q(x) #0,则 lim 配 x >xo Q(x)P(x。)Q(xo)精品文档三、等价无穷小常用的等价无穷小量代换有：当xt0时，sinxx, tanxx, arctanx x ,x12arcsinx x, ln(1+x)x, e -1 x , 1 - cosx - x。对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当 口-> 0时，sinDD ,其余类 似。四、两个重要极限sin x重要极限I lim=1。 x-Q x I1它可以用下面更直观的结构式表示：lim sn =1T 重要极限II+ 1。 x其结构可以表示为:lim i1 =e)八、洛必

7、达(L"Hospital港则“0”型和“三”型不定式，存在有lim f® = lim fix) = A (或8)。0二X 声 g(x) X 卢 g (x)一元函数微分学一、导数的定义设函数y = f (x)在点xo的某一邻域内有定义，当自变量 x在X。处取得增量 x (点 x0 +Ax仍在该邻域内)时，相应地函数y取得增量Ay = f(x0+Ax) f (x0)。如果当xt 0时，函数的增量Zky与自变量Ax的增量之比的极限lim y=lim f(x°x) f(x0)= f (x°) 注意两个符号 Ax和x0在题目中可能换成其 .,x-0 x x 0.

8、：x他的符号表示。二、求导公式1、基本初等函数的导数公式(1) (C)' = 0 (C为常数) 用公网仪(口为任意常数)(3) (ax)'=axlna (a A0,a#1) 特殊情况(ex) = ex111(4) (log a x) = - log a e =(x a0,a a0, a =1),( l nx)=一xx ln ax(sin x)'=cosx(6) (cosx)'=-sin x1(tan x) =2-cos x(8)(cot x)=1sin2 x一,.、,1(9) (arcsinx) =(-1x1)- 1 - x2，1(10) (arccosx) =

9、 一一(-1 LxU) ,1-x2(11)(12)(arctanx) = -1 x2,、,1(arc cotx) = - 22、导数的四则运算公式(1) u(x) ±v(x)J = u'(x)±v'(x)(2) u(x)v(x) '= u '(x)v(x) +u(x)v'(x)(3) ku' = ku' (k为常数)(如:u(x)】 _u'(x)v(x) u(x)v'(x)(4) 2'v(x) 1v (x)3、复合函数求导公式：设 y=f(u), u=/x),且f (u)及中(x)都可导，则复合

10、函数y = fW(x)的导数为 dy =电包=f '(u)9'(x)。dx du dx三、导数的应用1、函数的单调性_ ' . _ 、 f (x) A 0则f (x)在(a, b)内严格单调增加。_ ' _ f (x) C 0则f (x)在(a,b)内严格单调减少。2、函数的极值_ ' . . . . . _ . .f(x)=0的点一一函数f(x)的驻点。设为Xo(1)右 X<Xo 时，f(x)A0; XAXo 时，f (x) <0 ,则 f (Xo)为 f (x)的极大值点。，一、4'(2)右 x <Xo 时，f (X) &l

11、t;0 ; X > Xo 时，f (x) >0 ,则 f (x0)为 f (x)的极小值点。'(3)如果f (x)在Xo的两侧的符号相同，那么f (Xo)不是极值点。3、曲线的凹凸性_ " _ .f (x) >0,则曲线y = f(x)在(a,b)内是凹的。_ " _ 、f (x)<0,则曲线y = f(x)在(a,b)内是凸的。4、曲线的拐点(1)当f (x)在x0的左、右两侧异号时，点(x0, f (x0)为曲线y=f(x)的拐点，此时f (x0) =0. 当f (x)在x0的左、右两侧同号时，点(x0,f(x。)不为曲线y = f(x)

12、的拐点。5、函数的最大值与最小值极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。四、微分公式, dy = f (x)dx ,求做分就是求导数。一元函数积分学一、不定积分1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数 +C的表达形式。公式可以用求导公 式来记忆。2、不定积分的性质(1)f(x)dx' = f(x)或 df(x)dx= f (x)dx JF'(x)dx = F(x) +C 或 JdF(x) = F(x)+C(3) f(x)±(x) 土土W(x)dx = Jf(x)dx±(x)±一±4(x)dx。(4) Jkf(x)dx

13、 = kJf(x)dx (k为常数且 k#0)。2、基本积分公式(要求熟练记忆)(1) j0dx=C Jxadx =-xa+ +C (a =-1).a 11 一一(3) J-dx =in x +C .x 1 x .(4) 但 dx =a +C (a>0,a01)In a(5) Jexdx=ex+C(6)Jsin xdx =-cosx+ C Jcosxdx =sinx+C-1 f2dx=tanx+C. cos x(9) (2-dx = cotx+C. sin x1(10) r dx =arcsin x +C .1-x2，、1.八(11) rdx = arctanx + C .1 x23、第

14、一类换元积分法对不定彳股分(g(x)dx ,将被积表达式g (x)dx凑成g(x)dx = f 严(x)甲(x)dx = f甲(x)d(x),这是关键的一步。常用的凑微分的公式有： 1 .(1) f (ax +b)dx = 一 f (ax +b)d(ax +b) a(2) f (axk +b) xk'dx =工 f (axk+b)d(axk +b) ka(3) f (Tx) -dx = 2f TxdVx x一1、 1 . ，1、 , 1(4) f()，2dx = _f(一)d x xx x(5) f(ex) exdx = f(ex)d(ex).1(6) f (ln x)dx = f (

15、ln x)d(ln x) x f (sin x) cosxdx = f (sin x)d(sin x)(8) f (cos x) sin xdx = -f (cos x)d(cos x)1(9) f (tan x)2dx = f (tanx)d(tanx)cos x1(10) f(cotx) 2dx = -f(cotx)d(cotx) sin x(11)一 .1f (arcsin x) dx 二 f (arcsin x)d (arcsin x).1 -x2(12)1f (arccosx)，2.1 - xdx = -f (arccosx)d (arccosx)(13)一 ,、1,f (arcta

16、nx) 2 dx =1 xf (arctanx)d(arctanx)(14)一,；(x)(x)dx = d(ln (x)(x) =0)4、分部积分法udv = uv - vdu、定积分公式1、(牛顿莱布尼茨公式)如果F(x)是连续函数f (x)在区间a,b上的任意一个原函数,b则有f(x)dx = F(b) F(a)。 a2、计算平面图形的面积如果某平面图形是由两条连续曲线y1 = g(x), y2 = f (x)及两条直线 X1=a和X2=b所围成的(其中y1是下面的曲线，丫2是上面的曲线)，则 其面积可由下式求出:S = af (x) -g(x)dx. a3、计算旋转体的体积设某立体是由连

17、续曲线y = f (x)( f (x) >0)和直线xx = a, x = b(a < b)及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体，如图所示。则该旋转体的体积V可由下式求出：b 2b _ 2Vx = Jf (x)dx =二 a f (x)dx.多元函数微分学1、偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。2、全微分公式：dz =df (x, y) = AAx + BAy。3、复合函数的偏导数一一利用函数结构图如果u =(x, y)、v=W(x,y)在点(x, y)处存在连续的偏导数 ,，身， x fyf x: y且在对应于(x, y)的点(u,v)处，函数z= f (u,v

18、)存在连续的偏导数 ,则复合函数 ;:u : Vz= fW(x,y)W(x,y)在点(x,y)处存在对x及y的连续偏导数，且:z二 z cucz 二V=+,x 二 u ； x 二 V exzcz 二 ut z cv=+.y二 u 二 y二 v 二 y4、隐函数的导数对于方程F(x, y) =0所确定的隐函数y=f(x),可以由下列公式求出 y对x的导数y :一'Fx(x,y)'Fy(x, y)2、隐函数的偏导数对于由方程F(x, y,z) = 0所确定的隐函数 z= f(x,y),可用下列公式求偏导数:''zFx(x,y,z)二 zFy (x,y,z)丁 =T，

19、 丁 =T，xFz (x, y, z)二 yFz(x,y,z)5、二元函数的极值设函数z = f(x0,y0)在点(x0,y0)的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且''''''''fx(x0,y0)= 0, fy(x0,y0) = 0又设 fxx(x0,y0)=A，fxy(x0,y0)=B, fyy(x0,y0) = C, 则：(1)当B2 AC <0时，函数f (x, y)在点(x°, y°)处取得极值，且当 A<0时有极大值，当 A>0时有极小值。 当B2ACA。时，函数f (x, y)在

20、点(x°, y0)处无极值。(3)当B2 - AC =0时，函数f(x, y)在点(x0, y°)处是否有极值不能确定，要用其它方 法另作讨论。平面与直线1、平面方程(1)平面的点法式方程：在空间直角坐标系中，过点M 0(x0, y0,z0),以n=A, B,C为法向量的平面方程为A(x -x0) +B(y y0) +C(z z0) = 0称之为平面的点法式方程(2)平面的一般式方程Ax + By +Cz + D =0称之为平面的一般式方程2、特殊的平面方程Ax + By +Cz =0表示过原点的平面方程Ax + By + D = 0 表示平行于Oz轴的平面方程Ax + B

21、y = 0 表示过Oz轴的平面方程Cz + D=0表示平行于坐标平面 xOy的平面方程3、两个平面间的关系设有平面 1:Aix Biy Ciz Di =0二2 : A2x B2 y C2z D2 =0平面 巴和n2互相垂直的充分必要条件是：A1A2 +B1B2 +C1C2 =0“ 一、A B1C1D1平面 L 和(2平行的充分必要条件是：二二$ A2B2 C2D2一 一A B1C1D1平面。和冗2重合的充分必要条件是：一= =A2B2 C2D24、直线的方程(1)直线的标准式方程 过点M 0(x0, yO, z°)且平行于向量s =m, n, p的直线方程工 = 匚也=二称之为直线的

22、标准式方程(又称点向式方程、对称式方程)m n p常称s =m,n, p为所给直线的方向向量(2)直线的一般式方程A1xB1yC1z D1A2x B2yC2zD2二0称之为直线的=0般式方程5、两直线间关系设直线ll, 12的方程为x Xiy - yi z - Zili ：-m1n1p1x - x2 _ y - y2 _ z - z2i ：=m2n2 p2直线li , l 2平行的充分必要条件为 =一- ； m2n2直线11，l2互相垂直的充分必要条件为m1m2 +n1n2 + p1p2 = 06、直线l与平面n间的关系设直线l与平面江的方程为,X -Xoy - yo z -zoi :=m n

23、 p二：A(x - Xo) - B(y - yo) C(z -zo) = 0直线l与平面n垂直的充分必要条件为:l与平面兀平行的充分必要条件为:Am + Bn + Cp = oAmo + Bno + Cpo + D = ol落在平面n上的充分必要条件为将初等函数展开成事级数Am Bn Cp = oAmo Bno Cpo D = oI、定理：设f(x)在U(x0,B)内具有任意阶导数，且f(n+f)书lim Rn(x)=o , R(x)=( (x -xo)n 则在 U(xo,5)内n，二(n i)!oO f(x) c n ff(n)(xo)n!(x-xo)称上式为f ( X)在点Xo的泰勒级数。

24、或称上式为将f ( X)展开为X = Xo的哥级数。2、几个常用的标准展开式1D 1=三 Xn1 - Xn -0ne =，n口 n!一2n / sin x = : (-1)n nZ (2n 1)!2 nX COSX :(-1)n n*(2n)!一；nX ln(1 x)=三(一1)一 n%n； n uX ln(1 - X) = _ T ni n常微分方程1、一阶微分方程(1)可分离变量的微分方程f(x)g(y)若一阶微分方程 F(x,y,y)=0通过变形后可写成 g( y)dy = f (x)dx 或 y'=则称方程F(x, y, y) =0为可分离变量的微分方程.2、可分离变量微分方程

25、的解方程g(y)dy =f (x)dx必存在隐式通解 G(y) = F(x)+C。其中：G(y) = g(y)dy,F(x)= f(x)dx.即两边取积分。(2) 一阶线性微分方程1、定义：方程 y' + P(x)y =Q(x)称为一阶线性微分方程(1)非齐次方程一一 Q(x) #0 ；(2)齐次方程 y' + P(x)y = 0.2、求解一阶线性微分方程_p(x)dx(1)先求齐次方程 y' + P(x)y =0的通解：y=Ce,其中C为任意常数。(2)将齐次通解的C换成u(x)。即y = u(x)e1(x)dx(3)代入非齐次方程 y'+P(x)y =Q(x

26、)，得_P(x)dx 一fP(x)dxy = eq( x)e dx C2、二阶线性常系数微分方程(1)可降阶的二阶微分方程1、y*= f(x)型的微分方程例 3：求方程 y "=1e2xsin x 的通解.分析：y'= f y"dx =1 e2x+cosx+C1 ;241 2xy = y dx e sin x C1x C2. 82、y" = f (x, y)型的微分方程解法：令p = y'，方程化为p'= f (x, p)；(2)解此方程得通解p =5(x,Ci); 再解方程 y'二甲(x,Ci)得原方程的通解y =(x,Ci )dx C2.3、y"= f (y, y)型的微分方程解法：(1)令p = y',并视p为y的函数，那么y"=dp=dp .dy = pdp, dx dy dx dy(2)代入原方程，得p d