最新二项式定理练习题

1、精品文档精品文档10.3二项式定理【考纲要求】1、能用计数原理证明二项式定理 .2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题【基础知识】n 八0n _ 1 n_12 n_2 2r n_r rn n1、一项式je理：(a+b) =Cna +Cna b + Cna b +Cna b +Cnb二项式的展开式有n+1项，而不是n项。2、二项式通项公式：TT=C；ajb( r =0,1,2,n)(1)它表示的是二项式的展开式的第r+1项，而不是第r项(2)其中C：叫二项式展开式第r +1项的二项式系数，而二项式展开式第r +1项的系数是字母事前的常数。(3)注意 r =0,1,2, ，,n3、二项式

2、展开式的二项式系数的性质(1)对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。即Cm=Cn -m n(2)增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最 大值，如果二项式的事指数是偶数， 中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的事指数是奇 数，中间两项的二项式系数相等且最大。(3)所有二项式系数的和等于 2n,即C0+Cn+C； +Cn'+C；/+Cn1 =2n奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即C0C2C4 =C1C3 C5 =2n/L/nnnnn n44.二项展开式的系数a0,a1,a2,a3, ,an的性质：对于 f (x

3、) =a0 +a1x +a2x2| +II +anxn % + a1 +a2 +a3 + an = f (1),a。-a a? -a3(-1)%= f (-1)5、证明组合恒等式常用赋值法。【例题精讲】例 1 若(1 2x)2004=a0+a1x+a2x2 +a2004x2004, x R 求(4+a) + (句+&) +% a;004)解：对于式子：(1 - 2x)2004 = a0 ' a1x a2x2 ' a2004x2004, x- R,令x=0,便得到：a0 =1令 x=l,得至 1 a0+a1 +a2 +a2004 =1又原式：(a0 +a) + ( a0

4、+a2) +( a。+ a2004 )=2004a0 (a1a2a2004) =2003a。(a。aa?a2004 ):原式：(a0 +a)+ (a0+a2)+ (a0+a2004)=2004例2.已知二项式（.jX 2）n, （nCN*）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的 x比是10: 1,（1）求展开式中各项的系数和（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项解：（1）二第5项的系数与第3项的系数的比是10: 1,44 Cn '(一)= 10 ,解得 n=8 c2 <-2)21令x=1得到展开式中各项的系数和为（1-2） 8=1（2）展开式中第项，第r+1项，第r+

5、2项的系数绝对值分别为r An _rr r 1C8 2 ，C8 2 , C8 2若第r+1项的系数绝对值最大，则必须满足:r nr rr 1 r 1C8 2 &C8'2 并且 C82r r d< C8 2 ,解得 5<r<6;一一 .一一一 ,一 一，1所以系数最大的项为 T7 =179211x1;项式系数取大的项为 丁5=1120,一6 x10.3二项式定理强化训练【基础精练】1 .在二项式（x21）5的展开式中，含x4的项的系数是（）xA. 10B. 10C. - 5D. 52 . （2009 北京高考）若（1 +M2）5=a + bd2（a, b为有理数

6、），则 a+b=（）A. 45 B . 55 C . 70 D . 803 .在（ /+ q1）n的展开式中'所有奇数项的系数之和为1 024,则中间项系数是（）A. 330B .462 C . 682 D . 7924 .如果§x2；）的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为 （）A. 10B . 6C.5 D .35 .在,一y）的展开式中，系数大于一i的项共有（）A. 3项B .4项 C .5项 D .6项6 .二项式（1 -x）4n+的展开式中，系数最大的项是（）A.第2n + 1项 B .第2n+2项C.第2n项D.第2n+ 1项和第2n+ 2项7 .若（x2

7、+13）n展开式的各项系数之和为32,则其展开式中的常数项是x8 .（ x+马）5的展开式中x2的系数是；其展开式中各项系数之和为.（用x数字作答）9.若一.，21,的展开式的第7项为N，则x =10 .已知（/工）n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.24x（1）证明：展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有有理项.11 .设(2x1)5=既+&x+a2x2+ asx5,求:(1) 30+31 + 32+93+94；(2)| 既| + | a1 + | a2| +1 明 + | a4| + | a5| (3) a1 + a3+a5；2.、2(4)( 8+&+闻一(a

8、i+&+a5).【拓展提高】1.在(3x2y)20的展开式中，求:(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项.【基础精练参考答案】1.B【解析】：T<+1= C5x2(5 k)( -x 1)k= ( - 1) kCkx10 3k( k= 0,1 ,，5),由 10 3k=4得k=2.含x4的项为工，其系数为C5=10.2.C【解析】：由二项式定理得:(1 +V2)5=1+c5/2+c5(2)2+c5(72)3+c5(2)4+c5 - (2)= 1+5/2 + 20 +20 啦+20 +4 = 41 + 2972,：a=41, b= 29, a+ b=

9、70.3.B【解析】：二二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n,而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等.由题意得,2n 11 024 , n n =11, 展开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为C51 = C61 = 462.4.C【解析】：: Tk+1 = d(3x2)n-k2 2：x x)=(1)k Ck 2k x"5k,.一、.5k:由题意知2n 5k= 0,即n=ynCN*, k C N,n的最小值为5.5.B【解析】：2xy)的展开式共有6项，其中3项(奇数项)的系数为正，大于f 1 1;第六项的系数为 c520!>- 1,故系数大于一

10、1的项共有4项.< 2/6.A【解析】：由二项展开式的通项公式Tk+1=C：n书(x)k=( 1)kC4n书xk,可知系数为(一1) kckn书，与二项式系数只有符号之差，故先找中间项为第2n+ 1项和第2n+2叽又由第2n+1项系数为（一1）2n C：nd1 = C：n书，第2n+ 2项系数为（一1）2n+ 1C：；f = C： <0,故系数最大项为第2n+1项. 4 n 14 n 17.10【解析】：展开式中各项系数之和为S=G + Cn+ G = 2 =32, n = 5.10 2k 3k kX = C510 5kX ，k ，5 k 1 k kTk+=C5 (x2)( X3)

11、 = C5展开式中的常数项为T3=c5 = 10.8. 10253【解析】：Tk+1 = Csx5 k , (2)k = C5x5 3k. 2k,由 53k = 2, ： k=1, ： x2 的系数为 10.令x=1得系数和为35 = 243.9.；【解析】：由T7= C92& 理6=M，3< 2 7 43,1 c 1 C10.【解析】依题意，前三项系数的绝对值是1, d（2）, d（2）2,且 2/；=1+d(1)2,即 n29n + 8 = 0, ： n= 8(n= 1 舍去)，:展开式的第k+ 1项为d(qx)8-k(，)k24x1 8-k k k C816 3k=(2)

12、Ck x x 4=( 1)x（1）证明：若第k+1项为常数项,一.163kr当且仅当 =0,即3k= 16,.kcz, .这不可能，：展开式中没有常数项.16-3k（2）若第k+1项为有理项，当且仅当 一4-k为整数,V0< k<8, kC Z, ： k= 0,4,8 ,即展开式中的有理项共有三项，它们是:T1 = x4, T5=x丁 12T9=256x .11.【解析】设 f (x) =(2x1)5= &+aiX+a2X2+ a5X5,则 f(1) = a.o+ ai+ 82+ , + a5=l,f ( 1) = a0 a + a2- a3+ a4- a5= ( 一 3)

13、 = - 243.(1) v a5= 25= 32, 80+81+02+33 +a4 = f(1) 32 = 31.(2)| ao| + | a1| + | a2| + + | a5|=ao+ 81 - & + a3- a4+ a5= -f(- 1) = 243.(3) f(1) -f(-1) = 2(81 + 83+85),24481+ 83 + 85= -2-= 122.22(4)( 80+82+84) (81+83+85)=(80+81 + 82+83+84+ 85)( 80 81 + 82 83+ 84- 85)=f (1) Xf(- 1)=-243.【拓展提高参考答案】L解：二项式系数最大的项是第11项，设系数绝对他最大的哽是第 叶1项，于是«U匕J VL * U.化简得3(矗+1)>2(20-幻11(21-*) &