最新中考数学专题：最短距离问题

1、精品文档E在正方形 ABCD内，在最短距离问题分析洪湖市峰口镇二中刘万兵最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数 学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论 是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用 重要的几何结论(如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小 于第三边、垂线段最短等)。利用一次函数和二次函数的性质求最值。一、“最值”问题大都归于两类基本模型：I、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值II、归于几何模型，这类模型又分为两种

2、情况:(1)归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最 小值”时，大都应用这一模型。(2)归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。几何模型：条件：如图， A、B是直线l同旁的两个定点.问题：在直线l上确定一点 P,使PA+PB的值最小.方法：作点A关于直线l的对称点A,连结A'B交l于点P, 则PA + PB = AB的值最小(不必证明).模型应用：(1)如图1,正方形ABCD的边长为2, E为AB的中点，P是AC上一动点.连结 BD ,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连结ED交AC于P,则PB+PE

3、的最小值是；(2)如图2,。的半径为2,点A B、C在。上,OA1OB,AOC=60°, P 是 OB 上一动点，求PA + PC的最小值；解：(1) PB + PE的最小值是DE=J5(2) PA+PC的最小值是273【典型例题分析】1 .如图所示，正方形 ABCD的面积为12, ABE是等边三角形，点 对角线AC上有一点P ,使PD +PE的和最小，则这个最小值为(A. 2 3 B. 2.6 C. 3 D. 6精品文档BC精品文档y - -1 x2 - x 22.如图，抛物线4的顶点为A, 求点A、点B的坐标；(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PBW AB；当PA-PB最

4、大时，求点 P的坐标.解：(1)令 x=0,得 y=2,B(0 , 2)1 212y = x2 x 2 = -(x 2)2 344 A(-2 , 3)(2)证明：i .当点P是AB的延长线与x轴交点时，PA-PB=ABii.当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，OP=4,P(4 , 0)在点P、A、B构成的三角形中，PA-PB< AB.综合上述：PA-PB< AB.作直线AB交x轴于点P由(2)可知：当PA-PB最大时，点P是所求的点作 AHUOP于 H BOXOP / BOPW AHP 且/ BPO=/ APHAH HP BOm AHPBO OP3 2 OP由(1)可知

5、：AH=3 OH=2 OB=2 即 2 OP标为 口，1 i. APED的周长即是CE +DE =屈 +J2 . 2 24.一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A (2, 0), B (0, 4).(1)求该函数的解析式；(2) O为坐标原点，设 OA AB的中点分别为 C D, P为OB上一动点，求PC+ PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.解：(1)将点A、B的坐标代入y=kx+b并计算得k=2, b=4.解析式为：y= 2x+4；(2)设点C关于点O的对称点为C ,连结PC、DC ,则PC PC .PaPD= PC + PD>C D,即 C'、P、D共线时，P

6、O PD的最小值是 C' D.连ZCD 在 RtA DCC 中，C D= Jc'c2 +CD2 =272 ；易得点 P的坐标为(0 , 1).(亦可作RtAO联于y轴对称的4 )5.已知：抛物线的对称轴为与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C,其中A(3,0)、C(0，- 2).(1)求这条抛物线的函数表达式.(2)已知在对称轴上存在一点 P,使得PBC的周长最小.请求出点 P的坐标.精品文档精品文档精品文档解：(1)此抛物线的解析式为*2就是使PC + PB最小.B点关于对称轴的对称点是 A点，AC与对称轴x = -1的交点即为所求的点设直线AC的表达式为y = kx + b

7、-3k b =0,则 b = 一22k = -2«32.y _y= x-2.解得p 2 此直线的表达式为3>口 y = 一把x = -1代入得41, 一一3 P点的坐标为、3 f6.如图，抛物线y=ax 4bx+c的顶点P的坐标为3、，一 一， 、，一',父x轴于A、B两点，父y轴于(2)连结AC、BC.因为BC的长度一定，所以zPBC周长最小,占 C(0,一m)八、(1)求抛物线的表达式.(2)把 ABC绕AB的中点E旋车专180° ,得到四边形 ADBC 判断四边形ADBC勺形状，并说明理由.(3)试问在线段 AC上是否存在一点F,使得 FBD的周长最小,

8、 若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)由题意知Aac-b24a4733a =解得 3，抛物线的解析式为P3x2 一企*一、3=0（2）设点 A （ X1, 0）, B （，0）,则33,理3解得 X1 =1' x2 =3I OAI = 1, I OBI =3.又. tan / OC品 | 0c | /OC年60° ,同理可求/ OCA= 30° .AC年90°由旋转性质可知 AC= BD, BC= AD 四边形 ADB境平行四边形又/AC年90° . .四边形 ADBO矩形（3）延长BC至N,使CN CB .假设存在一点F,

9、使 FBD的周长最小.即FD + FB + DB最小. DB固定长. 只要 FD+FB最小.又CAI BN . . FD+FB= FD+FNFC J AC 当N、F、D在一条直线上时，FD+FBM小.又C为BN的中点， .2 （即F为1 立AC的中点）.又.力（一 1, 0）, C （0, -#） ，点 F 的坐标为 F（ 2,2 ）1存在这样的点F （ 2 ,2 ）,使得 FBD的周长最小.3 0 18 一一7.如图（1）,抛物线y = x2 x+3和y轴的交点为A,M为OA的中点，若有一动点55P,自M点处出发，沿直线运动到 x轴上的某点（设为点 E）,再沿直线运动到该抛物线对称 轴上的某

10、点（设为点F ）,最后又沿直线运动到点 A,求使点P运动的总路程最短的点 E ,点F 的坐标，并求出这个最短路程的长。3、解：如图（1、），由题意可得 A （0, 3）, M （0-）,抛物线的对称点3、为x =3,点M关于x轴的对称点为M ' （0,-），点A关于抛物线对称轴x =3的对称点为 A' （6, 3）。连结M 'A'。根据轴对称性及两点间线段最短可知，A' M '的长就是所求点 P运动中33最短总路程的长，A'M'在直线的方程为 y =-3x-3 （过程略）。设A'M'与x的交点为E,则E为在x轴上所求的点， A'M'与直线x = 3的交点为所求的F点。3可得