高中数学知识点归纳总结+(定稿)

1、高中数学必修+选修知识点归纳引言,1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1 :集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幕函数）必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。必修3:算法初步、统计、概率。必修4:基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角包等变换。必修5:解三角形、数列、不等式。选修课程：选彳2-1 :常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选彳2-2:导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选彳23:计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。选彳4-4:坐标系与参数方程。选彳4 45:不等式选讲。欢迎下载学习必备学习必备欢迎下载必修1数学知识点第一章：集合与函数概念 1.1

2、.1、集合1、把研究的对象统称为 元堂，把一些元素组成的总体 叫做集合。集合三要素： 确定性、互异性、无序 世。2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集 合相等。3、常见集合：正整数集：自然数集：整数集：Z,有理数集：Q,实数集：R.4、集合的表示方法：列举法、描述法. 1.1.2、集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合 A、B,如果集合A中任意 一个元素都是集合 B中的元素，则称集合 A是集 合B的子集。记作AG B.2、如果集合 A J B ,但存在元素 x W B ,且x正A ,则称集合A是集合B的真子集.记作：A&B.3、把不含任何元素的集合叫做 空军.记作：0 .并规定：

3、 空集合是任何集合的子集.4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子集， 个真子集，非空子集有个；非空的真子集有个.1、一般地，由所有属于集合 A或集合B的元素组成的 集合，称为集合 A与B的并集.记作：AU B.2、一般地，由属于集合 A且属于集合B的所有元素组 成的集合，称为A与B的交集.记作：aD B.3、全集、补集：CUA = x|xeU,Hx2U 1.2.1 函数的概念1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ,使对于集合 A中的任意一个数x,在集 合B中都有惟一确定的数 f(x)和它对应，那么就 称f : At B为集合A到集合B的一个函数,记 作：y = f

4、 x,x A.2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域. 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全 一致,则称这两个函数相等. 1.2.2 函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 1.3.1 单调性与最大(小)值(1)定义法：设 x、x2 w a,b,x1 x2那么f (x1)- f (x2)0u f(x)在a,b上是减函数.步骤：取值一作差一变形一定号一判断格式：解：设x1,x2 w B,b且x1 x2 ,则：f x - f x2 =(2)等价表述：设x1二2乏Q,b1,x1#x2那么 1.1.3、集合间的基本运算学习必备欢迎下载(Xi X2) f (Xi)

5、f(X2) 10 =f(x1) 一 f(x2)0上f(X)在kb】上是增函数;X1 x2(X1 -X2) If (X1) - f (X2) I ： 0 =f(X1) f(X2)0 JL f(X)为增函数；卷f (X) .偶函数图象关于y轴对称.2、一般地，如果对于函数f(X )的定义域内任意一个 X, 者B有f (一X)=-f(X ),那么就称函数f(X)为奇函 数.奇函数图象关于原点对称.(注:奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点一 对称)奇偶函数间的关系：(1)、奇偶=奇;(2)、奇奇=偶;(3)、偶偶二偶;(4)、奇土奇=奇函数(5)、偶土偶=偶;(6)、奇土偶=非奇非偶函数知识链接

6、：函数与导数1、函数y= f(X)在点X。处的导数的几何意义：函数y = f (x)在点X0处的导数是曲线 y = f (X)在P(X0, f (X0)处的切线的斜率f (小)，相应的切线方程是 y - yf (x)(x - x0).2、几种常见函数的导数.nn 1 C=0；(x)=nx ；，、(sinx) =cosx； (cosx) =_sinx；(ax) =axlna；(ex) =ex；11(log a X)=;(ln x)=一xln ax3、导数的运算法则(1) (u _ v) = u _ v.(2) (uv) = U V UV .u u v-uv(3)=-2(v0). v v4、复合函

7、数求导法则复合函数y = f (g(x)的导数和函数y = f(u),u = g(x)的导数间的关系为yx = yu ux ,即y对x的导数等于yu的导数与u对x的导数的 乘积.解题步骤：分层一层层求导一作积还原.5、函数的极侑(1)极值定义：极值是在x0附近所有的点，都有 f(x)V f(x0), 则f(x0)是函数f(x)的极大值；极值是在x0附近所有的点，都有 f(x) f (x0),则 f (x0)是函数f (x)的极小值.(2)判别方法：如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0, 那么f(x)是极大值；如果在x0附近的左侧f (x)0, 那么f(x0)是极小值.6、求函数的最值

8、 (1)求丫 = f (x)在(a,b)内的极值(极大或者极小值)(2)将y = f (x)的各极值点与f (a), f (b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。注：极值是在局部对函数值进行比较(局部性质)； 最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。n am = m an*.(a A0,m, ” N , m1 1a=:(n 0)； a4、运算性质： aras = ar*(a 0,r,sw Q )；(a,)= a,s(a 0, r, sw Q )；(ab，= arbr (a a Q b 0,r w Q )注：上有理指数哥的运算性质，对实数指数哥都适用 2.2.1、对数与对

9、数运算x1、指数与对数互化式：a =Nu x = logaN ；2、对数恒等式：alogaN = N .3、基本性质：loga1 = 0, loga a = 1.第二章：基本初等函数(I) 2.1.1、指数与指数哥的运算1、一般地，如果xn = a ,那么x叫做a的n次方根。其中n 1,n N .2、当n为奇数时，Van =a ；当n为偶数时，两=a .3、我们规定：4、运算性质：当a a 0,a # 1,M a Q N 0时: loga (MN )= loga M + loga N ； 10g aOga M - lOg a N ； log a M n = n log a M .-logc b

10、5、换底公式：loga b =logc aa 0,a =1, c 0,c =1, b 0 .7、倒数关系：logab1 a .0, a=1,b 0,b =1 logbamm.6、重要公式：log an b = logab n(1)正比例函数f(x)=cx,f(x y) = f (x) f (y), f (1) = c.(2)指数函数f (x) = ax,f(x y) = f(x)f(y), f(1) = a = 0.对数函数f (x) =loga x 2.22、指数函数、对数函数与募函数的性质f(xy)= f (x) f (y), f (a) =1(a 0,a = 1).由指数、对数与骞的运算

11、性质得到对应函数的性质:(4)募函数 f (x) = xa,_ _ _ _ 1f(xy) = f (x)f(y), f 二二.指数函数y = ax a 0,a = 1对数数函数y = log a x a 0, a = 1表1过定点（0,1）过定点（1,0）学习必备欢迎下载减函数增函数减函数增函数xW(-od,0)时，yW(1,*kc)xws,0)时，yw(0,1)xw(0,1)时,yw(0*)xw(0,1附,y(_co,0)xw(0,-)时，yw(0,1)xw(0,f 时，yw(1,代)xw(1,f)时，yw(0,f)xW(1,+：c)时，yW(_oo,0)3.1.1、方程的根与函数的零点a

12、ba ba b哥函数y=xC R)p为奇数 q为奇数p为奇数 q为偶数p为偶数 q为奇数第一象限性质第三章：函数的应用1、方程f(x) = 0有实根学习必备欢迎下载U函数y = f (x两图象与x轴有交点u函数y = f (x后零点.2、零点存在性定理：如果函数y = f (x/区间h,b】上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)”f(b) r u点P在圆外；d = r u点P在圆上；d r u点P在圆内.3、直线与圆的位置关系直线 Ax +By +C =0 与圆（x a）2 +（y b）2 = r2 的位置关系有三种：d a r u 相离 u 0 ；设两圆圆心分别为 O,Q,半径分别为

13、ri/2, O1O2 =dd a1+2之 外离u 4条公切线；d = r1 + r2 u 外切u 3条公切线；r1 -r2 d c r1 + r2 u相交u 2条公切线；d= r1 - r2 u内切之1条公切线；0d|r1-r2=内含=无公切线.3、空间中两点间距离公式：P1P2 =辰- f +也一%f+一4 f3、两IW立置关系：d =r u 相切 u = 0；d 0.弦长公式:l = 2，r2 - d2=1 k2 , (x1 -x2)2 -4x1x2学习必备欢迎下载必修3数学知识点第一章：算法1、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言；2、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判断

14、框、流程线等 规范表示方法；3、算法的三种基本结构：当型循环结构顺序结构、条件结构、循环结构C、直到型循环结构顺序结构示意图：（图1）条件结构示意图： IF - THEN - ELSE 格式：（图2）IF - THEN格式:（图3）循环结构示意图: 当型（WHILE型）循环结构示意图:（图4）直到型（UNTIL型）循环结构示意图:频率分布折线图一一便于观察总体分布趋势制作散点图，判断线性相关关系算法案例：辗转相除法一结果是以相除余数为 0而得到利用辗转相除法求最大公约数（步骤略）更相减损术一结果是以减数与差相等而得到进位制十进制数化为k进制数一除k取余法k进制数化为十进制数第二章：统计1、抽样

15、方法：简单随机抽样（总体个数较少）系统抽样（总体个数较多）分层抽样（总体中差异明显）注意：在N个个体的总体中抽取出 n个个体组成样本,每个个体被抽到的机会（概率）均为 工。N2、总体分布的估计：一表二图：频率分布表一一数据详实频率分布直方图一一分布直观注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。茎叶图：茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据 的分布，以及中位数、众位数等。个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大 书写，相同的数据重复写。3、总体特征数的估计：平均数：xx1 x2 x3 xn ；n取值为xi,x2，xn的频率分别为Pl,P2,，Pn,则其 平均数为 xi Pi +x2P

16、2 +xnPn ；注意：频率分布表计算平均数要取组中值。中位数：将一组数据按大小排列，把处在最中间位 置的一个数据或最中间的两个数据的平均数叫做这组 数据的中位数。注意：在频率分布直方图中，中位数的左边与右边面 积相等F方差与标准差：一组样本数据xi,x2, ,xn1 n2方差： s2 =Z （xi x）； n id标准差：s =1 1 年 （xi -x） . n id注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。线性回归方程变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；线性回归方程：y=bx +a (最小二乘法) n XiYi -nxyb -X

17、工 x2 -nxi 4a = y -bx注意：线性回归直线经过定点(x,y)。第三章：概率1、随机事件及其概率：事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表不；必然事件、不可能事件、随机事件的特点；随机事件A的概率：P(A) =m,0 P(A) 1. n2、古典概型：基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；古典概型的特点：所有的基本事件只有有限个；每个基本事件都是等可能发生。古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事 件共有n个，事件A包含了其中的 m个基本事件，则 事件A发生的概率P(A)=m.n3、几何概型：几何概型的特点:所有的基本事件是无限个；几何概型概率计算公式:P(A)=

18、d的测度每个基本事件都是等可能发生。 其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。4、互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；如果事件Ai, A2 ,，An任意两个都是互斥事件，则称事彳牛A,A2,，An彼此互斥。如果事件 A, B互斥，那么事件 A+B发生的概率， 等于事件A , B发生的概率的和，即：P(A B)= P(A) P(B)如果事件Ai, A2 ,，An彼此互斥，则有：P(Al A2An) =P(Al) P(A2)P(An)对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称 这两个事件为对立事件。事件A的对立事件记作AP(A) P(A) =1,P(A) =1 - P(

19、A)对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事 件。必修4数学知识点第一章：三角函数 1.1.1 任意角1、正角、负角、零角、象限角 的概念.2、与角口终边相同的角的集合：2k二，k Z ； 1.1.2 弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、0(3、弧长公式：lR.4、扇形面积公式180c n 二 R2:S =360R.2 1.2.1、任意角的三角函数1、设u是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)那么:sin : = y, cos =二x,y tan 二二一x2、设点 A(x ,y）为角a终边上任意一点,那么：（设r = ,x2 y2 )- xcot -=一

20、 y3、sin u , cosot , 数线的画法.tan 口在四个象限的符号和三角函正弦线:余弦线:正切线：AT4、特殊角0,30,45,60。，a0643234JI3冗2n90 ,180 ,270等的三角函数值sin acosatan a 1.2.2、同角三角函数的基本关系式一、.一22 一1、平万关系:sin a + cos a = 1 .一,，一sin 工2、商数关系：tana =.cos 二 1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限k w Z ）1、诱导公式一：sini _ 2k二=sin ;，cosa +2kn )=cosa,(其中：kw Z ) tan 二2 k

21、二-tan ：.2、诱导公式二：sin 二 二二-sin ;，cos 二：-cos：, tan 二 ：=tan：.3、诱导公式三 ：sin - - - - sin:,cos - - - cos , tan - - - - tan-.4、诱导公式四：sin 二-：-sin 二，cos 二-：-cos-, tan 二-：-tan：.5、诱导公式五：sin冗1-CL |2=cos:,cos-Lina.6、诱导公式六：sin十口 i = cos%12)cos工Mi.0,co 0）有：振幅 a,周“2 二一，期T 二一，初相邛，相位与x+邛，频率f =T =器.0）2、能够讲出函数y =sin x的图象

22、与y = Asin（tox+中）+B的图象之间的平移伸缩变换关系.先平移后伸缩：y =sin x平移|中|个单位y = sin （x +平） （左加右减）横坐标不变y = Asin （x+中）纵坐标变为原来的a倍纵坐标不变y = A、in （切x +邛）ii横坐标变为原来的|一|倍a平移|B|个单位V = Asin（8x +中）+B（上加下减）先伸缩后平移：y =sin x横坐标不变y = Asin x纵坐标变为原来的A倍纵坐标不变y = Ain0 xi横坐标变为原来的|，|倍（P平移一个单位y = Asin （8x +中） （左加右减）平移|B|个单位,y = Asin（o x十中）+ B3

23、、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数 y =sin（0 x +中）,xC R及函数 y = cos x +邛），2 二xC R（A, CO，邛为常数，且Aw 0）的周期T =；函|数y =tan（cox十平）,x。依+工，k w Z （A,，中为2常数，且Aw 0）的周期T =. |对于 y = Asin（eo x + 中）和 y=Acos3x +中）来说,对称中心与零点相联系，又称轴与最值点联系求函数y = Asin（0x + 中）图像的对称轴与对称中心，只需令 cox + 邛=kn +（k w Z）与6x+邛=kn（k w Z）2解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三

24、角函数的解析式利用图像特征：A = ymax - ymin B = ymax ymin22切要根据周期来求，平要用图像的关键点来求.第三章、三角恒等变换 3.1.1、两角差的余弦公式降哥公式:21cos 二二卷(1 cos2：)42.21八、sin a =-2 (1 -cos2ot)otsin acos atana穆2 -4/642-V3会算甚至记住15的三角函数值:3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sin(a + P )=sina cosP + cosa sin P2、sin3 P )= since cosPcosot sin P3、cos(u +P )=cosacosP -s

25、incesinP4、cos(a - P )=cosacosP +sinctsinPtan,：，tan :、tan (值)=1 -tan ot tan P .3、tan2： = 2tan2.1 - tan2 : 3.2 简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式y = asin x bcosx = . a2 b2 sin（x ）（其中辅助角 邛所在象限由点 （a, b）的象限决定 tan = b ）.atan- -tan :、tan( )-1 戈an ot tan P . 3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin 2 = 2 sin a cosa ,变形：siRQ c

26、osa = 1 sin 2a._-2 - 2 -2、cos2ct =cos 豆 一sin 口2.=2 cos 二一1_2=1 -2sin :.变形如下:升哥公式:21 cos2 = 2cos -21。cos2 =2sin第二章：平面向量 2.1.1 、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量： 力、位移、速度、加速度 .2、既有大小又有方向的量叫做 回区. 2.1.2 2.1.2、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做 有向线段，有向线段包含三个 要素：起点、方向、长度.2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称惶）, 记作AB ；长度为零的向量叫做 零向量；长度等于1个单位的向量叫做 单位

27、向量.2、平面向量共线定理：向量2�）与6共线，当且 a + b = (x +x2,y十 y2 ), ab = (xi -X2,yi -y2),向量）.规定：零向量与任意向量平行 2.1.3、相等向量与共线向量 2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.1、规定：实数 人与向量a的积是一个向量，这种运算定如下:仅当有唯个实数九，使b = Za . 2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表不2、三角形减法法则 和平行四边形减法法则1、a = xi + yj = (x, y).3、方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量（或共线3、鼠忖叩臼叩十尺 2.2.1、向

28、量加法运算及其几何意义叫做向量的数乘.记作：九a ,它的长度和方向规1、三角形加法法则和平行四边形加法法则 2.3.1、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果e ,e2是同一平面内的两 2.2.2、向量减法运算及其几何意义个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量 a ,1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.有且只有一对实数 七，九2,使a =九1 e十Z. 2 e2.三角形加送法则当九0时，入a的方向与 a的方向相同；当&Aa 平行四辿形加法法则0 0时，儿a的方向与a的方向相反2、a a +b w a + b（两边之差小于第三边，两边之和大于第三边）三角形谶法法则 2.3.3、

29、平面向量的坐标运算1、设 a = (x1, y1 )b = (x2, y2 ),则:b平行四边形瀛法法值a九a = 0区,Ky1 ）, * f a/b 匕 x1 y2 = x2 yl.2、设A（xi,y1漳仁.）,则：AB = 2 - xl - yi . 2.3.4 平面向量共线的坐标表示1、设 A（xi, yi B（x2,y2 4仪坐）,则线段AB中点坐标为（空，吟）， ABC的重心坐标为空言的竺守. 3，3 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1、a b =抑可cos日.2、a在6方向上的投影为：a cosH .-2- 23、a a .t卜24、a = Ya . I-I-*r 5、

30、 a_Lbu a b = 0. 2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、设 a = （x1,y1 ）b =（x2,y2 ）,则： a b = x1x2 y1 y a =、；x2 +yj a _ b：= a b =0= xx2 y1y2 =0/ * 4 - a/b：二 a - b二 xy2 - x2y1 = 02、设A(x1,y1冷区E),则：AB =#x2 x1 f +(y2 y1 )2 .3、两向量的夹角公式x1x2 y1y2-22-22x1y1y2 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得

31、下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行 总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量.直线的方向向量：若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的 一个方向向量；与滞 平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量.平面的法向量： 4若向量n所在直线垂直于平面 o（,则称这个向量* * 彳垂直于平面a ,记作n-La ,如果n-Lct ,那么向量n 叫做平面a的法向量.平面的法向量的求法（待定系数法）：建立适当的坐标系.设平面a的法向量为n=（x, y,z）.求出平面内两个不共线向量的坐标4-I2=（4e2自）,b=（h，b2，a）.月4 ，一，一、,、一， n a = 0根据法向量定义建

32、立方程组n a .n b = 0解方程组，取其中一组解，即得平面口的法向量即：直线与平面平行 G直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可 以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线 向量即可.面面平行II44若平面a的法向量为U ,平面P的法向量为V ,要IIi 44证0（ / P ,只需证u / V ,即证u =九V.即：两平面平行或重合 Qi两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直设直线li2的方向向量分别是 a、b,则要证明li _Ll2,只需证明 a-Lb,即 a b = 0.即： 两直线垂直 O 两直线的方向向

33、量垂直。线面垂直2、用向量方法判定空间中的平行关系线线平行设直线li2的方向向量分别是a、b,则要证明li / I2 , II只需证明a / b ,即a = kb（k w R）.即：两直线平行或重合 =两直线的方向向量共线。线面平行 （法一）设直线l的方向向量是a ,平面久的法向量是U ,则要证明l / a ,只需证明a _L u ,即a u = 0.（法一）设直线l的方向向量是a,平面a的法向* * 4量是u ,则要证明l，豆，只需证明a / u ,即a = ?uu .（法二）设直线l的方向向量是a,平面a内的两个相交向量分别为m、n,若（a m ，则l_LG.a n = 0即：直线与平面垂

34、直 =直线的方向向量与平面的 法向量共线 o1直线的方向向量与平面内两条不共线 直线的方向向量都垂直。面面垂直 若平面a的法向量为u ,平面P的法向量为V ,要证4 4 * _L P ,只需证u -L v ,即证u V = 0 .即：两平面垂直 一两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角求异面直线所成的角量分别为 m、n ,再设 m、n的夹角为 中,二面角已知a,b为两异面直线,A, C与B, D分别是a, ba -l - P的平面角为e ,则二面角8为m、n的夹角上的任意两点，a,b所成的角为9 ,中或其补角元-5.贝U cos6 = 一 +. AC BDl根据具体图形确定e是锐角或是钝角:求直线和平面所成的角如果e是锐角，则cose =定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角.求法：设直线l的方向向量为a,平面口的法向量III为u,直线与平面所成的角为a,a与u的夹角为邛，=-cos丹=-如果6是钝角，则cose5、利用法向量求空间距离则e为中的余角或中的补角的余角.即有：|a U|sin日=cos* =普斗 甲求二面角定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分， 其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两