拉格朗日中值定理

1、拉格朗日中值定理引言众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以 引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述1罗尔Rolle 中值定理如果函数f x满足条件：1在闭区间a,b 上连续；2在开区间a,b内可导；（3

2、）f a ：严f b，则在a,b内至少存在一点 ',使得f '：0罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线 y = f x在点A, B处的纵坐标相等，那么，在弧 AB上至少有一点C ，,曲线在C点的切线平行于x轴，如图1，注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于a,b的，使得f'卜i： 0 .这就是说定理的条件是充分的，但非必要的 12拉格朗日lagrange 中值定理若函数f x满足如下条件：1在闭区间la,b 1上连续；2在开区间a,b内可导；则 在a,b内至少存在一点，使f' 二f b -

3、f ab -a拉格朗日中值定理的几何意义：函数y二f x在区间db 1上的图形是连续光滑曲线弧AB上至少有一点C，曲线在C点的切线平行于弦 AB 如图2,从拉格朗日中值定理的条件与结论可见， 若f x在闭区间a,b 两端点的函数值相等， 即fa二f b，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理 换句话说，罗尔中值定理是拉格 朗日中值定理的一个特殊情形 正因为如此，我们只须对函数 f x作适当变形，便可借助罗 尔中值定理导出拉格朗日中值定理 3证明拉格朗日中值定理3.1教材证法证明作辅助函数F ( x)= f( x_ f(巧一 f a xb a显然，函数F x满足在闭区间 a ,b上连续，在开区间a,

4、 b内可导，而且Fa =F b .于 是由罗尔中值定理知道， 至少存在一点'a .；：广.；： b ，使F ' = f ' i. f b 一 f日=0 .b a即 f'= f b -f a .b a3.2用作差法引入辅助函数法证明 作辅助函数x = f x - f a -丄匚已x - a-b -a显然，函数:x在闭区间a,b 1上连续，在开区间a,b内可导，a = b = 0，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点a,b，使得'=f''-丄丄=0，即b -af'= f b -f ab a推广1如图3过原点O作OT / AB，由f x

5、与直线OT对应的函数之差构成辅助函数 x，因为直线OT的斜率与直线 AB的斜率相同，即有：KOT二 K abf (b f (a )OT 的直线方程为：yx，于是引入的辅助函数为b a：x二f X -丄卫(证明略)b -a推广2 如图4过点a,O作直线a'b' / AB ,直线A B '的方程为：y二 x -a ，由f x与直线函 AB'数之差构成辅助函数:x，于是有:b -a：；ix = f x _a x - a . (证明略)b _a推广3 如图5过点作b,O直线ABH AB ，直a'b'线的方程为2# 3y二丄卫x b，由f X与直线AB 函

6、b -a数之差构成辅助函数 x ，于是有：,f (b ) f (a - xf xx - b .b -a事实上，可过y轴上任已知点O,m作A/ B / H AB 得直线为 y =x - m，从b -a而利用f x与直线的a'b'函数之差构成满足罗尔中值定理的辅助函数:x都可以用来证明拉格 朗日中值定理.因m是任意实数，显然，这样的辅助函数有无多个3.3用对称法引入辅助函数法在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于x轴的对称函数也有无数个，显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理.从几何意义上看，上面的辅助函数是用曲线函数f x减去直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数 f x

7、 ,即可得与之对称的辅助函数如 下:x 二 f aH X 一 a - f x-b -at f(b)f(a)X 二X - f X/、f fb )_ f fa )' - xx - a - f xb _a小zf (b ) f (a ):xx _ b ；- f xb _a等等这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个这里仅以为例给出拉格朗日中值定理的证明证明 显然，函数x满足条件：1在闭区间a,b 上连续；2在开区间a,b内可导;。严(a 戶申(b = af(b ”bf 但) 由罗尔中值定理知，至少存在一点U (a,b )，使得b a.j 二丄丄La_f'=o，从而有f&#

8、39; 二f b 一f a，显然可用其它辅助函数b _ab _a作类似的证明3.4转轴法由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出，若把坐标系xoy逆时针旋转适当的角度:，得新直角坐标系XOY，若0X平行于弦AB，则在新的坐标系下f x满足罗尔中值定理，由此得拉格朗日中值定理的证明证明 作转轴变换 x = X cos - Y sin、丄，y = X sin黒亠丫 cos :，为求出爲，解出X ,Y得X = x c o s：£ 亠 y s in: = x c o s：£ 亠 f x s in: = X xY - -xs in 啓亠 y c o s = x s i nx 亠 f x

9、c o s 二 Y x由 Y a 二Yb得一 a sin a + f (a pos a = -b sin a + f (b Jcos a，从 而t赵申f(bL "a)，取o满足上式即可由f(x )在闭区间k,b】上连续，在开区间(a,b )内 b a可导，知Y x在闭区间la,b上连续，在开区间a,b内可导，且Y ai=Y b，因此，由罗尔中值定理知，至少存在一点】三a,b ，使得、-si nt亠f - cos : = 0 ，即f b - f a If - i： tan :b a3.5用迭加法引入辅助函数法让f x迭加一个含待顶系数的一次函数y = kx m，例如令x = f ikx

10、 m或'：；jx = - f x 1亠kx - m，通过使:莓a = b，确定出k , m，即可得到所需的辅助函数.例如由X = f X - kx m ，令 a b得 f a |. ka m = f b |. kb-m，从而 f b f a，而m可取任意实数，这样 b _a我们就得到了辅助函数:x = f b - f a x _m，由m的任意性易知迭加法可构造出无数b _ a个辅助函数，这些函数都可用于证明拉格朗日中值定理3.6用行列式引入辅助函数法证明 构造一个含f x且满足罗尔中值定理的函数:x，关键是满足:3=沖我们从行列式的性质想到行列式的值在x二a, x二b时恰恰均为0，因此

11、可设易，展开得f b x bf aa 亠 af x - af b - f a x - bf因为f x在闭区间la, b I上连续，在开区间a, b内可导，所以':辽x在闭区间la, b I上连续，在开区间a,b内可导，且a二b =0 ,所以由罗尔中值定理知，至少存在一点】三a,b ，使得;:''=0因为''二 f a - f b - a b f' '=0即:f'. f b -f ab a3.7数形相结合法引理在平面直角坐标系中，已知- ABC三个顶点的坐标分别为A a, f a ，1B b, f b i， C c, f c ，则二

12、ABC 面积为 S -ABC21af(a1bf(bacf(cj这一引理的证明在这里我们不做介绍， 下面我们利用这一引理对拉格朗日中值定理作出一种 新的证明这种方法是将数形相结合， 考虑实际背景刻意构造函数使之满足罗尔中值定理的条件.如图，设c, f c j 是直线AB与y = f x1af(a：1cf(c1xf(x)易验证x满足罗尔中值定理的条件：在闭区间la,c 上连续，在开区间a,c内可导，而且a j： "b，则至少存在一点三a,b，使1af (a1cf (c 即:a f(a)c f(c)G但是(a【(c) (J=0，这是因为,如果5f (a :f (c【f (幼则f 鼻-c，这

13、样使得 , f 1 成为直线 AB与y = f x从A点c a#的第一个交点，与已知矛盾）1 af (a j故1 cf (c)1匚f(H=0,即 f' J b -f a f c a.若只从满足罗尔中值定理的要求出发，我们可以槟弃许多限制条件,完全可以构造f a f b i来解决问题,f x从而使形式更简洁，而且启发我们做进步的推广：可构造#否则，直线M丄!不平行于直线 MaMb.由于曲线，则曲线必在直线M，的一侧.-rlb明柯西中值定理3.8区间套定理证法证明 将区间I = l.a, b I二等分，设分点为t，作直线x = !，它与曲线y = f x 相 交于M !，过M !作直线M丄

14、，/弦M a M b 此时，有如下两种可能：若直线m丄勺与曲线y = f x仅有一个交点M !y = f x在点M!处有切线，根据曲线上一点切线的定义，直线M,L,就是曲线y = f x在点M ,处的切线，从而f 、二f b 一 f a .由作法知,在区间a,b内部，取打于是有若直线M 1L1与曲线y二f x还有除M i外的其他交点，设N, X,%为另外一个交点，这时选取以X：为端点的区间，记作I, = ab,有I n I, b -a £2b1- aif b - f a，把I,作为新的“选用区间”，将I1二等分，并进行与上面同样的讨论，则要么得到所要求的点，要么又得到一个“选用区间”

15、 |2.如此下去，有且只有如下两种情形中的一种发生(a)在逐次等分“选用区间”的过程中,遇到某一个分点k，作直线x =：.k它与曲线二f x交于M k，过点M k作直线MkLk /弦MM b ,它与曲线y = f x只有一个交点k ,此时取 即为所求.(b)在逐次等分“选用区间”的过程中,遇不到上述那种点，则得一闭区间序列In，6#满足:I 二 I 1 二 I 2bbn _ a n ：-f bnbn _an由知，In构成区间套，根点即为所求事头上lim ann2n-a0 n t :，存在唯一的一点 -三ln n = 1,2,3，此=lim bn 二 , H - i存在 limnr：r ：bn

16、一 anf S 一 f號f ,由f 4 )- f 2n )= f (b )- f 2 )，所以f(b) f(a)limnr'bn annn，从“选用区间”的取b a#法可知，确在a,b的内部3.9旋转变换法证明 引入坐标旋转变换 A : x = X cos_Ysiny = X s i n： 亠 Y c o因为cos asin asin :cos :-2 2=cos :：£ 亠 sin仆 07#所以 A 有逆变换 A/: X = x cos ：£ 亠 y sin ： = x cos ：£ 亠 f x sin ： = X x Y - -xs i nsi n 亠

17、if xc o s二丫 x由于f x满足条件：1在闭区间la,b 1上连续；2在开区间a,b内可导，因此式中函亠 y c o： s - -x数Y x在闭区间la,b 1上连续，在开区间a,b内可导.为使丫 x满足罗尔中值定理的第三#个条件，只要适当选取旋转角，使Y a= Y , b即-a sin ：:£ 亠 f a cos : = -b sin ：:£ 亠 f b cos :， 也即这样，函数丫 x就满足了罗尔中值定理的全部条件，从而至少存在一点1 |a <: b，使Y =sin二川'f ' cos = 0即f '= tan.由于所选取旋转角满

18、足结论本论文仅是对拉格朗日中值定理的证明方法进行了一些归纳总结其中还有很多方法是我没有想到的，而且里面还有很多不足之处需要进一步的修改与补充通过这篇论文我只是想让人们明白数学并不是纯粹的数字游戏，里面包含了很多深奥的内容 而且更重要的是我们应该学会去思考， 学会凡是多问几个为什么，不要让自己仅仅局限于课本上的内容，要开动脑筋学会举一反三，不要单纯为了学习而学习，让自己做知识的主人！总之，数学的发展并非是无可置疑的，也并非是反驳的复杂过程， 全面的思考问题有助于我们思维能力的提高，也有助于创新意识的培养.参考文献1 华东师范大学数学系数学分析（上册）（第二版）M.北京：高等教育出版社.1991:153-1612 吉林大学数学系.数学分析（上册）M.北京：人民教育出版社.1979 : 194-1963 同济大学应用数学系高等数学（第一册）M.北京：高等教育出版社（第五版）.2004: 143-1534 周性伟，刘立民.数学分析M.天津：南开大学出版社.1986 : 113-124 林源渠，方企勤.数学分析解题指南M.北京：北京大学出版社.2003： 58-67 孙清华等.数学分析内容、方法与技巧（上）M.武汉：华中科技大学出版社.2003:98-1067 洪毅