高三专题：直线与圆的知识点及经典例题(含答案)

1、专题：圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(一)圆的标准方程形如：(xa)2+(yb)2 =r2这个方程叫做圆的标准方程 。-说明：1、若圆心在坐标原点上，这时 a = b = 0,则圆的方程就是 x2+y2=r2。2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要 a,b,r三个量确定了且r>0,圆的方程就给定了。就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件-确定a,b,r,可以根据3个条件，利用 待定系数法 来解决。(二)圆的一般方程将圆的标准方程(x -a)2 +(y

2、-b)2 =r2，展开可得x2 + y2 -2ax -2by +a2 +b2 -r2 = 0。可见，任何一个圆 的方程都可以写成 ：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0。问题：形如x2 +y2 +Dx+Ey +F = 0的方程的曲线是不是圆？_ 2 _ 2_22-D 2 E 2. D2 E2 -4F 2将方程 x +y +Dx+Ey + F =0左边配方得：(x -)+(y)=()222._ 2_ 222_D E(1)当D +E 4F >0时，方程(1)与标准方程比较，方程x +y + Dx + Ey + F = 0表示以(,一)为圆22D2 E2 -4F, j心，以 上D

3、E4F为半径的圆。22222 DE(2)当D +E 4F=0时，方程x +y + Dx + Ey + F = 0只有实数解，解为 x = , y =,所以表示一个22上 D E、点(-,-) .22(3)当D2+E24F<0时，方程x2 +y2+Dx + Ey+ F =0没有实数解，因而它不表示任何图形。圆的一般方程的定义：当 D2 +E2 -4F >0时，方程x2 +y2 +Dx + Ey+ F =0称为圆的一般方程.22 圆的一般万程的特点：(I) x和y的系数相同，不等于零；(ii)没有xy这样的二次项。(三)直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的种类(1)相离-求距离；(

4、2)相切-求切线；(3)相交-求焦点弦长。2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：(1)把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径(2)利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离(3)作判断：当d>r时，直线与圆相离；当 d=r时，直线与圆相切；当d<r时，直线与圆相交。代数方法主要步骤：(1)把直线方程与圆的方程联立成方程组(2)利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程(3)求出其A的值，比较A与0的大小：(4)当A<0时，直线与圆相离；当 A=。时，直线与圆相切 ；当A>0时，直线与圆相交。判断方法直线,与c的位置关系T Ax + Bi+ + C =

5、 0 (x-a)2+(j-6)：=r2比较圆心到宜线/ 的距离d与圆的半 径r的大小相交两组不同的实数解d <r相切有一组相同实数解d - r相离没有解d > r圆的切线方程总结：当点(Xo, y°)在圆x2 +y2 =r2上时，切线方程为：x + y0y = r2 ；当点(Xo, yo)在圆(x -a)2 +(y b)2 =r2上时，切线方程为：(x0 a)(x a) + (y° b)(y b) = r2。 【典型例题】类型一：圆的方程例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y =0上的圆的标准方程并判断点 P(2,4)与圆的关系.变式1:求过两点

6、A(1,4)、B(3,2)且被直线y = 0平分的圆的标准方程.变式2：求过两点 A(1,4)、B(3,2)且圆上所有的点均关于直线y=0对称的圆的标准方程.分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点 P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径， 则点在圆内.解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(xa)2+(y b)2 =r2. 圆心在y=0上，故b = 0 .，圆的方程为(x a)2 + y2 = r2.22 .2、一一 (1-a) +16 = r2又该圆过 A(1,4)、B(

7、3,2)两点.八 12解之得：a = 1, r =20.J3 -a) +4=r所以所求圆的方程为(x +1)2 + y2 = 20 .解法二：(直接求出圆心坐标和半径)4 2因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为kAB=f = -1,故l 1-3的斜率为1,又AB的中点为(2,3),故AB的垂直平分线l的方程为：y 3 = x2即xy + 1 = 0 .又知圆心在直线 y =0上，故圆心坐标为 C(1,0)半径r = |AC =J(1+1)2+42 =v'20 . 故所求圆的方程为(x+1)2+y2 =20 .又点P(2,4)到圆心C(一

8、1,0)的距离为d =|PC =V(2 + 1)2 +42 =/25>r .，点 P在圆外.例2:求过三点O (0, 0), M (1, 1), N (4, 2)的圆的方程，并求出这个圆的圆心和半径。解：设圆的方程为：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0,将三个点的坐标代入方程F =0<D +E +F +2=04D +2E + F +20 =0 匚 c c o i- 2回七壬口以22_l.f F = 0,D=-8,E=6 二圆方程为：x + y -8x + 6y = 0配方：(x -4)2+(y+3)2=25 =圆心：(4,4 ),半径 r = 5例3：求经过点A(0

9、,5),且与直线x2y =0和2x+ y = 0都相切的圆的方程.分析：欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点 A ,故只需确定圆心坐标.又圆与两已知 直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上.解：圆和直线x-2y = 0与2x + y=0相切，圆心 C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线 x2y =0和2x+y = 0的距离相等.巴2y = 匕型.，两直线交角的平分线方程是,5、5x+3y =0或3x y =0 .又.圆过点 A(0,5), 圆心C只能在直线3x y = 0上.|2t+3tl2设圆心C(t,3t) C到直线2x + y =0的距离等于 AC , . J曰

10、 =占2 + (3t 5)2 .V5化简整理得t2 -6t+5 =0.解得：t =1或t =5圆心是(1,3),半径为J5或圆心是(5,15),半径为5V5 .，所求圆的方程为(x1)2 +(y3)2 =5 或(x5)2 +(y 15)2 =125 .说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是 过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法.类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例4、已知圆O： x2 +y2 =4 ,求过点P(2,4)与圆O相切的切线.解：点P(2,4不在圆O上，切线PT的直线方程可设为y=k(x 2)+4-2k 433根

11、据 d =r =2.解得 k =3 所以 y=9(x 2计4 即 3x4y + 10 = 0由+k24,4,因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为x = 2.说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解.本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决(也要注意漏解).还可以运用2x0x+y°y=r，求出切点坐标x。、y0的值来解决，此时没有漏解.例5、自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆 x2 + y2-4x 4y+7 =0相切, 求光线所在直线方程。例 6、两圆

12、 Ci： x2 +y2+D#+Ey + Fi =0 与 C2： x2 + y2 + D2X + E?y + F2 =0 相交于 A、B 两点，求它们的 公共弦AB所在直线的方程.分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁.为了避免求交点，可以采用 设而不求”的技巧.解：设两圆Ci、C2的任一交点坐标为（xo,yo）,则有：22Xo +y0 +Di%+Eyo+F =022_Xo yyo + D2X0 +E2y°+F2=0得：（Di D2）xo +（Ei E2）yo +Fi F2 =o.,A、B 的坐标满足方程（D1 D2）x + （E1 E2

13、）y+ F1 F2 =。.方程（Di D2）x+（Ei E2）y+Fi F2 =o是过A、B两点的直线方程.又过 A、B两点的直线是唯一的.两圆CC2的公共弦 AB所在直线的方程为（DiD2）x + （EiE2）y + Fi F2=o.说明：上述解法中，巧妙地避开了求 A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标.从解题的角度上说，这是一种设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识.它的应用很广泛.例7、求过点M （3,i）,且与圆（x1）2+y2 =4相切的直线l的方程.解：设切

14、线方程为yi =k（x3）,即kxy3k+i=o , 圆心（i,o）到切线l的距离等于半径2,Ik -3k il33 |,| =2 ,解得 k = , 切线方程为 y-i = (x-3),即 3x + 4y-i3 = o ,k2-i244当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为x=3,圆心（i,o）到此直线的距离等于半径 2,故直线x=3也适合题意。所以，所求的直线l的方程是3x + 4y i3 = o或x = 3.补充：圆x2 +y2+Dx+Ey+F =。的切点弦方程:证明；设尸（今。圆C： /十二+二y + F = 0外一点，过点尸作的C的的两条切线切点是工、，则直线AB的方程是二/工十比丁

15、 +三。+2三£；+产=0. 二谡E机由平面几何知识易知一弦且H是圜。马次忆C为直径端点的的相交弦.DE以巴C1为直径逐点的圆的方程是：a4-x0） +（V + -）（y - Vp） = 0 n tUKJ即/+/+（瓯万4（3一打）¥ 彳7 =0义工小分工+Ey + F = Q-将：+ =类型三：弦长、弧问题 例8、求直线l :3xy6=。被圆C : x2十y22x4y=o截得白勺弦AB的长.例9、直线，3x+y2/3 =0截圆x2 +y2 =4得的劣弧所对的圆心角为 解：依题意得，弦心距d =<3,故弦长AB =2,2 d2 =2 ,从而oab是等边三角形，故截得的

16、劣弧所对的圆心角为.AOB =.3例 10、圆 C： (x -1)2 +(y -2)2 =25,直线(2m +1) x+(m+1)y-7m-4 = 0(m= R),(I)证明：不论 m取何值时，l与C恒有两个交点；(n)求最短弦长所在直线方程。分析：本题最关键的是直线交点系方程的转化，挖掘出直线恒过定点。再探究定点在圆内，下一步只需要去探究 点到直线的距离最大时，直线方程是什么。类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线J3x +y -2第=0和圆x2 +y2 =4,判断此直线与已知圆的位置关系例12、若直线y=x+m与曲线y=q'4-x2有且只有一个公共点，求实数 m的取值范围.解：

17、曲线y =，4 _x2表示半圆x2+y2 =4(y之0) , .利用数形结合法，可得实数m的取值范围是-2 Em<2 或 m=2V2.例13、圆(x3)2+(y 3)2 =9上到直线3x+4y11 =0的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解.或先求出直线11、12的方程，从代数计算中寻找解答.解法一：圆(x3)2+(y 3)2 =9的圆心为01(3, 3),半径r =3 .设圆心01到3M3+4父3111直线3x+4y 11 =0的距离为d ,则d =- = 2 <3,如图，在圆心017327同侧，与直线3x+4y -11 =0平行且距离为1的直线11与圆有两个交点，这两个交

18、点符合题意.又rd =32=1 .，与直线3x+4y11 = 0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.，符合题意的点共有3个.解法二：符合题意的点是平行于直线3x + 4y -11 = 0 ,且与之距离为 1的直线和圆的交点.设所求直线为3x +4y + m = 0 ,则 d =m 11,3242=1,m+U=5,即 m=一6,或 m=_16,也即 l1:3x + 4y_6 = 0,或22l2：3x+4y16=0.设圆 Q:(x3) +(y3) =9的圆心到直线1i、l2的距离为d1、d2,门" 3x3+4x3-6贝 U d1 = 1-_,丁3242=3, d23x3+4x

19、3-16 13242，11与O1相切，与圆O1有一个公共点;l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点.即符合题意的点共3个.类型五：圆中的最值问题例14、圆x2 + y2 -4x -4y -10 = 0上的点到直线x十y 14 = 0的最大距离与最小距离的差是解：圆(x 2)2 +(y 2)2 =18 的圆心为(2, 2),半径 r =3后,10圆心到直线的距离 d5 2 r ,，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是(d r) -(d -r) = 2r =6.2 .例 15、(1)已知圆 O1：(x3)2 +(y 4)2 =1P(x , y)为圆。上的动点，求d = x2 +

20、y2的最大、最小值.值.(2)已知圆22y - 2O2：(x+2) +y =1 , P(x, y)为圆上任一点.求 -一的最大、最小值，求 x 2y的最大、最小 x 7分析：、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决.本题类比于2017年高考理科全国二卷12题，这类型题目的处理方法就是通过几何意义用线性规划的思路来处理，或者用圆的参数方程,分别把x,y表示出来，通过研究三角函数的最值研究。解：(1)圆上点到原点距离的最大值d1等于圆心到原点的距离 d1加上半径1,圆上点到原点距离的最小值于圆心到原点的距离d；减去半径1 .所以d1=%'32+42+1=6.d

21、2=。32 +42-1 = 4.所以 dmax =36 . dmin =16.(2)设YZnk ,则kx-y-k +2=0.由于P(x, y)是圆上点，当直 x -1线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值.2k k+21k2.口 3-3 y-233=1,得k =.所以的取大值为 ,4x -143-3最小彳1为34令x -2y =t ,同理两条切线在 x轴上的截距分别是最大、最小值.由 d2 - m.5=1 ,得m = -2 ±<5 .所以x-2y的最大值为-2 +v'5 ,最小值为2 J5 .例16、已知A(2,0), B(2,0),点P在圆(x3)

22、2+(y 4)2 =4上运动，则PA 2十| PB 2的最小值是_-22解：设 P(x, y),则 PA + PB =(x+2)CCCCCC22 +y2 +(x-2)2 +y2 =2(x2 +y2)+8 = 2OP +8.设圆心为 C(3,4),则 OPmin =OC r=52=3, |PA2 +PB2 的最小值为 2M32 +8 = 26.类型六：直线与圆的综合例17、在平面直角坐标系x0y中，经过点(0,3)且斜率为k的直线l与圆x2+ y2 =4有两个不同的交点P、Q。(1)求k的取值范围；(2)设A(2,0),B(0,1)若向量 OP+OQ与AB共线，求k的值。赠送以下资料英语万能作文

23、（模板型）Along with the advance of the society more and more problems are brought to our attention, one of which is that.随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是 As to whether it is a blessing or a curse, however, people take different attitudes.然而，对于此类问题，人们持不同的看法。（Hold different attitudes持不同的看；Come up with differen

24、t attitudes 有不同的看法）As society develops, people are attaching much importance to.随着社会的发展，人们开始关注People are attaching more and more importance to the interview during job hunting求职的过程中，人们慢慢意识到面试的重要性。As to whether it is worthwhile .,there is a long-running controversial debate. It is quite natural that

25、people from different backgrounds may have divergent attitudes towards it.关于是否值得的问题，一直以来争论不休。当然，不同的人对此可能持不同的观点。In the process of modern urban development, we often find ourselves in a dilemma.在都市的发展中，我们往往会陷入困境。Recently the phenomenon has aroused wide concern, some people are in alarm that.最近，这种现象引起了

26、人们的广泛关注，有人开始担心 OThe human race has entered a completely new stage in its history, with the increasingly rapid economic globalization and urbanization, more problems are brought to our attention.人类进入了一个历史的崭新的阶段，经济全球化、都市化的速度不断加快，随之 给我们带来了很多问题。plays such an important role that it undeniably becomes the

27、 biggest concern of the present world, there comes a question, is it a blessing or a curse?"显得非常重要而成为当今世界所关注的最大的问题，这是无可厚非的。不过，问题是："我们该如何抉择？"Now we are entering a new era, full of opportunities and challenges,现在我们正在进入一个充满机会和挑战的新时代。People from different backgrounds would put different i

28、nterpretations on the same case.不同行业的人对同一种问题的解释不尽相同。The controversial issue is often brought into public focus. People from different backgrounds hold different attitudes towards the issue.这中极具争议性的话题往往很受社会的关注。不同的人对此问题的看法也不尽相 同。When asked ., some people think.while some prefer.说到,有人认为,而另一些人则认为 。Just

29、as the saying goes: "so many people, so many minds". It is quite understandable that views on this issue vary from person to person.俗话说，""。不同的人对此有不同的看法是可以理解的。To this issue, different people come up with various attitudes.对于这个问题，不同的人持不同的观点。There is a good side and a bad side to ev

30、erything, it goes without saying that.万事万物都有其两面性，所以，勿庸置疑， When it comes to ，most people believe that ., but other people regard .as .提到问题，很多人认为 ,不过，一些人则认为 是.When faced with., quite a few people claim that ., but other people think as.提到问题，仅少数人认为 ,但另一些人则认为 。There is a public controversy nowadays over

31、 the issue of . There who criticize .argue that ., they believe that .,but people who favor ., on the other hand, argue that.目前，问题争议较大。批判 的人认为,他们认为,不过，另 一方面，赞同 的人则认为。Some people are of the opinion that.有些人认为 oMany people claim that.很多人认为。A majority of绝大多数A large number of 很多人Some people contend that

32、 . has proved to bring many advantages (disadvantages)有些人认为有很多有利之处(不利之处)。Those who argue for . say that .economic development of the cities.觉得 的人认为，城市的经济发展。Some people advocate that .有些人在坚持认为。They hold that .他们认为People, who advocate that ，have their sound reasons (grounds)坚持认为的人也有其说法(依据)。Those who h

33、ave already benefited from practicing it sing high praise of it.刃 B 些从中受益的人对此大家褒奖。Those who strongly approve of . have cogent reasons for it.强烈认同的人有很多原因。Many people would claim that. 有人会认为People who support . give some or all of the following reasons.那些支持观点的人列出了如下原因：。But others hold the view that .但

34、是，另外一些人则认为 。观点的用词：Attitude, opinion,与其搭配的动词以及词组：Take, have, come up with set forth, put forward 等。But on the other hand, there are also quite a few people who strongly advocate that.,.不过，另一方面，也有少部分人坚持认为 OBut people who are ., on the other hand , maintain that.不过，另一方面，的人认为。However, there are a large

35、number of people who hold a different view concerning this case.然而，很多人对此有不同的看法。问题用词：Issue, phenomenon 后接介词，on, over等。However, some others argue that.然而，另一些人贝U认为 。However, there are also some others who contend that.然而，也有人认为 oBut other people set forth completely totally different argument concerning

36、 this case.不过，对于此，另一些人则持完全不同的观点。Some people examine this issue from another angle.有的人用另一角度来看这一问题。On the other hand, there are also many opponents who strongly .另一方面，也有很多反对的人，他们认为 OAccording to my personality and fondness, I would prefer . rather than.根据我的个性以及兴趣，我选择 而不会选择?Personally, I side with the

37、latter (former) opinion.就我个人而言，我支持后者(前者)?Personally, I am in favor of the former point of view.就我个人而言，我较同意前一种看法。To my point of view 我认为To my mind, the advantages far overweigh the drawbacks(disadvantages, shortcomings)我认为，优点胜过缺点。For my part, I stand on side of the latter opinion that.就我而言，我较赞同后一种观点A

38、s far as I am concerned, I am inclined to be on the side of the latter view.在我看来，我较同意后一种观点。After a thorough consideration, for my part, I am in favor of the latter view that.经过深思熟虑，我较支持后一种看法，亦即 ?If asked to make a decision, I would prefer.如果真的需要作出选择，我宁愿 展现问题篇问题的常用词： question, problem, issueRecently,

39、 the issue ofhas been brought into public focus.近来，的问题引起了社会的广泛关注。Now we are entering a brand new era full of opportunities and innovations, and great changes have taken place in people ' s attitude towards some traditional practice.现在我们进入了一个充满机遇和创新的崭新时代，很多人对某些传统的看法也发 生了很大改变。Recently the issue of whether or not . has been in the limelight a