高中数学立体几何专题：空间距离的各种计算(含答案)

1、学习必备欢迎下载C例1题图例2题图高中数学立体几何空间距离1 .两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线,叫做这两条异面直线的公垂线;两条异面直线的公垂线在这两条异面 直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离 .2 .点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离 .3 .直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离 .4 .两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做 这两个平行

2、平面的距离题型一：两条异面直线间的距离【例1】如图，在空间四边形 ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a, E、F分别是AB、CD的中点.5 1)求证：EF是AB和CD的公垂线；6 2)求AB和CD间的距离；【规范解答】(1)证明：连结AF, BF,由已知可得 AF=BF.又因为 AE=BE,所以FELAB交AB于E.同理EFLDC交DC于点F.所以EF是AB和CD的公垂线.31(2)在 RtBEF 中，BF=a,BE = a, 22所以 EF2=BF2-BE2=-a2,即 EF= a.22 -2由(1)知EF是AB、CD的公垂线段，所以 AB和CD间的距离为 a 2-【例2】 如

3、图，正四面体ABCD的棱长为1,求异面直线 AB、CD之间的距离.设AB中点为E,连CE、ED. AC=BC,AE=EB.CD LAB.同理 DE ± AB.AB，平面 CED.设CD的中点为F,连EF,则ABXEF.同理可证 CDEF.，EF是异面直线 AB、CD的距离.AB、CD的距离是2【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法:(1)利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度(2)如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离(3)如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离题型二：两条异面直线

4、间的距离【例3】如图，正四面体ABCD的棱长为1,求：A到平面BCD的距离;过A作AO,平面BCD于。，连BO并延长与 CD相交于E,连AE. AB=AC=AD, .1. OB=OC=OD. O BCD 的外心.又 BD = BC = CD,O 是 ABCD 的中心，BO=- BE=- x3 =3332322 由 屈例3居又 AB=1,且/ AOB=90。，AO=Jab2 BO2 =Jl =.，A 到平面 BCD 的距离是.3 J 335【例 4】在梯形 ABCD 中,AD/ BC,/ABC=_,AB=a,AD=3a 且 sin/ADC =，又 PAL平面 ABCD,PA=a,求：(1)二面角

5、P-CD-A的大小；(2)点A到平面PBC的距离.【规范解答】(1)作AF LDC于F,连结PF, AP，平面 ABCD,AF±DC,.1. PFXDC, / PFA就是二面角 P-CD-A的平面角.在 4ADF 中，/AFD=90，/ ADF =arcsin ,AD=3a,. . AF = -3a ,5,5在 RtA PAF 中 tan/ PFA= -PA =a =立，. . / PFA=arc tan 亘. AF 3a 33(2)FA，平面 ABCD,. PAX BCX BC± AB, . BC,平面 FAB,作 AHPB,则 BC，AH,.AH，平面 PBC, / F

6、A±AB,PA=AB=a,1 -PB= J2 a,. . AH= a2【例5】如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面 AEC1F所截面而得到的，其中 AB=4 ,BC=2 , CCi=3, BE=1. (I)求 BF的长；(n)求点 C到平面 AECiF的距离.解法 1: ( I )过 E 作 EH/BC 交 CC1 于 H,贝U CH=BE=1 , EH/AD ,且 EH=AD. AF / ECi, FAD=ZC1EH. /. RtAADF RtA EHC1.DF=C1H=2. . BF = BD2 DF2 =2 6.(n )延长CE与CB交于G ,连AG ,则平面AE

7、C1F与平面ABCD相交于AG.过C作CM LAG ,垂足为M,连CM,由三垂线定理可知 AG，CM.由于AG,面C1MC, 且AG U面AECF,所以平面 AECF，面CMC.在RtAC1CM中，作CQXMC1,垂足为Q,则CQ的长即为C到面AECF的距离. 由里 =BG可得，BG =1,从而AG =JAB2 +BG2 =4'万.4 = 12-17. 17CC1 CG由/GAB=/MCG 知,CM =3cosMCG =3cosGAB = 3MCQCM CC1一 MC1123 174 3311解法2: (I)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2, 0, 0), C (0, 4, 0

8、), E (2, 4, 1), C1 (。, AEC1F为平行四边形，D (0, 0, 0), B (2, 4, 0),4, 3).设 F (0, 0, z).学习必备欢迎下载二由AEC1F为平行四边形,，由 AF =EC彳#,(-2,0, z) =(2,0,2), .z=2. F (0,0,2). EF =(-2,乂,2).于是|而|=246,即85的长为2，台.(II)设R为面AECiF的法向量，显然不垂直于平面ADF,故可设m=(x, y,1)由 BA!%，n1 AF =0,'0Mx+4My+1=0y 即-2xx+0xy+2=0Zy +1=0,2x+2 = 0,x = 1,1又C

9、C1 =(0,0,3)，设CC'与n1的夹角为a,则cost ='CICCJInil4 334 33.C 到平面 AECf 的距离为 d =|CC1 |cosa =3=331144.3333V D1 3EC【例6】正三棱柱ABC AB£的底面边长为8,对角线B1C=10, D是AC的中点。(1)求点B1到直线AC的距离.(2)求直线AB1到平面C1 BD的距离.解：(1)连结BD, B1D,由三垂线 定理可得：B1D_LAC,所以BD就是B1点到直线AC的距离。在 R3B1BD 中 BB1 =«B1c1131 二S AEC DDi S adiC h, - 1

10、 二 h, h 二. 3223 -BC2 = V102 -82 =6, BD = 4« .:,B1D =JBD2 +B1B2 =2v21 .(2)因为AC与平面BDC1交于AC的中点D,设 BCCBC1=E,则 AB1DE,所以 AB1平面 CBD,所以AB1到平面BDC1的距离等于A点到平面 BDC1的距离，等于C点到平面 BDC1的距离，也就等于三棱锥 CBDC1的高，v Vc-BDC1 -VC1 -BDC ,1213131112 13八、一-二hS'dc = S倬dc CC1,二h =,即直线 AB1到平面BD C1的距离是31313,【解后归纳】求空间距离注意三点：1

11、 .常规遵循一作二证三计算的步骤；2 .多用转化的思想求线面和面面距离;3 .体积法是一种很好的求空间距离的方法.【范例4如图，在长方体 AC1中，AD=AA 1=1, AB=2，点E在菱AB上移动.(1)证明：D1EXA1D；(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；n(3) AE等于何值时，二面角 D1-EC-D的大小为-.解析：法1(1) AE，面 AA1DD1, A1DXAD 1, A1DXD1E(2)设点E到面ACD1的距离为h,在4ACD1中，AC=CD1 = J5,一113.11故 S必D1c = _ 72、；5 -一 = 一，而S&CE =- AE BC =一

12、 .22 222学习必备欢迎下载(3)过 D 作 DHLCE 于 H,连 DiH、DE,则 DiHCE,DHDi为二面角DiECD的平面角.设 AE=x,贝U BE=2 x在 RtAD1DH 中,'：/DHD 1 =四，二 DH =1.4'：在 Rt AADE 中，DE = J1 +x2,二在RtADHE 中,EH = x,在 RtADHC 中 CH = <3,在 RtACBE 中 CE = Jx2 -4x +5.x . 3 = x2 - 4x 5 = x = 2 -、, 3.,AE = 2 J3时,二面角 D1 - EC -D的大小为 .4法2:以D为坐标原点，直线 D

13、A、DC、DDi分别为x、V、z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x,则 Ai(l, 0,1), Di(0, 0, 1), E(1, x, 0), A(1, 0, 0), C(0, 2, 0).(1)因为 DAi,DiE =(1,0,1),(1,x,-1)=0，所以 DAi _LDiE.(2)因为E为AB的中点，则E (1, 1, 0),从而 D1E =(1,1,1), AC =(1,2,0) , AD1 =(-1,0,1), 设平面ACD1的法向量为n = (a,b,c),则n Ac =0, 也即3n AD1=0,_a+2b=0 /曰,得一 a +c = 0a =2b a = cizD1B1A

14、1DBc y从而n = (2,1,2),所以点E到平面AD 1C的距离为h = 1 D1E 'n| = 2+1 2 =-|n|33(3)设平面D1EC的法向量n=(a,b,c), CE =(1,x -2,0), D1C =(0,2,1),DD： =(0,0,1),令 b=1,c=2, a=2 x,n D1C =0,_ 2b -c = 0 nCE=0, = a+b(x-2)=0. n = (2x,1,2).依题意二 | n DD1 |cos 一 二4 |n|DD1|.2 一 2 一2 二.(x-2)2 52 . x = 2 + 33 (不合，舍去)，x2 = 2 AE= 2 33 时，面

15、角 D1一EC D 的大小为 .对应训练分阶提升、基础夯实1.把边长为a的正 ABC沿高线AD折成60°的二面角,则点 A到BC的距离是A. a.6B.a2_ . 3C. a3'15 D.a42/ABC 中，AB=9, AC=15, / BAC=120那么点P到平面”的距离为（）.ABC所在平面外一点 P到三个顶点A、B、）C的距离都是14,A.7B.9C.11D.133.从平面a外一点P向a引两条斜线 别是2cm和12cm，则P到a的距离是PA,PB.A,B为斜足，它们与a所成角的差是45° ,它们在a内的射影长分A.4cmB.3cm 或 4cm()C.6cmD.

16、4cm 或 6cm4.空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a,动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上,则P与Q的最短距离为 （）学习必备欢迎下载1A. 一 a25 .在四面体、.2B.a2PABC 中，FA、C.3aD.a2PB、PC两两垂直.M是面ABC内一点，且点M到三个面 PAB、PBC、PCA的距离分别为2、3、6,则点M到顶点P的距离是A.76 .如图,)3A. - a4B.8C.9将锐角为60。，边长为B.34D.10a的菱形ABCD沿较短的对角线折成 60的二面角，则AC与BD的距离是C 3aC.a2,6D. a44D第7题图占八、7 .如图, B到平面第6题图四棱

17、锥P-ABCD的底面为正方形,PAC的距离为d2,则有 (PD，底面 ABCD, PD=AD= 1设点C到平面PAB的距离为d1,A.1< d1<d2 C.d1<1<d28 .如图所示,在平面B.d1<d2<1D.d2<d1<1 a的同侧有三点a、 b、c、d,那么a+b+c等于 (A、)B、C, ABC的重心为 G.如果A、B、C、G到平面”的距离分别A.2dB.3dC.4dD.以上都不对9.如图AEEB是AH HD (Cn第8题图 ITEBI,H第9题图G D菱形ABCD边长为a,/A=60° , E、F、G、H分别是AB、BC、C

18、D、DA上的点且叱=CG=2, FB DG沿EH和FG把菱形的两锐角折起，使A、C重合，这时点 A到平面EFGH的距离A. a2 二、思维激活10.二面角2B. a2C*a215D.a6a -MN-3等于60° ,平面a内一点A到平面3的距离AB的长为4,则点B到a的距离为11.在 60°的二面角a l 3中，A a,AC±l 于 C, B 3 , BDl 于 D,又 AC=BD=a,CD=/2 a,贝U A、B两点间距离为12 .设平面a外两点A和B到平面a的距离分别为 4cm和1cm, AB与平面a所成的角是60° ,则线段 AB 的长是.13 .在

19、直角坐标系中，已知A(3,2),B(-3,-2)沿y轴把直角坐标系折成平面角为a的二面角 A OyB后,/AOB=90° ,贝U cos a 的值是、能力提高学习必备欢迎下载14 .在边长为a的菱形ABCD中，/ ABC=60° , PC，平面ABCD , E是PA的中点，求点 E到平 面PBC的距离.15 .在直三棱柱 ABC AiBiCi中，/ACB为直角，侧面ABi与侧面ACi所成的二面角为 60° , M为AA上的 点./AMCi=30° , / BMCi=90° , AB=a.(i)求BM与侧面ACi所成角的正切值.A第15题图(2)

20、求顶点A到面BMCi的距离.16 .已知斜三棱柱 ABC AiBiCi的侧面 AiACCi与底面 ABC垂直./ ABC=90 ° ,BC=2,AC=2奔，且AAJAiC,AAi=AiC.(i)求侧棱AiA与底面ABC所成角的大小；(2)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小 (3)求顶点C到侧面AiABBi的距离.17 .如图，在棱长为a的正方体ABCDAiBiCiDi中，E、F分别为棱AB与BC的中点，EF与BD交于H.(1)求二面角B1 EF B的大小.(2)试在棱BiB上找一点M,使DiML面EFBi,并证明你的结论.求点Di到面EFBi的距离.第17题图学习必备欢迎

21、下载空间的距离习题解答1.D折后BC=a,.点A到BC的距离为Ja2 色=55a . 2；442.A BC= 92 152 -2 9 15cos120' =21.ABC外接圆半径 R=一21=7后 2sin120' 点P到”的距离为 142 二（7一3）2 一 =7.3.D 设 PO垂足为 O,|PO|=xcm ,/ OAP= 3 ,/ OBP= 丫 ,那么 3 -丫 =45tan 3 = - ,tan y = ,tan （ 3 - 丫 尸tan 45 °展开左边并整理得：x2-10x+24=0，解得xi=6,X2=4.4.BP、Q的最短距离即为异面直线 AB与CD间

22、的距离，当P为AB的中点，Q为CD的中点时符合题意.5.A PM=、223262 =7.6.C7.D取BD的中点。连AO、点C到平面PAB的距离OC,作 OELAC 于 E,则 OE 为所求，AO=CO=AC =dT, 2121 3点B到平面PAC的距离d2= -=2=,1312<1，.二 d2<d1<1.d b cb c d 218.B |MM |=，又.，a+b+c=3d.2b c 3a 29.A 设BD的中点为O,.EO= Jia I /a1 2乂父旦8$600=卫亘，点A到平面EFGH的距离为Ja2旦=旦 ；323 26936210.2 作 ACXMN 于 C,连 B

23、C,则 BCXMN , ，/ACB=60° ,又 MNL平面 ABC,平面 ABC,平面a ,作BDXAC于D ,贝U BD，a ,BD的长即为所求，得 BD=2.11. 3a AB= a2 a2 (. 2a)2 2 a a cos60 = . 3a.12.2 J3 cm 或 I。“、cm33-当点A、B在a同侧时，AB = 3一=2'/3；sin 60当点A、B在a异侧时，AB = 一5一 ="史. sin60 313. 4 如图 AB" = VOA2 +OB2 =V2(22 +32) =V26BC，y 轴,B' C，y 轴,B' CB为

24、二面角 AOyB的平面角./B' CB =a，在 AB' CB 中，B' C=B C=3,第14题图解B' B =426 42 =4而，由余弦定理易知 cosa =-. 914.如图，将点E到平面PBC的距离转化成线面距，再转化成点面距连 AC、BD,设 AC、BD 交于 O,贝U EO/平面 PBC,OE上任一点到平面 PBC的距离相等.平面 PBCL平面 ABCD,过。作OG，平面PBC ,则G C BC,又/ ACB=60 ° , AC=BC=AB=a ,OC= ,OG=OC sin60 =-.点评：若直接过E作平面PBC的垂线，垂足难以确定.在

25、解答求距离时，要注意距离之间的相互转化有的 能起到意想不到的效果.15.(1)，.,三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，/ BAC为二面角B1一AA一C1的平面角, ，/BAC=60° .又一/ ACB为直角，BCL侧面 AC1.连MC,则MC是MB在侧面AC1上的射影.丁./ BMC为BM与侧面ACi所成的角.且/CMCi=90° , /AiMCi=30° ,所以/ AMC =60° .设 BC=m，贝U AC=3m, MC=2m33所以 tan/ BMC = 32即BM与侧面ACi所成的角的正切值为 -.2(2)过A作ANXMC,垂足为 N,则 A

26、N/面 MBCi. 面 MBCL面 MBC1,且过 N作NHLMB,垂足为 H, 则NH是N到面MBCi的距离，也就是 A到面MBCi的距离. . AB=a,AC=a,且/ACN=30° , 2AN= a 且 Z AMN=60° ,MN=3a412 .NH = MNsin/BMC=aX 要 a (本题还可用等积法).16.如图所示，作AiDAC,垂足为D,由面AiACCi上面ABC,得AiD上面ABC1 / AiAD为AiA与面ABC所成的角AAi±AiC,AAi=AiCAiAD=45° 为所求.(2)作DE LAB垂足为 E,连AiE,则由AiDL面

27、ABC,得A0 AB, / AiED是面AiABBi与面ABC所成二面角的平面角.由已知 AB± BC得DE / BC,又D是AC的中点，BC=2,AC=2居 . DE=i,AD=AiD= J3,tan/AiED= AD =73，故/ AiED=60° 为所求.DE(3 )连结AiB,根据定义，点C到面AiABBi的距离，即为三棱锥 C-AiAB的高h.由 vc-aiab=Vai-abc 得-Saaaibh= SAabc . Ai D33ii一 一即一父2”5 h=一父242父73,.二寸3为所求.33第i7题图解i7.(i)如图连结 BiDi, AC, BiH,.底面为正

28、方形 ABCD,，对角线ACXBD.又 E、F分别为AB、BC的中点EF /AC. . EFXBD.又.棱 BiB,底面 ABCD , EF*面 ABCD,EFXBiB.又 BiBABD = B,BBi三面 BBiDiD, BD三面 BBiDiD.EFIM BBiDiD.而 BiH面 BBiDiD, BH 旦面BBiDiD, .EFBiH, EFXBH.，/BiHB为二面角Bi EFB的平面角.2在 RtBiBH 中，BiB=a,BH= a ,BiB . tan / BiHB=2V2 .BH/ BiHB=arctan2 一 2 .，二面角 BiEF B 的大小为 arctan2V2 .(2)在

29、BiB上取中点 M,连DiM,则 DiM,面 EFBi.连结 CiM. EF 上面 BBiDiD, DiM面 BBiDiD.DiM± EF.又 DiC面 BiBCCi.，CiM为DiM在面BiBCCi内的射影.在正方形BiBCCi中，M、F分别为BiB和BC的中点，由平面几何知识 BiF X Ci M.于是，由三垂线定理可知BiF ±DiM,而 BiF鼻面 EFBi, EF后面 EFBi, EFnBF = F, DiMXM EFBi.设DiM与面EFBi交于N点，则DiN为点D到面EFBi的距离，. BiN鼻面 EFBi,DiM，面 EFBi,学习必备欢迎下载BiNXDiM

30、.在 RUMBiDi 中,由射影定理 DiBi2=DiN D1M,223而 DiBi= 22 a,DiM= 'B1 D1 +B1M =a ,DiN=DiB2DIM4a a.3即点Di到面EFBi的距离为4a.3高中数学立体几何空间距离的计算（学生版）1 .两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线,叫做这两条异面直线的公垂线;两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离 .2 .点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离 .3 .直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距

31、离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离 .4 .两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一：两条异面直线间的距离【例1】 如图，在空间四边形 ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a, E、F分别是AB、CD的中点.（1）求证：EF是AB和CD的公垂线；（2）求AB和CD间的距离；【例2】如图，正四面体ABCD的棱长为1,求异面直线 AB、CD之间的距离.行 由用例1题图【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法：(1)利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，

32、求出公垂线段的长度(2)如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离 (3)如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离例3题图题型二：两条异面直线间的距离【例7】如图，正四面体ABCD的棱长为1,求：A到平面BCD的距离;5【例 8】在梯形 ABCD 中,AD/ BC,/ABC=5，AB=a,AD=3a 且 sinZ ADC = - ,X PAL平面 ABCD,PA=a,求：(1)二面角P-CD-A的大小；(2)点A到平面PBC的距离.【例9】如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面 AECiF所截面而得到的，其中

33、AB=4 ,BC=2 , CCi=3, BE=1. (I)求 BF的长；(n)求点 C到平面 AECiF的距离.D是AC的中点。【例10正三棱柱ABC AB1cl的底面边长为8,对角线B1c =10,(1)求点B1到直线AC的距离.(2)求直线AB1到平面C1BD的距离.【解后归纳】求空间距离注意三点：1 .常规遵循一作二证三计算的步骤；2.多用转化的思想求线面和面面距离;3.体积法是一种很好的求空间距离的方法.【例11 如图，在长方体 AC1中，AD=AA尸1 , AB=2，点E在AB上移动.(1)证明：D1EXA1D; (2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；(3) AE等于何

34、值时，二面角D1-EC-D的大小为(.对应训练 分阶提升一、基础夯实1.把边长为a的正 ABC沿高线AD折成60°的二面角，则点 A到BC的距离是A. aB2C 3c. a32/ABC 中，AB=9, AC=15, / BAC=120c ,15D.a4.ABC所在平面外一点 P到三个顶点A、B、C的距离都是14,那么点P到平面a的距离为A.7B.9C.11()D.133.从平面a外一点P向a引两条斜线 别是2cm和12cm，则P到a的距离是PA,PB.A,B为斜足，它们与a所成角的差是45° ,它们在a内的射影长分A.4cmB.3cm 或 4cm()C.6cmD.4cm 或 6cm4.空间四点A、B、C、D中,则P与Q的最短距离为每两点所连线段的长都等于a,动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上,)1A. - a25.在四面体c 2B.a2PABC 中，FA、D.aPB、PC两两垂直.M是面ABC内一点，且点 M到三个面PAB、PBC、PCA的距离分别为2、3、6,则点M到顶点P的距离是A.76.如图,()八3A. - a4B.8C.9将锐角为60。，边长为.3B.a4D.10a的菱形ABCD沿较短的对角线折成 60°的二面角，则AC与BD的距离是, 6D. a4DPD，底面 ABCD