振动理论基础及激励源分析

1、1第三章振动理论基础及激励源分析3.1振动系统的基本元件工程实际中，无论是动力机械或其他机器和结构，都是由各部分之间可作相对运动的质 最组成的。从振动分析的观点看，即使是一台很简单的机器或结构，也是由无限多个质点组 成的。这些质点Z间既有弹性，也有阻尼。因而，任何实际系统的质量、弹性和阻尼都是连 续分布的。用质点动力学的方法作系统分析时，必须用无穷多个微分方程來表示，这就很难 获得解析解，更无法通过解析解讨论其物理意义。即使在电子计算机高度发展并得到广泛应 用的今天，要采用数值解研究无穷多自由度系统的振动特性也是不可能的。所以，在分析机 器或结构的振动待性时，必须抓住主要因素，略去一些次婆冈素

2、，把实际系统简化和抽象成 离散的力学模型，这足振动分析的第-步。当然，简化的程度取决丁系统本身的复杂程度、 外界对它的作用形式和分析结果的精度要求等。简化后力学模型的动力特性必须与原系统等 效。简化后系统理论分析的结果还要经过试验验证。把实际系统简化成离散化模型时，可以把系统的质量、弹性和阻尼恰当地集屮。例如， 机器中弹性较小而质量较人的构件可以简化成不计弹性的集中质量，质量较小而弹性较人的 构件町以简化成不计质饋的弹簧，构件之间阻尼较大的部分用不计质量和弹件的阻尼器表 示。某些质量、弹性和阻尼没有明显差别的构件，也町以通过简化前后系统动能、势能和能 晟消庇不变的原则简化。更般地,也町人为地把

3、构件划分成若干单儿.把单兀的质眾凝聚 在某一位員作为集中质量，而把单元的总弹性和总阻尼作为无质量的弹性元件和阻尼元件与 集中质最连接，从而把一个无穷多自由度的系统简化成有限个自由度的系统。例图3-1 (a)是通过弹性支承安装的柴油发电机组，只讨论机组对地面产生的动 压力时，可以把整个机组的质量集中在机组的重心处，机组作为一个集中质量，弹性支承的 质量9机组相比小得多，町以简化成并联的弹簧和阻尼器。这样，机组就能简化成如图(b)所示的只作垂直方向振动的单自由度振动系统。图1弹性安装的柴油发电机组例J2图3-2 (a)中，一台柴油机弹性地安装在非刚性的基础上，分析系统在铅垂方 向振动时，由于柴油机

4、与弹性支承相比，前者的质量比后者人得多，而后者的弹性比前者人 得多，因此把柴油机作为一个集中质量，把弹性支承作为并联的弹性元件和阻尼元件。非刚 性基础既有质最又有弹性和阻尼，为了处理方便，工程上常常把基础的质最集中于质心处作 为集中质量，它的弹性和阻尼作为并联的弹簧和阻尼器。这样，柴油机非刚性基础系统 就简化成如图3-2 (b)所示的二自由度系统。非刚性棊础系统6 m.g2 m27/(b)振动系统离散化的力学模型由质量元件、弹性元件和阻尼元件组成，它们是理想化的元 件。3 1.1.质量或惯性元件图A3质戢元件=m x(3-1)质量或惯性元件在振动系统的力学模型中抽彖成无弹性、不耗 能的刚体，当

5、其速度改变时会导致动能的增加或减少，它是储存动 能的元件，如图33所示。若对质量元件施加一个作用力它会 获得与力尸皿方向相同的加速度壬，根据牛顿第二定律，作用在质量元件上的力和加速度之 间的关系为#式中m是元件的质量，它是元件惯性的度量。式中力、质量和加速度的单位分别为N、kg 和 m/s2o对于角振动系统，质量元件的惯性用它绕转动轴的转动惯量J来描述，作用在元件上的力矩几与元件的角加速度方之间的关系与式(31)类似，即(3-2)力矩、转动惯量和角加速度的单位分别为Nm、kgm?和rad/sS(3-3)力对物体所做的功使得物体具有动能，人小等干力与沿力方向的位移的乘积。对于平 动.功和力、位移

6、之间的关系为W = Fmx对于角振动系统.功和力矩、转角之间的关系为W =(3-4)通常情况卞，不同的研究目标，对一个实际的振动系统建立其力学模型也有所不同， 一般应根据研究目标选择合适的力学模型。一旦确定其研究模型，其系统的质量或惯性元件 就很容易识别。例如肖讨论图34a所示的端部有一质帛:块的悬臂梁时，端部质呈块相比， 梁的质呈町以忽略不计，此时系统的简化结采如图34b,这时，端部的质屋是质呈单尤， 弹簧反映梁的弹性。再考左如图3-5a所示一多层建筑在水平地震波作用卜的例子，与楼板 相比.框架的质量町以忽略不计.整个建筑物可以简化成图35b.每层楼板的质最用不同#的质量元件来表示，竖直方向

7、结构件的弹性用不同的弹簧单元来表示。图34端部带集中质量的悬臂梁（a）实际系统；（b）单自由度力学模型11110Q8Q8QOQ6OQQQQQ888O9N111Ml1叫x2(b)图3芍多层建筑（a）实际系统：（b）多自由度系统力学模型3#在大多数实际问题中，其质量单元并不是一个简单的质量块，如图3-4所示的悬臂梁结 构，如果梁的质崑相対于集中质最块不是小最，须将梁的分布质最和集中质量块简化为一个 等效质量的单质量系统。将具有多个集中质量或分布质量的系统简化为具有一个等效质屋 （或惯量）的单质量（惯量）系统时，求等效质量（或惯量）的方法是使等效前后系统的动 能相等。1. 几个运动属性相同的质量块由

8、一个刚性杆连在一起如图3-6所示的系统中，质量可忽略的刚性杆AOE能绕O点转动，A、B两端的质 最分别为i耳和叫 端有一刚度为k的弹赞支承。刚性杆AO和B0部分的长度分别为1和图A6弹簧一杠杆一质虽:系统#21 o uf任意假设等效质窝在杆中的位置.为简化起见.假设等效质量在处。对于杆只启较小角位移的情况厂1%在垂直方向的速度町以用叫的速度表示，即另外(3-6)这两个质最块的动能T为1 i A* 11T =严斗+ -n斤21J = -（n + 4巩庆=亍叫战利用式（3-6）和式（37）可得(3-8)2. 平动质量和转动质耦合系统如图3-7所示系统中，假设AOB 是质量为m3的均质、刚性细直角杆

9、， 它能绕0轴在水平面中作定轴转动， 杆的A端和B端分别通过校链和质® 町忽略的刚性杆与质量元件U和M 相连，系统的其他参数和几何尺寸如 图。该系统的等效质鼠既町以用一个 等效的平动质量来代替，也町以用一 个等效的转动惯量來代替。1）等效平动质量若设g的位移为X】，m?的位移 为x?, 绕0点作定轴转动时的转 角为0,它们的坐标原点在系统处于 静平衡时的位置，方向如图3-7所示。 则 X = 0 a , X? = 2 0 a。整个系统的动能，也就是质量叫、 m：和杆的动能为22 * -2 332 33(3-9)(3-15)#(3-15)#假设 ,且£ = 03 , x2 =

10、 2 a ,则其等效质屋为2）等效转动惯最假设 & =0,且玄=0| , ±2=2 0 8 » 则其等效转动惯量(3-12)(3-13)(3-15)5(3-15)#例3-3图38所示凸轮从动杆机构利用一个轴的旋转运动实现阀的往复运动。从动杆系统 由质量为1%的推杆、质量和绕质心转动惯量分别为叫、J的摇臂、质量为I几的阀门和不 计质量的阀门弹簧组成。求该机构在位豐A点和C点的等效质量。解：该结构的等效质量町以根据等效系统质量的动能与原系统的动能來确定。当推杆 有一个竖向位移X时，摇臂转过的角度为，阀杆的向卜位移为瓦= qi2 = xiii，摇臂重心的向下位移为13 =

11、 Xl/l, O系统的动能为T = +叫痔+ £叫吃+ 同+ +叫£（1）如果假设等效质最的位置在A点，则其速度为=动能表达式为FJ1 1 2Tq =叫q%q(3-15)#令T与I；q相等，并注总到卜列关系:心=立九=y/h *，沢=b/h xt 4 =(3-16)(3-23)#(3-23)#jJ2 J2(3-17)叫q=叫+ +叫尹珥扌（2）类似地，如果假设等效质量的位豐在。点，其速度为 =毛，其动能表达式为(3-18)(3-23)#(3-23)#令式（3-14）与式（3J8）相等,得jp p叫二叫 +古+叫廿叫吉(3-19)3. 弹性元件弹性元件在振动系统力学模型中抽彖

12、成无质量而貝有 线性弹性的元件.它是储存势能的元件.如图39所示。当弹性元件的-端固定，而另-端受到力FJ乍用时，这-端图A9弹性元件点沿作用力的方向有位移X 弹性元件受的力与位移之间有 如卜'关系F5=kx(3-20)式中k为弹性元件的刚度，单位是N/m。对角振动系统.弹性元件的刚度为扭转刚度人单位是Nm/rad.作用在弹性元件端点的扭矩T,与转角8之间的关系与式（3-20）相似，即T严k.(3-21)式（3-20）中，X也就是弹簧的变形等于弹簧两端的相对位移。根据式（3-20）,如果 用图像来描述弹簧力F和弹簧变形x ZfuJ的关系，将得到一条直线。使弹簧变形的力所做 的功以变性能

13、或势能的形式存储下來，其表达式为U = lkx2实际的弹簧往往是非线性的，但一般来说在某一变形范围内仍满足式（3二0）。超过某 一变形值后（图310中的A点），应力超过材料的屈服极限，力和变形之间的关系就星非 线性了。在许多应用中，人们都假定弹簧只发生较小的变形，因而町以利用式（320）。即 使力和变形之间是如图3-11所示的卄线性关系，人们也经常用线性关系近似。为了说明如 何线性化，令F表示使弹簧处于静平衡时的外力，x表示相应的变形。如果使力F有一个 增量AF,相应的变形增量记为Ax。对F + AF在静平衡点才处作泰勒级数展开，即(3-23)#StressForce (F)比例极限后的非线性

14、图DDeformation (x)图All非线性弹性的线性化过程对于较小的变形增量高阶导数项可以忽略不计，所以由式（323）得 F+AF = F（x，） +更业£注总到弹®F = F（x） , M可以写成如下的形式：ZSF - kZSx(&)(3-24)(3-25)显然，等效线性弹簧常数为"毛.为了简单，可以利用式（325）,但有时由于这种近似带來的谋差可能比较人。像梁这样的弹性元件其作用也相当于弹簧。例如，如图3-4所示端部有集中质最m的 悬臂梁，为了简单，町以假设梁的质呈柑对于集中质最m町以忽略不计。根据材料力学的 结果，梁在自由端的静变形为(3-26

15、)式中，V=mg是质量块的重量：E是杨氏模量；I是梁横截面的惯性矩。所以梁的弹 簧常数是(3-27)7StressForce (F)(3-27)#StressForce (F)类似的，也町以得到其他不同边界梁的弹簧常数。(3-27)#在许女实际的应用中，经常遇到儿个线性弹簧同时使用的情况。这些弹簧町以用一个等效弹 簧來代替，下面给出详细的讨论。1。并联弹簧为了推到并联弹赞的等效刚度，考虑图312 (a)所示的两个弹簧并联的情况。设在某个载荷W的作用下，系统产生静变形d“，如图3-12 (b)所示。此时系统的受力如图3-12(c)所示，此时的静力平衡关系为W=t名+ k心(3-28)如果等效弹簧

16、的刚度用匕表示，则此时的静力平衡关系为Wm/%(3-29)由式(3-28)和式(3-29)得匕 % + 1勺(3-30)不难看出，如果是11个弹簧刚度分别为匕环K的弹簧并联的情况，等效刚度为+ + +£(3-31)图3-12并联弹费2。串联弹簧(3-32)(3-33)为了推导串联弹簧的等效刚度，考虑如图313 (a)所示的两个弹簧串联的情况。设在 載荷W的作用卜，两个弹簧的伸长量分别为§和如图3-13 (b)所示。显然两个弹簧静 变形的总量为名 4 +坊由于两个弹簧承受的载荷均为W,故可得如图313 (c)所示的平衡关系W = KA1w.kJ等效弹簧的刚度还是用匕表示，则对

17、于同样的静变形，有如卜静力平衡关系：W= k,/,(3-34)由式(3-33)和式(3-34)得(3-35)把式(3-35)中的4和带入到式(3-36) uf得对丁多个弹簧串联的情况，仃(3-36)(3-37),K«22k!«11IVW 2(c)图A13串联弹賞在某些应用中，弹赞会与诸如滑轮、杠杆、齿轮等刚体连接。此时.等效弹赞刚度可以 利用能量等效的原则确定，见例1-5。例34图3-14所示为货运卡车的悬挂系统，其中包含3个并联的弹簧。如果螺旋弹賞 材料的剪切弹性模量为G-80xl09N/m2,有效圈数为5,簧圈的平均直径为D-20aii,簧线 直径为d2an,求悬挂系统

18、的等效刚度。图3J4货运卡车的悬挂系统解：毎一个弹簧的刚度为k=- = 4xl04(N/m)此公式可以从一般的机械设计手册或材料力学教材中查到。rh于3个相同弹簧 是并联关系，所以等效弹费刚度为：k -3k- 3x4x10* - 1.2xlON/m)例3-5#解：需要把轴的两段按串联弹赞考虑。根据图3-15,轴的任意截面所承受的扭矩都是 等于作用在推进器匕的外力矩T,所以这两段的弹性可以看成是串联关系。两段的刚度分别 为：G欢觅-励3儿25 5255xlO<(N.m/rad)GJ“ G>r(D：s-d；J由于这两个弹簧式串联关系，由式(336)得匕=上_= 6 5997xlO

19、9;(Nm/rad)k + k?例3-6如图3-16 (a)所示，卷扬机的卷筒固定在f梁的端部，其上绕着钢丝绳。求 悬垂钢丝绳的长度为1时系统的等效刚度。假设钢丝绳净横截而的II径为d,梁和钢丝绳材 料的杨氏模量为E。图3J6卷扬机卷筒解:梁的弹簧刚度为F(nal，)Eat1(E 1)承受轴向载荷的钢线绳的弹赞刚度为(E2)如图316 (b)所示，由于钢丝绳和悬臂梁承受同样的载荷，所以可把它们看成是串联 的弹赞，如图316 (c)所示。故它们的等效弹簧刚度为1114b)41K；=k；+K = E + 7dyE或(E3)E( <at3d2例37图317 (a)是一起重机的示意图。吊臂AB是

20、等截面的钢杆，长度为10m,横 截而的面积为2500mrf o起吊重物W并处于静止状态，钢拉索CDEBF横截面的而积为 lOOnn? o求该系统在竖直方向的等效弹簧刚度。11(a)(b)图3-17起重机解：利用实际系统与等效系统的势能相等求等效弹簧刚度。起觅机的底座可以看成是刚 性的，并认为吊臂和拉索分别固定在A点和F点。忽略CDEB段钢索的影响，认为朿物W 通过B作用于系统，如图3-17 （b）所示。与点B在竖直方向的位移X对应，弹簧2 （用臂）和弹簧1 （拉索）产生的变形分别为 马-xcos45', - xco<90 - 6）。拉索FB的长度斤满足1/ = 32 + 10j-

21、2x3x10cos135 = 151 426由此得k 12 3055m角度8满足如下关系：1/ + 32 - 2xl1 x3cos= 103由此得8S& 0.8184, & 35.0736根据式（312）,刚度为人和耐的两个弹簧所存储的全部势能为U = ；k（xcos45 ）2 +乂cos（90 - 0）2（E 1 ） 式中1 6822xlO<(N/m)5.1750 xlON/m)#由于竖直方向的等效弹赞产生的变形为x.故等效弹簧的势能为(E2)令J =得系统的等效弹簧刚度为= 26 4304xl0<(N/ni)在许多实际系统中，振动系统的能最会逐渐转化为热能或噪声

22、。由于能呈的减少，响应 （例如系统的位移）会逐渐的减弱。使振动系统的能量逐渐变为热能或噪声的机理用系统的 阻尼來描述。尽管转换成的热能或噪声相对來说比较小的，但考虑阻尼的影响对准确预测系 统的振动响应也是非常的碗要的。一般是假设阻尼器既没有质最也没有弹性，并且阻尼力只 存在阻尼器的两端有相对速度的情形。在实际系统中要确切的说明引起叭尼的原内是很困难 的，因此阻尼器常被模型化为以下几种类型。（1）粘性阻尼。粘性阻尼是振动分析中最常用的阻尼模型。当机械系统在流体介质例 如空气、气体、水和油中振动时，由流体产生的粘性阻力会造成物体能最损耗。在这种情况 卜，丿、，损耗的能量取决于许多因素，例如振动体的

23、人小和形状、流体的粘性和振动频率以及振动体的速度等。在粘性阻尼中，阻尼力与振动体的速度人小成正比。最典型的粘性阻尼 的例子包括滑动而之间的油膜、活塞气缸周用的流体绕流、流体通过一个小孔以及轴承与滚 珠之间的油膜等。（2）库仑或者干摩擦阻尼。此时阻尼力人小是常数，但是方向与振动体的相对运动方 向相反。这是因为相互摩擦的两个面都是干的或欠润滑的。（3）材料阻尼（固体阻尼，滞后阻尼）。当材料产生变形时，能量就会被材料吸收和消 耗。当产生变形时，材料的内部平面之间会产生滑移或错位，因而内部平面之间的相互摩擦 就会引起能量的损耗。当一个具有材料阻尼的物体振动时，其应力-应变曲线是如图3-18（a） 所示

24、的滞后回线。该回路所H；l成的面枳确定了由于阻尼的作用，单位体积的物体在-个循坏 中所损失的能量。13#图318弹性材料的应力应变滞回曲线1. 粘性阻尼的结构粘性阻尼器町以看成是有两块间距为h的平行板组成的，两板之间充满了粘性系数为“ 的流体介质（如图3-19所示）。让一个平板固定，另一个平板以速度u沿所在平面运动。紧 临运动版的流体层的速度为u ,而和固疋板皿£触的流体以不动。中间流层的速度假设从0 到u呈线性变化。由粘性流体的牛顿定律，距固定板为y的液体层的切应力为"“也（3-38）dy其中，du/dyu/h是速度的梯度。从运动板的下表面开始的切力或阻力F为(3-39)

25、图,19充満黏性流体的半行板英中，A为运动板的面积，并且(3-40)称为阻尼常数。如果一个阻尼器是非线性的，一般是利用线性化的方法把阻尼力表示为工作速度的线性 函数.就像处理非线性弹簧一样。此时的等效阻尼常数为(3-41)dF c- dv2. 几个阻尼器的组合当几个阻尼器以并联或串联的形式出现时，町采用类似于处理几个质最的等效质最或儿 个弹簧的等效刚度的方法，用一个等效阻尼器来代替。(3-42)考虑图3J0 （a）所示阻尼并联的情况，其等效阻尼为c<=E c>i- 1|(EEE15#图3 20 a）串联阻尼b）并联阻尼考虑图3二0 （b）所示阻尼串联的情况，其等效阻尼为(343)例

26、38 个轴承可以近似看作是两个平板被一层润滑薄膜分开，如图3J1所示。当使 用润滑油SAE30润滑时，轴承可以提供400N的阻力，并板之间的相对速度为Khs。若 板的面积为0 1卅，假定板之间的距离为1】，润滑油SAE30的绝対粘度为50x1旷雷恩（eyn） （英制动力粘度单位,lreyn=0 3445Pa.s ）o求轴承中的间隙。图321油膜轴承平枚示总图解：由于阻力F町以表达为F = cu的形式，其中C为阻尼常数，U为速度，故有(E 1 )Fc 40(Ns/mu把轴承模型化为一个平板类型的阴尼器阻尼常数由式(3-40)给出:(E2) h代入己知数据，式(E2)变为“0 3445x0 1c

27、= 40 =h或h- 0 86125mm(E 3)例39建立图322中缓冲器的阻尼常数表达式。CylinderViscousPiston(b)PistonCylinder图,22活塞式纽冲器解：缓冲器的阻尼常数町由粘性流体流动的切应力方程和流体流动速率方程来确定。如 图3二2所示，一个缓冲器活塞的直径为D,氏度为1,在充满粘性系数为“的油缸中以速 度运动。令活塞和油缸之间的间隙为d,如图3-22 (b)所示，在距运动表面为y处的速 度利切应力分别为u和r，在(y+ dy)处的速度和切应力相应的分别为(u- du)和(c+dt)。du前 的号表明y朝缸壁方向增人时速度在减小。该微小圆环上的粘性阻

28、力为但切应力为dut = 一“ dy其中,号与速度减小的方向是一致。将式(E2)带入式(E1),有d'uF = -rDldy-j-作用在活塞上的力将引起活塞两端压力差，为P 4P因此，作用在活塞两端的压力为(El)E2)(E3)(E4)4Pp(/rDdy)-旳其中，*Ddy为介于y和(y+dy)之间的坏形面积。如果假设平均速度在流体运动方向上 是均匀分布的，在式(E3)和式(E5)中给出的力必须相等，这样就得到4P .厂応 dbdb 4P一dy xDldy“一r 或 一 -,Dd7歹 心“(E5)(E6)对上式枳分两次，并且考虑边界条件。=-出”2=0|口，得到2P-叽(河V)7吩)流

29、过间隙的流体的流最Q 口J以通过对流过活塞的流体的流速积分得到，枳分上卜限分别 为y= 0和y= d ,则Q. ： uxrDdy xD(E7)(E8).6尼1“ 2 J流体每秒流过间隙的体积必须等于每秒活塞排出的体枳。这样活塞的速度q将等于这个 流量除以活塞面积，即(E9)由式(E.9)和式(E 8)可知(E 10)34卜對4?令P这样阻尼常数C就为(E 11)韻“剳例3-10如图3-23 (a)所示，一个精密铳床山4个防振支架支撑，每个支架的弹性和阻尼分别町以用一个弹赞和一个粘性阻尼器模拟，如图323 (b)所示。找出用防振支架的弹簧常数比和阻尼常数c,表示的机床支承系统的等效弹簧常数匕和等

30、效阻尼常数。19解：4个弹簧和4个阻尼器受力如图323 （c）所示。假设质心G在4个弹簧和4个阻 尼器的对称中心处。注意到所令的弹簧右相同的位移X,所有的阻尼有相同的相对速度乂， 其中X和x分别表示质心G的位移和速度。作用在弹簧上的力臨和作用在阻尼器上的力耳 可以表示成联 “1十.3.4（E ）令作用在弹簧和阻尼器上所有力的介力分别为F,和片（见图323（d）。这样力平衡方 程可以表示为(E2)其中，F,+F4-W> W表示作用在铳床上的总的竖直力（包括惯性力）。从图323 （d）可知(E3)(E4)F. Mlt韵将式(E 1)和式(E3)代入式(E2),并注意到l = k,q=c(i

31、= l,2,3,4),则匕 T+kj+kj + kk注意：如果质心G不是在4个弹簧和4个阻尼的对称中心处.那么第】个弹簧产生一个 为爲的位移，第】个阻尼器产生一个为务的速度，其中耳和刍是与铳床质心的X和玄有关系 的量。这样一来，式（E1）和式（E4）需要做适当的修改。3.2简谐运动振动町以是有规律的車复自己的运动例如单摆的运动，也町以无规律地运动，如汽车 在凹凸不平的地而上行驶时的上下运动。能够在相等的时间间隔后重复口C的运动，称为周 期运动。周期振动可用如下关系式表示(3-44)x(t) = x(t+nr) 11 = b 2, 3,式（344）表明，经过相同的时间r后，系统不断重复过去的运动

32、。式中的r称为运动的周期。 简谐振动是最简单的周期振动，它是指机械系统的某个运动量（位移、速度或加速度）(3-45)(3-46)按时间的正弦或余弦两数规律变化的振动.如图3二4所示，其数学表达式为式中：A为振幅.表示物体离开平衡位置的最大位移；r为周期。若用t+nr（n = 1,2,3,.）代替式（3-45）中的仁所得的X值不变，故每隔时间r,运动就完全重复一 次.所以r是振动的周期。令69= 27i/r = 2h f ,则式（3-45） 写成卜面的形式x= Asin(69t+ 0)式中：血为圆频率或角频率：f为频率：cot +（p称为相位角而°称为初相位，Wt = 0时 的相位，表

33、示振动物体的初始位置。从式（345）或式（346）可以看出，简谐振动町由下而三个参数唯一确定：振幅、周 期（圆频率或频率）和初相位。如果式（3-46）表示物体的位移，那么它的速度V和加速度a分别是位移X对时间的一阶导数X和二阶导数文，即(347)(3-48)V= X= Aft?COS ( 69t+ 0)= A69SD1 ( 69t+0+兀/2 )a = x = -Acer sin (cot +(p)= Aar sin (ot +(p+ n)比较式（346）、式（3-47）和式（3-48）,町以看出：当物体的位移是简谐函数时.它 的速度和加速度也是简谐函数，它们与位移的频率和同；速度的相位超前位

34、移为兀/2,而 加速度的相位超前位移为71 O把式（3-46）两边分别乘以ft/,然后与式（3-43）相加，町得(3-49)X+ 692X= 0式（349）是简谐运动方程式。简谐运动也町用其他方式表示，矢量表示和复数表示是分析研究振动问题时常用的两种 方法。如图3-25所示，简谐振动可以用模为A的旋转矢量在坐标轴X上的投影来表示。矢最 的起始位置与水平轴的夹角为°,矢量以等角速度血旋转时，在任瞬时欠量与水平轴的 夹角为Qt + 0,它在X轴匕的投影即为式（346）。简谐振动也町用复数表示，如图3-26所示，模为A的矢量起始位置与实轴的夹 角为0,它以等角速度血沿逆时针方向在复平面中绕

35、0点旋转，欠量OP的复数表达式为Z= A cos(evt + (p) + i sin (cot + (p)(3-50)根据欧拉公式e" =cos& + isin&,则式(3-50)可改写成(3-51)z = Ae“3+©比较式(3-50)与式(3-51) nf知简谐振动x是复数旋转矢量在虎轴匕的投影，即x= Asin (劲 + 0)= ImZ = Iin Ael(wt+a，) (3-52)以后的叙述中，对复数表达式不作特殊说明时，即表示取其虚部。1简谐振动的迭加同一物体在同一方向上同时发生两个简谐振动，那么这一物体最终表现的振动形式就是它们综合的结果。一般地

36、，当这两个简谐振动频率相同时，町设这两个简谐振动为Xj = AfSt(3-53)(3-54)(3-55)X, = A. e"w) 它们综合的结果町用复数相加或欠量叠加的方法得到，即x= X + X? = Ae'3R)其中A=+ A + 2 A A cos©.A> sin(D(p = arctanA + A cos cp(3-56)(3-57)町以看到，两个同频率的简谐振动之和仍然是同频率的简谐振动。当两个简谐振动的频率不相同时，他们之和就不再是简谐振动。讨论下面的情况 = Xq sin cox tX2 = Xg siii(w21那么CDX 一COX + 69x

37、=x+x=2x(1 cos t sill-2 2当与69?相差很小时，设(Dx- CO2 = 8 (D .COX +692 = 69,则有 (O LXq cos t sint式(3-58)可看成是一正弦函数(3-58)其频率为ty/2(a® ),其可变振幅为2XQCOS(呦2)t,如图1-5所示.这种振动称为拍振，拍频= 3a)/lit,拍的周期为In(3-59)更一般的情况为X利X?的振幅和初相位都不同，同学町以作为课后练习。3.3谐波分析前而已经提到，简谐振动是最简单的周期振动。实际问题中遇到更多的是非简谐的周期 振动，而任意周期振动都可以通过谐波分析分解成一系列简谐振动的叠加。

38、设一个周期振动函数F(t),它的周期为r,它满足下列条件：函数在一个周期内连续 或者只有有限个间断点，而且间断点上函数左右极限都存在；在-个周期内函数只有有限个 极人极小值，F(t)就町以表示成卜面的形式a 0 二F (t )-( a n cos n 69 2 n-l+ bn sill n t )(3-60)式中(称为基频)a0 = |jjF (t)dtan = j F (t) cos n 69 dtbn = j F (t) sill n co. dt根据前而的讨论，同频率的简谐振动可以合成为一个简谐振动，式(1-17)也可以表示 为a 0(t) = 7T+XAn 血(njt + 久)2 n

39、= l(3-61)式中(pd = aic tanan25把An和0口与血Z间的变化关系用图形表示如图1-6所示，这种图形称为频谱，它们 是离散的垂线。(a)幅频特性(b)相频特性图3-28任总周期撮动函数的频谱3.4简谐与周期激励源：转子系统、连杆不平衡力系统在激励力作用下的响应是振动学所关心的一个主要问题。为了解决这个问题，就必 须对系统运动方程进行求解。选择那种方法来对方程进行求解取决于激励力和系统本身的特 性。本节将对激励力的特性及产生的原因进行详细的介绍。振动激励町以分为两大类，一类是初始激励，一类是力或力矩的激励。从本质上看，这 两种激励的区别并不这么明显，初始速度实质上也是也町以看

40、成个外加脉冲力所引起的。 但从对方程的解得方法上，这种区分还是很有必要的。对于初始激励卜的响应，是求解系统 运动微分方程的通解，而对于强迫激励卜的响应，是求解系统运动微分方程的通解。初始激励包括初始位移和初始速度。由于初始位移和速度的存在，系统分别具有初始势 能和动能。对初始*件的响应，我们称之为自由振动，对于保守系统，该运动会一直保持下 去。对于非保守系统，由于阻尼的存在，系统能量得到持续减少，运动衰减，直至停止。在 实际工程中，所右的系统都是非保守系统，即使那些假设的保守系统。只不过该系统的能最 耗散很慢。因此，所右因为初始条件而引起的运动瑕终都会停止卜來。基于此，初始激励引 起的响应被称

41、为瞬态响应。和初始激励相对应的是强迫激励。激励力的变化可以是有规律的，如旋转机械的夫衡引 起的离心激励力，也可以无规律地运动，如凹凸不平的地面对汽车的激励作用。激励力人小 能够在相等的时间间隔后重复的激励，称为周期激励。周期激励町用如卜关系式表示F(t) = F(t + nT) n =2, 3,(3-62)式(3-62)表明，经过相同的时间r后，系统不断重复过去的运动。式中的r称为运动的周期。 例3-11图3-29所示为一对心曲柄滑块机构，曲柄以角速度=100rad/s作等速回转 运动。曲柄长度r = 50.8nnn ,质心与其回转中心A朿合。连杆长度1 = 203mm,连杆质心 S?在较链B

42、、C的连线上，到较链的B的距离BS：= 50.8iiMn,连杆质量叫=1.36kg，対其质心的转动惯l：J2=0.0102kg.m.滑块质in = 0.907kg ,其质心与餃链C重合.绘出摆动力随曲柄位置角久变化的惜况。-1010000000-1010000尸阴000-yBXB0001Frbx000-101000FrbA = v000-10100Frcx00yB - ys2殆一 Xbys2 一 yc00Fr6J/0000-1000FrDy叫©00000-110LMd.0 如图329b所示。根据受力图建立其平衡方程(3-63)b(»)图3-29曲柄连杆机构及其受力分析解：绘

43、出各杆的受力图,将曲柄的运动周期分成180等份，対每隔2。的180个离散位置分别求解方程，町得狡链在 转速为时由于连杆的不平衡引起的对基础的周期性的激励力，结果如图330所示。27#图3-30曲柄连杆机构因不平衡引起的周期性激励力合力矩#简谐激励是放简单的周期激励，它足按时间的正弦或余弦函数规律变化的激励，如图 329所示，其数学表达式为29#(3-64)x = A sin Qt + A cos cot = Asiii(<wt + 0式中：血为陨1频率或角频率，单位为弧度每秒：A为谐波激励力幅度，0为相位.且分别 为(3-65)(3-66)a=Ja' + a；f舛aic tail

44、 A.和简谐运动一样，简谐激励也采用欠量表示和复数表示。机器中转子质心与旋转中心不觅合（即偏心）引起的离心力，是机械设备中（如气轮 机、鼓风机和电动机等）坡阳见的谐波激励源乙这种不平衡的任，丫致机器振动们超 差，引起轴承、联轴器等部件过早损坏。如图3-30所示为旋转机械存在不平衡时系统力学 模型的简图。其中，机器的质量为M ,转子质量为ill,偏心距为e,转子转动角速度为0。 不平衡激励力为me co2 siiiwt <>对于这种只有单个不平衡质量的旋转机械，理论上可采用«5 ml 左2图3-32旋转机械不平衡激励力图3-31所示为一双圆盘旋转系统，在两盘的匕、P,两点上

45、有一质量为m质量块.两盘 的距离为L, Pt. P2两点在弧度上相差180°。该系统引起的不平衡力为0,但会产生一个不 平力距，大小为meLsint o对于这类不平衡，只有采用动平衡才能进行平衡。#图3-33人冇对称质献的旋转轴3.5工程复杂激励源：非周期、随机激励现实系统中，大多数激励力的大小和方向并不是周期性地随时间变化。这种不随时间周 期性变化的H其人小又是时间换数的激励力称为非周期激励力。现实生活中最简单的非周期 变化的激励力是脉冲力。如图3-34所示，非周期激励力也称为任意激励力。一般情况卜， 非周期激励力都町用一个时间的函数來表示。即使是如图334所示的激励力，也可以通过

46、 不同时刻的脉冲力组合来函数表示。图3-34非周期激帅力非周期、周期和谐波这三类激励町采用一个确定的时间函数来描述，对于这一类激 励，我们称之为确定性激励。在自然界与工程中，存在一人类诱发机械或结构系统振动的激 励源，诸如不平整的路面、飞机喷气噪声、强风中的湍流、湍流边界层及地怠地而运动等。 这些激励源貝有一个共同的特点是随机性，即不能用确定性的时间函数与（或）空间坐标的 函数描述它们，而只能用概率或统计的方法去描述它们。这类振源统称为随机激励源。随机 激励力的人小虽然町以通过测量获得，但不同时间测量的结果不同，其大小是不町预测的。 图3-35所示为一随机激励力。图3-34随机激励3.6利用MATLAB求解的例了例3-11利用MATLAB绘出下列函数：(El)x(t)= A »0 <t <rr以及它的傅里叶级数展开sinat + sinlai + -sin3at |