第五章抽样估计

1、第五章 抽样调查与参数估计在实际的统计分析过程中，由于各种因素的限制，我们很少能够将研究对象中所有单位的数据收集起来进行计算分析。在很多情况下，我们是进行抽样调查，根据样本的信息对研究对象的数量特征进行推断。参数估计是一种关于如何利用样本的信息对总体特征做出具有一定可靠程度推断的统计分析方法，它是推断统计中非常重要的方法之一。本章将介绍抽样调查的基本问题，然后在介绍抽样分布的基础上讨论参数估计的基本原理，最后介绍对一个总体参数进行估计的方法。第一节 抽样调查与抽样的组织形式抽样调查是一种非全面调查，它是按照随机原则从总体中抽取部分调查单位作为样本进行调查，以搜集样本数据的调查形式。抽样调查获取

2、的样本资料是进行参数估计、方差分析、假设检验等推断统计的基本依据。一、抽样调查的特点与作用（一）抽样调查的特点抽样调查与其他非全面调查方式相比具有以下特点：1.抽样调查是按随机原则抽取总体单位作为样本的。随机抽样意味着总体中某个单位被抽中与否，不会受到调查者和被调查者主观愿望的影响，从而保证了样本对总体的代表性。2.抽样调查得到的样本资料可以用来推断总体数量特征。依据概率论与数理统计的相关原理，在一定的置信水平下，可以估计出总体的数量特征和状态，这种估计有着坚实的理论基础。3.用抽样调查的数据估计总体的状况必然产生抽样误差，抽样误差虽不可避免，但它是可以估计和控制的。（二）抽样调查的作用与优点

3、抽样调查是实际中应用最广泛的一种调查方式，它的作用和优点表现在以下几个方面：1.对于一些不可能或者不必要进行全面调查的现象，可以采用抽样调查的方式。比如对灯泡的使用寿命、轮胎的里程试验、食品的合格率等破坏性检查就不可能进行全面调查；而对于有些社会经济现象，总体单位数多且分布很广，调查资源有限，就没有必要采用全面调查，这时都可以考虑采用抽样调查，然后据之推断出总体的特征。2.抽样调查可以对全面调查的资料进行补充和修正。全面调查如普查涉及面广，工作量大，容易出现重复或遗漏现象，通常在普查完毕以后，进行抽样调查，将抽样调查的结果与普查的结果进行核对，计算差错率，用差错率修正普查数据。我国每10年进行

4、一次的人口普查就采用了抽样复查，用计算出的差错率修正普查的结果，然后再对外公布。3.抽样调查具有很强的经济性、时效性、准确性、灵活性的优点。由于只对随机抽取的部分单位进行调查，工作量相对较小，大大减轻了工作量，因而节省人力、物力和费用开支；调查的准备时间、调查时间、数据处理时间等都大大缩短，可以迅速、及时地获得所需要的信息，从而可提高数据的时效性。由于抽样调查的工作量相对较小，可以使各环节的工作做得更细致，调查误差往往很小。虽然抽样误差不可避免，但这种误差的大小是可以计算并加以控制的，因此抽样推断的结果通常是可靠的。此外是它的灵活性。抽样调查组织方便灵活，调查项目可多可少，考察范围可大可小，既

5、适用于专题的研究项目，也适用于经常性的调查项目。只要需要，随时都可以组织实施，如政策评估、市场信息、民意测验等都可以因时因地制宜地组织抽样调查，搜集必要的资料。二、抽样调查的几个基本概念（一）总体与样本总体就是研究事物的全体，是由若干的个体即总体单位组成。比如当研究某一地区居民的消费支出时，该地区所有的居民构成了总体，每户居民是一个单位。构成总体的单位个数N称为总体容量，一般来说，总体的容量都是比较大的，如果要进行全面调查需要花费较大的成本。样本就是从总体中随机抽取的一些个体组成的集合。样本中的总体单位数n称为样本容量，它往往比总体的容量要小得多。比如我们从某一地区50000户的居民中随机抽取

6、200户，这200户居民构成了一个样本。在实际工作中，人们通常把的样本称为大样本，而的样本称为小样本。（二）总体参数与样本统计量 总体参数就是用来描述总体特征的指标。总体均值（），总体比例（）、总体标准差（）等是我们经常使用的总体参数。总体参数是一个常数，一旦研究对象即总体确定，总体的特征值就唯一确定，但是这个常数是未知的，它需要通过抽样调查得到的样本数据去估计出来。样本统计量是用来描述样本特征的变量，比如样本均值（）、样本比例（p）、样本标准差（s）。样本统计量的具体数值是对抽出的样本进行调查而得到的。与总体参数最大的不同是，样本统计量是一个随机变量，抽取不同的样本，样本统计量的具体取值是不

7、完全相同的。（三）抽样框随机抽样必须在总体范围内进行，同时还要明确抽样的基本单位，这就需要编制抽样框。抽样框是有关总体全部单位的名录，它是实施抽样的基础。抽样框有若干种形式，常见的有名称抽样框、区域抽样框以及时间表抽样框。名称抽样框就是全部总体单位的名单一览表，比如学生名单、企业名单等。区域抽样框是将总体按照地理位置划分为若干个区域，每个区域就是一个单位，这些区域就构成了抽样框。比如进行农作物产量调查，将地块按生产小组划分，这些生产小组的名单就成为了抽样框。时间表抽样框是将总体单位按照时间顺序进行排列，将时间分成若干个小的时间单位，这些时间单位构成了抽样框。如对流水线上24小时生产的产品进行质

8、量抽查，以10分钟作为一个单位，将产品分为144个单位，从这144个单位中随机抽取。抽样框的好坏会直接影响抽样的效果，一个理想的抽样框应该与目标总体一致，不重不漏地包含全部总体单位。（四）重复抽样与不重复抽样重复抽样也称回置抽样，就是从总体N个单位中随机抽取容量为n的样本时，每次从总体中抽取一个单位，把结果登记下来，又将其放回原来的总体参加下一次的抽选。重复抽样的样本是由n次相互独立的试验构成的，每次试验是在完全相同的条件下进行的，每个单位中选的机会在各次抽样都完全一样，并且每个单位有可能被多次抽中。一般来说，从总体N个单位中随机重复抽取n个单位构成一个样本，可抽取个样本。不重复抽样也称不回置

9、抽样，就是每次从总体中抽取一个单位，抽出的这个单位就不再放回原来的总体中，不再参加以后的抽选。不重复抽样抽取的样本是由n次非独立的试验构成的，每次抽选的结果都会影响下一次抽选，每个单位在每次抽选中的机会是不相同的。在抽选过程中一个单位最多被抽中一次。一般来说，从总体N个单位中随机不重复抽取n个单位构成一个样本，可抽取个样本。三、抽样的组织形式（一） 简单随机抽样简单随机抽样是按照随机原则直接从总体中抽取样本单位，它是随机抽样中最基本的方法。具体操作时可采用抽签或者查随机数表等来抽取。目前，计算机Excel在抽样中的应用已经相当广泛。比如，要从重庆市40个区县中随机抽10个区县调查，简单随机抽样

10、的步骤是：第1步：将重庆市40个区县进行编号，将号码输入Excel工作表中。图5-1 将总体单位的编号输入Excel工作表第2步：点击【工具】菜单中【数据分析】命令，在分析工具中选择【抽样】，单击【确定】。如图5-2。图5-2 选择分析工具的抽样第3步：填写“抽样”对话框：在【输入区域】引用编号输入区域A1：J4，在【抽样方法】中勾选【随机】，在【输出区域】输入一个单元格的名称比如A7，单击【确定】，如图5-3，即可得到随机抽取的单位。图5-3 填写抽样对话框需要指出的是，每次进行以上的操作得到的单位编号是不完全相同的。若选择图5-2中的“周期”，则可进行系统抽样。简单随机抽样是最能体现随机原

11、则的抽样方式，在抽选过程中每个单位被抽中的概率相等，因而采用此方法抽出样本进行估计相对比较简单方便。但是这种方式抽出的样本单位比较分散，因而一般适用于均匀总体，即具有某种特征的单位均匀地分布在总体的各个部分，使总体的各部分都是同分布的。（二）分层（类）抽样分层（类）抽样是先将总体各单位按照某个特征进行分组，然后分别从各组中随机抽取若干单位组成样本。比如要了解某个地区粮食的生产水平，该地区有山地、丘陵和平原三种地势条件的耕地，如果采用简单随机抽样方法，就有可能抽选出全是某一种地势条件的耕地，如山地，这样的结果会有较大的偏差。如果分别在三种地势条件的耕地中随机抽选，就可保证样本中包含了各种特征的单

12、位，使得样本的结构与总体的结构尽可能相似，从而估计结果的准确性就会大大提高。分层抽样适合总体单位的特征相差较大的总体。如果可能的话，最好选择与研究现象有关联的特征作为分组的依据，如地势条件与粮食的生产水平就有非常密切的关系。（三）系统抽样（机械抽样）系统抽样就是先将总体各单位按一定的顺序排列，然后依据固定间隔来抽取样本单位。比如从总体单位数N=132中抽取13个单位作为样本。首先将总体单位按一定的标志进行排序，然后计算抽样距离=N/n=132/1310，随机抽取前10位的第一个单位，比如3号，以后顺次抽取13号、23号123号共13个单位。总体单位的排序标志有两种，一种是与研究现象无关的标志，

13、比如研究居民的收入水平，居民姓氏笔画即为无关标志。按无关标志排序的系统抽样与简单随机抽样的效果几乎相同；二是与研究现象有关的标志，比如研究居民的收入水平，居民受教育的程度为有关标志。按有关标志排序的系统抽样抽出的样本代表性相对较高，它包含了各种特征的单位，因而估计的准确性会增强。 （四）整群抽样整群抽样是将总体各单位划分为若干个群，以群为单位从中随机抽取一些群，中选群的所有单位组成样本。比如要了解某所高校学生的身体健康状况，将一个班作为一个群，从该所高校的400个班中随机抽取10个班作为样本。整群抽样中样本的抽取相对其他方法都要方便快速，由于样本单位比较集中，会大大地节省调查费用，也正是这个原

14、因，样本单位在总体中的分布不够广泛，样本的代表性较低，因此可能的情况下尽量多抽取单位。（五）多阶段抽样多阶段抽样是指抽样时先抽总体中大范围的单位，再从中选的大单位中抽较小范围的单位，逐次类推，最后从更小范围的单位中抽选基本单位，分阶段来完成抽样的组织工作。比如我国的农产量抽样调查，第一阶段从省抽到县，第二阶段从中选的县抽到乡镇，第三阶段从中选的乡镇抽到村，最后从中选的村抽到地块。当总体容量很大时，直接抽选总体的基本单位在技术上存在较大的困难，就可以采用多阶段的抽样形式。实际工作中，往往多种抽样组织形式结合运用。比如我国的城镇和农村居民的抽样调查，将多阶段抽样、系统抽样和整群抽样结合运用。第二节

15、 抽样分布抽样分布是推断统计的基础。下面将对抽样分布的概念及其相关知识进行介绍。一、三种分布（一）总体分布总体中各单位的取值形成的分布为总体分布。理论上讲总体分布是将总体中各单位的实际值得到，绘制图形观察其分布的形态，计算参数了解其分布的特征。但是实践中总体各单位的取值不能全部得到，因而其分布的形态和特征往往是未知的，通常是根据经验大致了解总体分布的类型或者假定其服从某种分布，然后通过抽样来推断总体的特征。（二）样本分布样本中各单位的取值形成的分布为样本分布。由于样本是从总体中抽选出来的，因而样本的分布能够反映出总体的一些分布形态和特征，特别是当样本容量较大时，它与总体的分布就比较接近，但是由

16、于样本是随机的，它与总体分布总是会存在差异的。（三）抽样分布样本统计量是随机变量，它有若干个可能取值，每个取值有相应的概率，由此形成的概率分布，称为抽样分布。从理论上来讲，抽样分布是这样形成的：将所有可能的样本都抽选出来，将某个样本统计量（如样本均值）的具体数值以及每个取值的相对频数计算出来，二者一一对应形成样本统计量的相对频数分布即抽样分布。实际中不可能将所有的样本都抽选出来，所以样本统计量的抽样分布都是从理论上推导出来的。抽样分布是参数估计的理论依据，它提供了样本统计量以及抽样误差大小的概率描述，是进行参数估计的基础。二、样本统计量的抽样分布我们用一个简单的实例来介绍抽样分布的形成过程。【

17、例5-1】假设有一个由四位同学组成的总体，四位同学某次考试的成绩分别为60分、70分、80分、90分，我们可以计算总体均值、方差与标准差如下：从总体中采用简单随机抽样的方法重复抽取两位同学作为样本，将所有的可能样本都抽选出来，计算每个样本均值的具体数值，如表5-1。表5-1 所有可能样本及其样本均值样本样本中的单位样本均值1234567891011121314151660，6060，7060，8060，9070，6070，7070，8070，9080，6080，7080，8080，9090，6090，7090，8090，9060657075657075807075808575808590将16

18、个样本均值进行分类汇总整理并计算，形成样本均值的相对频数分布即抽样分布如表5-2，用图形的方式表示，如图5-4。表5-2 样本均值的抽样分布样本均值样本个数相对频数（%）6065707580859012343216.2512.518.7525.0018.7512.56.25合计16100.00图5-4 样本均值的抽样分布根据样本均值的抽样分布可以计算样本均值的数学期望、方差及标准差。 从样本均值的抽样分布来看，它呈现一种对称分布，样本均值的数学期望等于总体均值，即，样本均值的标准差（抽样平均误差）等于总体标准差的，即。换句话讲，样本均值以总体均值为中心呈现对称分布，随机抽取一个样本，其样本均值

19、距离总体均值较近或者抽样误差较小的概率比较高，相反样本均值距离总体均值较远或者抽样误差较大的概率很低。（一）样本均值的抽样分布统计学家们通过研究发现，样本均值的抽样分布形式与原有总体的分布形式以及样本容量有关。结论一：如果总体服从正态分布，无论样本容量如何，样本均值均服从正态分布。样本均值的数学期望等于总体均值，样本标准差为总体标准差的，即。在不重复抽样条件下，样本均值的标准差需要用修正系数去修正，即。结论二：如果总体为非正态分布，若样本容量充分大（），依据中心极限定理，样本均值近似服从正态分布，即。此时如果总体标准差未知，可以用样本标准差代替总体标准差，即。同样，在不重复抽样条件下，样本均值

20、的标准差需要用修正系数去修正，即。结论三：如果总体为正态分布，但总体标准差未知，样本容量比较小（），则样本均值进行标准化以后的随机变量服从自由度为n-1的t分布。即。（二）样本比例的抽样分布比例是指具有某种特征的单位数与全部单位数之比，如某城市老年人口数与全部人口数之比、某批产品中合格品数量与整批产品数量之比。要根据样本比例来估计总体的比例，必须确定样本比例的抽样分布。统计学家们研究证明，当样本容量足够大时（），样本比例的抽样分布近似服从正态分布。结论四：当样本容量足够大时，样本比例近似服从正态分布，其数学期望为总体比例，标准差为，即。 同理，抽样为不重复抽样时，需要对标准差进行修正，修正系数

21、仍然为。在实际估计时总体比例是未知的，经常用样本比例p来替代总体比例，即 。抽样中，若总体单位数远大于样本容量时，不重复抽样情况下修正系数趋于1，不重复抽样与重复抽样的标准差基本相同。本书后面内容如无特别说明，一般不考虑修正系数对抽样分布标准差的影响。（三）样本方差的抽样分布结论五：如果总体为正态分布，则随机抽取的样本方差的比值服从自由度为n-1的分布。即三、抽样误差抽样误差是由于随机抽样的偶然因素造成样本的结构不能完全代表总体的结构而形成的样本统计量与总体参数之间的绝对偏差。抽样误差是一种代表性误差，是由于部分单位不能代表总体而引起的误差，这种误差是随机抽样的偶然因素造成的，在抽样中不可避免

22、。样本统计量是一个随机变量，它随样本不同取不同的数值，而总体参数是一个常数，二者的绝对离差即抽样误差也是一个随机变量，样本统计量存在一定的分布规律，抽样误差也有规律可循，在实际使用中，经常用抽样平均误差与抽样极限误差来描述抽样误差这一变量的基本特征。抽样平均误差是抽样误差的平均水平，它反映了所有可能样本的估计值与总体参数的平均差异程度。以样本均值与总体均值之间的误差为例，这时抽样误差为，抽样平均误差就是样本均值的标准差。即：公式中m为所有可能的样本个数。由于总体参数是未知的，实际中也不可能将所有的样本都抽选出来，因而采用上面的公式计算抽样平均误差是不现实的，在概率论与数理统计中是利用样本统计量

23、的抽样分布来计算的。以样本均值的误差为例，样本均值的标准差就是抽样平均误差，而在绝大多数情况下样本均值的标准差为总体标准差的（见例5-1），因此样本均值的抽样平均误差的计算公式为： （5.1）而样本比例的抽样平均误差的计算公式为： （5.2） 抽样极限误差是指在一定概率下抽样误差的最大值，也称允许误差或误差范围，以均值为例，可表达为，或极限误差=。抽样极限误差的大小与概率有着密切联系。我们经常用抽样极限误差来反映估计的准确程度，极限误差越大，准确程度越低，而概率则反映估计的可靠程度，也称为置信水平，概率越大，可靠程度就越高。估计的准确程度与可靠程度是相矛盾的，在其他条件不变的情况下，提高估计的

24、可靠程度，会降低估计的准确程度，同样，提高估计的准确程度，会降低估计的可靠程度。二者的数量关系主要取决于样本统计量的抽样分布。 第三节 参数估计的基本原理一、 估计量及其评价标准参数估计是用样本统计量去估计总体参数，比如用样本均值估计总体均值、样本比例估计总体比例。用来估计总体参数的统计量称为估计量。用哪些样本统计量作为估计量最好呢？比如，估计总体均值时，样本均值、样本中位数或者样本众数，哪一个是最好的估计量？统计学家给出了以下三个评价估计量的标准，满足这些标准的估计量才是优良估计量。1.无偏性如果估计量的数学期望等于被估计的总体参数，即，则该估计量为无偏估计量。从总体中抽出不同的样本就可以计

25、算出不同的估计值，估计值与被估计的总体参数的真实值之间有偏差，但是如果把所有的样本都抽选出来，估计值的均值等于被估计总体参数的真实值，也就是说虽然某个估计值与总体参数有偏差，但平均而言估计是没有偏差的。M无偏估计量有偏估计量 图55 无偏估计量与有偏估计量的比较2.有效性估计量的方差越小，则估计就越有效。如果有两个无偏估计量，具有较小方差的估计量的值更接近总体参数，估计量的所有取值应该集中在被估计总体参数真实值的周围，从而使得估计更加准确。x)有效性较高的估计量有效性较低的估计量图56 估计量有效性比较3.一致性一致性就是指随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计总体的参数。换句话讲，对

26、于一个具有一致性的估计量，一个大容量样本的估计值要比一个小容量样本的估计值更接近总体参数。)大容量样本估计量小容量样本估计量图54 估计量一致性的比较统计上可以证明，样本均值、样本比例和样本方差符合无偏性、有效性和一致性三个标准，它们分别是总体均值、总体比例和总体方差的优良估计量。二、点估计与区间估计参数估计的方法有点估计和区间估计两种。（一）点估计点估计就是直接将估计量的一个样本观察值作为被估计总体参数的估计值。根据前面介绍的估计量评价标准，样本均值、样本比例以及样本方差分别是总体均值、总体比例以及总体方差的优良估计量，因而随机抽取一个样本，计算得到其样本均值、样本比例以及样本方差的具体数值

27、，即可估计出总体均值、总体比例以及总体方差的数值。【例5-2】重庆市某乳业公司欲估计某一批酸奶平均每盒的容量，随机从生产线中抽取24盒，测得这24盒酸奶的容量如下：（单位：ml）239.5 240.4 239.0 241.0 237.5 239.4 239.0 238.6238.6 240.3 239.6 240.0 237.9 238.4 239.5 239.6238.5 240.5 240.0 239.8 239.5 240.4 240.0 240.6试用点估计的方法估计整批酸奶的平均容量以及容量的标准差。解：根据估计量的评价标准，样本均值是总体均值的优良估计量，因而整批酸奶平均容量的估计

28、值为：而整批酸奶每盒容量标准差的估计值为：点估计的优点是能够提供总体参数的具体估计值，且方法简单，但不能说明估计结果的准确程度和置信程度，所以我们经常采用区间估计的方法。(二)区间估计区间估计是以一定的可靠程度估计总体参数所在的区间范围，或者说，根据估计量的抽样分布，在一定概率下给出总体参数的可能范围。我们以一个实例来说明区间估计的基本原理。【例 5-3】重庆市某乳业公司生产的酸奶每盒容量标准为240ml,假定酸奶的容量服从正态分布，其标准差为1ml。现从生产线中随机抽取24盒，测得24盒酸奶的平均容量为239.5ml。以95%的概率估计这批酸奶平均每盒容量的范围。显然，这是一个用样本均值来估

29、计总体均值的实例。由于样本均值服从正态分布，数学期望为总体均值，标准差为总体标准差的，即，将其进行标准化处理后，服从标准正态分布，即，有95%的样本均值落在总体均值左右1.96个标准差范围内，换句话说，约有95%的样本均值所构造的区间包含真实的总体均值。如果从生产线中抽出10000个样本（24盒为一个样本），有9500个样本的平均容量在实际总体均值1.96个标准差范围内，有9500个样本均值构造的区间包含真值。即：因此以95%的概率估计这批酸奶平均每盒容量的区间范围为：即（239.1，239.9）x0-1.961.96 x95.45%的样本估计的区间包含真实均值图55区间估计基本原理我们将估计

30、出来的区间称为置信区间，置信区间的最小值称为置信下限、最大值称为置信上限，它反映估计的准确程度，置信区间大表明估计的准确程度低，反之准确程度高。与置信区间相应的概率称为置信水平，用1-表示，它反映出估计的可靠程度。该例中1-=95%，置信水平实际上就是多次抽样所得到的区间中包含真值的区间所占的比重，即为不包含真值的区间所占的比重。置信区间是样本均值加减抽样极限误差形成的，即。极限误差=的大小取决于估计的可靠程度、总体的标准差以及样本容量。在样本均值和总体标准差一定的情况下，要提高抽样估计的准确程度，就要扩大样本容量、降低估计的可靠程度。而可靠程度过低可能导致估计的结果失去意义。所以，在抽样估计

31、时，我们必须权衡和处理好准确程度与可靠程度这一对矛盾。根据【例5-3】，我们可以把区间估计的基本步骤归纳为：第一步：根据评价估计量的标准选择优良估计量并确定其抽样分布形式。如估计总体均值时选择样本均值作为估计量，而样本均值一般服从正态分布。第二步：根据样本数据计算样本统计量的具体数值。如样本均值、样本比例或样本方差等。第三步：根据给定的置信水平1-以及样本统计量所服从的抽样分布形式，计算或查表求出相应的临界值。第四步：计算置信上下限，从而形成总体参数的置信区间。第四节 对一个总体参数的区间估计一、总体均值的区间估计（一）大样本条件下总体均值的区间估计 如果样本为大样本（），样本均值服从正态分布

32、。根据正态分布的性质，总体均值在1-置信水平下的置信区间为，其中为总体标准差。如果总体标准差未知，用样本的标准差代替，置信区间为。【例5-4 】某学校对教职工缴纳个人所得税的情况进行了调查。全校教职工总人数为2000人，采用重复抽样的方法随机抽取了50人，样本资料如下：（单位：元）875 630 345 210 670 231 78 309 189 77123 99 167 198 890 276 89 438 112 108345 76 145 346 564 136 105 289 130 6897 167 689 234 650 321 165 93 235 9068 105 234 1

33、98 321 218 95 154 200 73试以95%的置信水平估计该校教职工人均缴纳所得税的置信区间。解：根据样本资料计算样本均值和标准差：由于样本均值服从正态分布，查标准正态分布表得：该校教职工人均交纳个人所得税的置信区间为：即该校教职工人均缴纳个人所得税置信区间为196.24元到312.76元 。我们也可以采用Excel计算抽样极限误差，进而估计总体均值的置信区间。操作如下：首先将样本数据输入到Excel工作表中，然后用【AVERAGE】和【STDEV】计算样本的均值以及样本标准差，也可用【工具】菜单计算，详见第四章。然后采用统计函数【CONFIDANCE】计算极限误差，具体操作步骤

34、为： 第1步：在Excel中选择一个单元格并输入“=”，点击【插入】菜单、【函数】；第2步：在【插入函数】的【选择函数】中选择【CONFIDENCE】，单击【确定】。见图5-6。图5-6 选择恰当的函数第3步：填写【函数参数】对话框：在【Alpha】中填写显著性水平，本例为0.05；在【Sstandard-dev】中填写样本标准差，本例为210.19；在【Size】中填写样本容量，本例为50。单击【确定】，即可得到抽样极限误差，本例为58.26062479。见图5-7。图5-7 填写函数参数对话框最后用样本均值加减极限误差得到总体均值置信区间的上下限：(254.5-58.26,254.5+58

35、.26)即（196.24，312.76）。(二)小样本条件下总体均值的区间估计 如果样本容量小，总体为正态分布，总体方差或标准差已知，则总体均值的区间估计与大样本条件下的区间估计完全相同，但是若总体方差或标准差未知，样本均值标准化后的统计量服从t分布，则总体均值在1-置信水平下的置信区间为：【例5-6 】某茶叶生产企业对一批袋装茶叶的重量进行抽检，以确认每袋重量是否符合要求，现随机抽出20袋，测得每袋重量如下：（单位：克）101.5 108.3 103.5 104.3 99.8 100.6 97.9 102.8 98.0 105.8105.4 98.0 105.0 97.8 99.0110.0

36、 103.0 98.0 99.0 100.9试以95%的置信水平估计这批茶叶平均重量的置信区间。解：根据样本数据计算得： s=3.67由于样本均值服从t分布，查t分布表：，则置信区间为：该批茶叶平均重量的置信区间为（，即该批茶叶平均重量在100.21克到103.65克之间。二、总体比例的区间估计对于总体比例的区间估计，当样本容量足够大即时，样本比例近似服从正态分布，因而其区间估计与大样本情况下总体均值的估计相同。【例5-7】某电视台委托调查公司调查一个电视谈话节目的收视率，调查公司随机调查了200户家庭，结果有44户家庭经常收看该节目。试以90%的置信水平估计该节目收视率的置信区间。解：样本容

37、量n=200，样本收视率p=，置信水平1-=90%，查标准正态分布表，最接近90%的置信水平为0.8996，故，则该节目收视率的置信区间为：即该节目的收视率应该在（22%-4.8%，22%+4.8%），即17.2%到26.8%之间。当样本容量很小即np5时，对总体比例的区间估计误差很大，所以对总体比例估计时一般要求样本容量足够大。三、总体方差的区间估计本书只研究正态总体方差的区间估计。样本方差符合优良估计量的标准，故一般选择样本方差作为总体方差的估计量。从正态总体中抽取容量为n的样本，其样本方差的比值服从自由度为n-1的分布。这是进行总体方差区间估计的基本依据。在置信水平1-时总体方差的置信区

38、间如图5-8。c2c21-a/2c2a/21-a图58 总体方差的置信区间而总体方差的置信区间为： 【例5-8】某企业生产一种汽车配件，其直径标准为10cm,但实际生产出的配件直径多少有些差别，差别过大就不符合质量要求。现在企业的质量检验部门对生产出来的一批配件进行了抽检，随机抽取25件测定直径数据如下：（单位：cm）10.3 9.9 11.0 10.5 10.19.5 10.0 10.2 9.6 10.49.9 10.0 10.1 10.0 10.19.7 10.2 9.5 10.3 10.29.8 10.0 9.9 9.9 10.1试以90%的置信水平估计该批配件直径方差的置信区间。解：根

39、据以上数据计算样本方差：查2分布表该批配件直径方差置信区间为：即该批配件直径方差的置信区间。第五节 样本容量的确定在抽样之前就应该确定一个合适的样本容量。样本容量的大小会影响抽样误差的大小，如果容量小，抽样误差就会增大，抽样的准确程度偏低；如果容量大，准确程度提高了，但是又会增加调查成本。因而确定一个合适的样本容量，确保在一定的置信水平下极限误差不超过规定的范围是抽样中非常重要的问题。值得注意的是，我们确定的样本容量是满足一定要求的最低样本容量，也就是说，实际抽选样本时，样本的单位数不能低于确定的样本容量，但可以高于它，因而经常将其称为必要样本容量。一、总体均值区间估计时样本容量的确定在总体均

40、值区间估计时极限误差的大小取决于估计的置信水平1-、总体的标准差以及样本的容量，即： 如果我们给定极限误差，则可确定在一定置信水平下不超过该极限误差的样本容量： （5.3） 置信水平1-确定，则Z/2就确定，为规定的极限误差即允许误差，总体方差2在实际中往往是未知的，一般可根据以前做过相似研究中的样本或总体方差来代替，或者选择一个初始样本，测定其方差作为总体方差的估计值。【例5-10】某省农调队要调查本省从事某种行业农村劳动力（约16000人）的年均收入，据5年的统计资料获知，该行业农村劳动力人均年收入的标准差为200元，若预先确定允许误差不超过20元，采用重复抽样。应该抽取多少人才能以95.45%的概率保证估计误差不超过允许误差？解：置信水平95.45%时=2，根据公式计算样本容量为：（人）如果样本是不重复抽取的，则确定的样本容量会大些。二、总体比例区间估计时样本容量的确定与总体均值区间估计时样本容量确定的方法类似，总体比例区间估计时样本容量大小仍然取决于置信水平、允许误差以及总体的方差，但是