空间几何的表面积与体积

1、空间几何的表面积空间几何的表面积与体积与体积第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 课前自主预习课前自主预习第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 知识探究（一）柱体、锥体、台体的表面积知识探究（一）柱体、锥体、台体的表面积 思考思考1:1:面积是相对于平面图形而言的，面积是相对于平面图形而言的，体积是相对于空间几何体而言的体积是相对于空间几何体而言的. .你知道你知道面积和体积的含义吗？面积和体积的含义吗？面积面积:平面图形所占平面的大小平面图形所占平面的大小 体积体积:几何体所占空间

2、的大小几何体所占空间的大小 第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 思考思考2:2:所谓表面积，是指几何体表面的所谓表面积，是指几何体表面的面积面积. .怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？积？各个侧面和底面的面积之和各个侧面和底面的面积之和或展开图的面积或展开图的面积.第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 这样，求它们的表面积的问题就可转化为求这样，求它们的表面积

3、的问题就可转化为求平行四边形、三角形、梯形的面积问题。平行四边形、三角形、梯形的面积问题。第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 .),(,1求它的表面积如下图面体四各面均为等边三角形的、已知棱长为例ABCSaSBACD第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 思考思考3:3:圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，侧面都是曲面，怎样求它们的侧面面，侧面都是曲面，怎样求它们的侧面面积？面积？思考思考4:4:圆柱的侧面展开图的形状有哪些圆柱的侧面展开图的形状有哪些特征？如

4、果圆柱的底面半径为特征？如果圆柱的底面半径为r r，母线长，母线长为为l，那么圆柱的表面积公式是什么？，那么圆柱的表面积公式是什么？2()Sr rl第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 思考思考5:5:圆锥的侧面展开图的形状有哪些圆锥的侧面展开图的形状有哪些特征？如果圆锥的底面半径为特征？如果圆锥的底面半径为r r，母线长，母线长为为l，那么圆锥的表面积公式是什么？，那么圆锥的表面积公式是什么？()Sr rl第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 思考思考6:6:圆台的侧面展开图的形状

5、有哪些圆台的侧面展开图的形状有哪些特征？如果圆台的上、下底面半径分别特征？如果圆台的上、下底面半径分别为为rr、r r，母线长为，母线长为l，那么圆台的表面，那么圆台的表面积公式是什么？积公式是什么？22()Srrr lrl第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 思考思考7:7:在圆台的表面积公式中，若在圆台的表面积公式中，若r=rr=r，r=0r=0，则公式分别变形为什么？，则公式分别变形为什么？22()Srrr lrl()Sr rl2()Sr rlr=rr=rr=0r=0第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学

6、人教人教A版版 必修必修5 例例2 2 一个圆台形花盆盆口直径为一个圆台形花盆盆口直径为20cm20cm，盆底直径为盆底直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为1.5cm1.5cm，盆壁长，盆壁长15cm15cm，为了美化花盆的外，为了美化花盆的外观，需要涂油漆观，需要涂油漆. . 已知每平方米用已知每平方米用100100毫毫升油漆，升油漆，100100个这样的花盆需要多少油漆个这样的花盆需要多少油漆（精确到（精确到1 1毫升）？毫升）？ 2020151515152210000.1Scmm第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必

7、修必修5 知识探究（二）柱体、锥体、台体的体积知识探究（二）柱体、锥体、台体的体积 思考思考1:1:你还记得正方体、长方体和圆柱你还记得正方体、长方体和圆柱的体积公式吗？它们可以统一为一个什的体积公式吗？它们可以统一为一个什么公式？么公式？思考思考2:2:推广到一般的棱柱和圆柱，你猜推广到一般的棱柱和圆柱，你猜想柱体的体积公式是什么？想柱体的体积公式是什么？VSh高高h h底面积底面积S S 第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 思考思考3:3:关于体积有如下几个原理：关于体积有如下几个原理： （1 1）相同的几何体的体积相等；）相同的几

8、何体的体积相等； （2 2）一个几何体的体积等于它的各部分）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和；体积之和； （3 3）等底面积等高的两个同类几何体的）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等；体积相等； （4 4）体积相等的两个几何体叫做等积体）体积相等的两个几何体叫做等积体. . 第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 将一个三棱柱按如图所示分解成三将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？关系？ 1 12

9、23 31 12 23 3第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 思考思考4:4:推广到一般的棱锥和圆锥，你猜推广到一般的棱锥和圆锥，你猜想锥体的体积公式是什么？想锥体的体积公式是什么？ 13VSh高高h h底面积底面积S S 第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 思考思考5:5:根据棱台和圆台的定义，如何计根据棱台和圆台的定义，如何计算台体的体积？算台体的体积？ 设台体的上、下底面面积分别为设台体的上、下底面面积分别为SS、S S，高为，高为h h，那么台体的体积公式是什么？，那么台

10、体的体积公式是什么？高高h h下底面下底面积积S S 1()3VSS SS h上底面上底面积积S S 第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 思考思考6:6:在台体的体积公式中，若在台体的体积公式中，若S=SS=S，S=0S=0，则公式分别变形为什么？，则公式分别变形为什么？S=SS=SS=0S=01()3VSS SS h13VShVSh第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 例例3 3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重共重5.8kg5.8kg（铁的密度是（铁

11、的密度是7.8g/cm7.8g/cm3 3），已），已知螺帽的底面是正六边形，边长为知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm12mm，内孔直径为内孔直径为10mm10mm，高为，高为10mm10mm，问这堆，问这堆螺帽大约有多少个？螺帽大约有多少个？ V2956V2956（mmmm3 3）=2.956=2.956（cmcm3 3） 5.85.810001000(7.8(7.82.956)2.956)252252（个）（个） 第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 知识探究（三）知识探究（三）:球的体积球的体积思考思考1:1:从球的结构特征分析

12、，球的大小从球的结构特征分析，球的大小由哪个量所确定？由哪个量所确定？思考思考2:2:底面半径和高都为底面半径和高都为R R的圆柱和圆锥的圆柱和圆锥的体积分别是什么？的体积分别是什么？3VR柱313VR锥第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 思考思考3:3:如图，对一个半径为如图，对一个半径为R R的半球，其的半球，其体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小关系？关系？思考思考4:4:根据上述圆柱、圆锥的体积，你根据上述圆柱、圆锥的体积，你猜想半球的体积是什么？猜想半球的体积是什么？323VR球第一章第一章 1

13、.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 思考思考5:5:由上述猜想可知，半径为由上述猜想可知，半径为R R的球的的球的体积体积 ，这是一个正确的结论，你，这是一个正确的结论，你能提出一些证明思路吗？能提出一些证明思路吗？343VR第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 知识探究（四）知识探究（四）:球的表面积球的表面积思考思考1:1:半径为半径为r r的圆面积公式是什么？它的圆面积公式是什么？它是怎样得出来的？是怎样得出来的？2rS圆a1a2a3ana4第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才

14、之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 思考思考2:2:把球面任意分割成把球面任意分割成n n个个“小球面小球面片片”，它们的面积之和等于什么？，它们的面积之和等于什么？o第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 思考思考3:3:以这些以这些“小球面片小球面片”为底，球心为底，球心为顶点的为顶点的“小锥体小锥体”近似地看成棱锥，近似地看成棱锥，那么这些小棱锥的底面积和高近似地等那么这些小棱锥的底面积和高近似地等于什么？它们的体积之和近似地等于什于什么？它们的体积之和近似地等于什么？么？o o第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成

15、才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 思考思考4:4:你能由此推导出半径为你能由此推导出半径为R R的球的的球的表面积公式吗？表面积公式吗？24SR思考思考5:5:经过球心的截面圆面积是什么？经过球心的截面圆面积是什么？它与球的表面积有什么关系？它与球的表面积有什么关系？ 球的表面积等于球的大圆面积的球的表面积等于球的大圆面积的4 4倍倍第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 例例4 4 如图，圆柱的底面直径与高都等如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：于球的直径，求证： （1 1）球的体积等于圆柱体积的）球的体积等于圆柱体积的 ；（2 2）球的表面积等于圆柱的侧面积）球的表面积等于圆柱的侧面积. .23第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 思路方法技巧思路方法技巧第一章第一章 1.1 第第1课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 1. 1.已知正方体的八个顶点都在球已知正方体的八个顶点都在球O O的的球面上，且正方体的表面积为球面上，且正方体的表面积为a a2 2，求球，求球O O的表面积和体积的表面积和