三角形和多边形教师版好

1、 遂宁市戴氏教育培训学校 初一数学 主讲 陈老师氏教育中考名校冲刺教育中心【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用！】三角形和多边形（一）重点，难点，热点：一、三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形。要点：三条线段；不在同一直线上；首尾顺次相接2三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，A、B、C分别表示三角形的三个内角

2、3三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线注意：三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线注意：三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可（3）三角形

3、的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高注意：三角形的三条高是线段画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高二、三角形三边关系定理三角形两边之和大于第三边，故同时满足ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b三角形两边之差小于第三边，故同时满足ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可三、三角形的稳定性三角形的三边确定了，那

4、么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种：四、三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°表示： 在ABC中，A+B+C=180°（1）构造平角可过A点作MNBC(如图) 可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图）（2）构造邻补角，可延长任一边得 邻补角（如图）构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）结论2：在直角三角形中，两个锐角互余表示：在直角三角形ABC中，C=90°，那么A+B=90°（因为A+BC=180°）注意：

5、在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在ABC中，C=180°（A+B）在三角形中，已知三个内角的比或它们之间的关系，求各内角如：ABC中，已知A：B：C=2：3：4，求A、B、C的度数五、三角形的外角1意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角如图，ACD为ABC的一个外角，BCE也是ABC的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等2性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图中，ACD=A+B , ACD>A , ACD>B.三角形的一个外角与与之相邻的内角互补3外角个数过三角形的一个顶点有两

6、个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角六、多边形1、概念：由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做n边形。又称多边形。多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角2、正多边形：各边都相等，各内角也相等的多边形。3、对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。多边形的对角线条对角线n边形的内角和为（n2）×180°多边形的外角和为360° 从n边形（n3）的一个顶点出发的对角线有n-3条，把n边形分成n-2个三角形。4凸多边形与凹多边形在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的

7、直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形，今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形5正多边形由正方形的特征出发，得出正多边形的概念各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形七、镶嵌各种平面图形能作“平面镶嵌”的必备条件，是图形拼合后同一个顶点的若干个角的和恰好等于360°。用同一种正多边形镶嵌，只要正多边形内角的度数整除360°，这种正多边形就能作平面镶嵌。比如正三角形、正方形、正六边形能作平面镶嵌，而正

8、五边形、正七边形、正八边形、正九边形、的内角的度数都不能整除360°，所以这些正多边形都不能镶嵌。（二）典型例题：【例1】已知BD,CE是的高，直线BD,CE相交，所构成的角中有一个角为50°，则 分析:本题中由于没有图形, 的形状不确定,应分两种情况:是锐角三角形 是钝角三角形 解:50或130(过程略)【例2】,已知中,的角平分线BD,CE相交于点O,且，求【例3】如图，已知ÐA=27°，CFDE，ÐCBE=90°，ÐC=30°，求ÐADE的度数。 分析：1、要求一个角的度数，可以先看一下它所处的位置

9、：如果是某个三角形的一个内角，可以考虑用三角形内角和定理来计算，如果是某个三角形的外角，可以考虑用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和来计算。本题中的ÐADE只能是BFD或者AED的内角，不可能是某个三角形的外角。2、本题可以通过设未知数，找相等关系，列方程来解，体现了几何问题中的方程思想。解：设ÐADE=X°ÐCBE=90°，ÐC=30°（已知）ÐDEC=180°（ÐCBE+ÐC）=180°（90°+30°）=60°（三角形内角和定理）

10、又ÐDEC=ÐA+ÐADE（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）60°=27°+X°X°=60°27°=33°即ÐADE=33°【例4】三角形的最长边为10,另两边的长分别为和4,周长为c,求和c的取值范围.解:已知三角形的两边为10和4.那么第三边的范围应满足: 即6<<14.【例5】如图，求A+C+3+F的度数。分析：由已知B=30°，G=80°，BDF=130°，利用四边形内角和，求出3的度数，再计算要求的值。解：四边

11、形内角和为（4-2）×180°=360°3=360°-30°-80°-130°=120°又A C F是三角形的内角 A+C+F+3=180°+120°=300°【例6】已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的，求这个多边形的边数。分析：每一个外角的度数都是其相邻内角度数的，而每个外角与其相邻的内角的度数之和为180°。解：设此多边形的外角为x，则内角的度数为x 【例7】用正三角形、正方形和正六边形能否进行镶嵌？ 分析：可以进行镶嵌的条件是：一个顶点处各个内角和为360&#

12、176; 解：正三角形的内角为 正方形的内角为正六边形的内角为 可以镶嵌。一个顶点处有1个正三角形、2个正方形和1个正六边形。【例8】 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？已知：四边形ABCD的AC180°求：B与D的关系 分析：本题要求B与D的关系，由于已知AC180°，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案 解：如图，四边形ABCD中，AC180°。A+B+C+D=（42）×360°=180°，BD= 360°（AC）=180°这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补

13、【例9】 如图，AD是ABC的角平分线。DEAC,DE交AB于E。DFAB,DF交AC于F。图中1与2有什么关系？请说明理由。【10】如图，ABC中，A=36°，ABC=40°，BE平分ABC，E=18。CE平分ACD吗？请说明理由。（三）练习题：一、选择题1图中三角形的个数是（ ） A8 B9 C10 D112下面四个图形中，线段BE是ABC的高的图是（ ） A B C D3以下各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A1cm，2cm，4cm B8cm，6cm，4cm C12cm，5cm，6cm D2cm，3cm，6cm4三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（ ）

14、 A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D属于哪一类不能确定5如图，在直角三角形ABC中，ACAB，AD是斜边上的高，DEAC，DFAB，垂足分别为E、F，则图中与C（C除外）相等的角的个数是（ ） A、2 B、3 C、4 D、56下面各角能成为某多边形的内角和的是（ ） A430° B4343° C4320° D4360°_1_2_B_C_A_O7、 如图所示，在ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于，点P，若A=500 ，则 BPC等于（ ）A、90° B、130° C、270° D、315&

15、#176;8若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（ ） A九边形 B十边形 C十一边形 D十二边形 9一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（ ）A6条 B7条 C8条 D9条 10随着多边形的边数n的增加，它的外角和（ ）A增加 B减小 C不变 D不定 11若多边形的外角和等于内角和，它的边数是（ ） A3 B4 C5 D7 12一个多边形的内角和是1800°，那么这个多边形是（ ）A五边形 B八边形 C十边形 D十二边形13、 装饰大世界出售下列形状的地砖：正方形；长方形；正五边形；正六边形。若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供

16、选用的地砖共有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种二、填空题1如图，在ABC中，AD是中线，则ABD的面积 ACD的面积（填“”“”“”）。 （第1题图） （第2题图）2如图，ABC中，A = 40°，B = 72°，CE平分ACB，CDAB于D，DFCE，则CDF = 度。3一个四边形的四个内角中最多有 个钝角，最多有 个锐角。4一个多边形的每一个外角都等于30°，这个多边形的边数是 ，它的内角和是 。5、用一种正多边形铺满整个地面的正多边形只有 三种。三、解答题1. 如图，D是ABC的BC边上一点，B=BAD，ADC= 80°，BA

17、C = 70°，求（1）B的度数；（2）C的度数 2. 如图，线段AD，BC交于Q，OD平分CDA且交BC于H，OB平分ABC且交AD于G，求(A+C)：O3. 如图，BE是ABD的平分线，CF是ACD的平分线，BE与CF交于点G，若BDC=140°，BGC=110°，求A4如图，线段、相交于点，能否确定与的大小，并加以说明5如图，ABC中，A=36°，ABC=40°，BE平分ABC，E=18。CE平分ACD吗？请说明理由。课后作业：一、 填空题：1. 三角形的三个外角中最多有 锐角，最多有 个钝角，最多有 个直角2. 的两个内角的一平分线交于

18、点E，则 3. 已知的的外角平分线交于点D，那么= 4 如图，是三角形ABC的不同三个外角，则 5 在中等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于的两倍，那么 ， ， 6一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形为 边形 7内角和等于外角和的多边形是 边形 8一个多边形的内角的度数从小到大排列时，恰好依次增加相同的度数，其中最小角为100°，最大的是140°，那么这个多边形是 边形 6若多边形内角和等于外角和的3倍，则这个多边形是 边形 7多边形每个内角都相等，内角和为720°，则它的每一个外角为 8四边形的A、B、C、D的外角之比为1：2：3：4

19、，那么A：B：C：D= 9如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加 ，外角和增加 10、二、判断题 1由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形（ ）2当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加（ ） 3当多边形边数增加时它的外角和也随着增加（ ）4从n边形一个顶点出发，可以引出（n一2）条对角线，得到（n一2）个三角形（ ） 5四边形的四个内角至少有一个角不小于直角（ ）三、选择题 1一个多边形每个内角为108°，则这个多边形（ ）A四边形 B，五边形 C六边形 D七边形 2. 一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的外角和为（ ） A180° B360° C720° D1080° 3n边形的n个内角中锐角最多有（ ）个A1个 B2个 C3个 D4个 4多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是（ ）A八边形 B九边形 C十边形 D，十一边形5、某中学新科技馆铺