数系的扩充和复数概念和公式总结

1、数系的扩充和复数概念和公式总结1.虚数单位i:它的平方等于-1,即i2 i2. i与一1的关系：i就是一1的一个平方根，即方程x2= 1的一个根，方程x2= 1的另一个根 是i3. i 的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1.4 .复数的定义：形如a bi(a,b R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部.全体复数所成 的集合叫做复数集，用字母 C表示.复数通常用字母z表示，即z a bi(a,b R)5 .复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a bi(a,b R)，当且仅当b=0时，复数a+bi (a、 be R)是实数a；当bw0时，复数z

2、=a+bi叫做虚数；当a=0且bw0时，z=bi叫做纯虚数；aw0且b w0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当 a=b=0时，z就是实数0.一"正实数上：胃是实数曰实数0复数«+ bl)与负实数纯虚数显m是虚数(庭口，展R)堂壬0I非纯速数的虚数6 .复数集与其它数集之间的关系：甲奉Q奉C7 .两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.如果 a, b, c, deR,那么 a+bi =c+dia=c, b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小.当两个复数不全是实数时不能比较

3、大小.8 .复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b R)可用点Z(a, b)表示，这个建立了直角坐标系 来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.(1)实轴上的点都表示实数.(2)虚轴上的点都表示纯虚数,(3)原点对应的有序实数对为(0, 0)设 zi=a+bi, Z2=c+di(a、b、c、dCR)是任意两个复数，9 .复数 Zi 与 Z2 的加法运算律：Zi+Z2=(a+bi)+( c+di )=( a+c)+( b+d) i .10 复数 zi 与 Z2 的减法运算律：Zi-Z2=(a+bi)-( c+di )=(

4、a-c)+( b-d) i .11 .复数 Zi 与 Z2 的乘法运算律：Zi Z2= ( a+bi)( c+di )=( ac bd)+( bc+ad) i .12 .复数Zi与Z2的除法运算律：Z1Z2 =(a+bi) + (c+di尸acbdbcadi (分母实数化)2222c d c d.虚部不等13 .共腕复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共腕复数 于0的两个共腕复数也叫做共腕虚数.通常记复数z的共腕复数为z o例如z=3+ 5i与z=35i互为共腕复数14 .共腕复数的性质(D实数的共腕复数仍然是它本身/ 一、_ 22(2) Z Z Z Z(3)两个共

5、腕复数对应的点关于实轴对称i4.复数的两种几何意义:i5复数 Z a bi a,b R几个常用结论，22(i) i i 2i , (2) i i 2i对应uuu*向量OZ(3)i i .(4)ii i点 Z(a,b) i6.复数的模：对应(5)复数Z a bi的模Z,a2b22, 2(6) a bi a bi a b2009 20i4年高考文科数学试题分类汇编一一复数2. (2009浙江卷文)设 z=i+i (i是虚数单位)，则：+z2=(A) i + i(B) i+i(C) i i.、, 3 i-3. (2009山东卷又)复数-r等于()i i(A)i + 2i(B)i-2i(C)2+i4.

6、 (2009安徽卷文)i是虚数单位，i (i + i)等于()(A)i + i(B) i i(C)i-i、 一 5i5. (2009天津卷又)i是虚数单位，T=()2 i(A) i + 2i(B) i 2i(C) i - 2i)(D) i 一 i(D) 2- i(D) i+i(D) i + 2i6.（2009宁夏海南卷文）复数3+2i2 3i(A) 1(B) 1(C) i(D) - i17. （2009辽宁卷又）已知复数 z=12i,那么2=（）（A）介乎 （B）害一W5555218. （2010湖南又数1）复数等于（1 i1 （C）5(D)5 -5 i(A) 1 + i(B) 1 i(C)

7、1+iM (2010全国卷1 2理数)复数(£ ) 2=()(D) 1 一 i(A) 3 4i(B) -3+4i(C) 3 4i11.（2010陕西文数）复数z=Wr在复平面上对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限(D) 3+ 4i)(D)第四象限1+2ii12. (2010辽宁理数(2)设a, b为实数，若复数 -7-7 =1 + i ,则()a十bi3,1(A)a = 2 , b = 2(B)a= 3,b= 11 .3一.八(C)a=2 , b=2(D)a=1,b=3a+ 2i16. (2010山东又数)已知 一一 = b+i (a, b?R),其中i为虚数单位，

8、则 a+b=()i(A) - 1(B) 1(C) 2(D) 317. （2010北京文数（2）在复平面内，复数 6+5i , -2+3i对应的点分别为 A B,若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）21. (2010 广东理数)若复数 Z1=1 + i , Z2 = 3i ,则 Z1 Z2=(A) 4+2 i22. (2010福建文数)(B) 2 + i(C) 2+2 i1 + i ai是虚数单位，（）等于（）1 i1) i是虚数单位，计算i + i2+i 3=()(B) 1(C) - i3+ ii是虚数单位，复数 -一r =()1 i(C) 2+4i(D) 4+ i(D) i(D) 2

9、- i(D) 1 一 i)(D) 3(A) 4+8i18. (2010四川理数(A) 119. (2010天津文数)(A) 1 + 2i20. (2010天津理数)(A) 1 + i(B) 8+ 2i（B） 2+ 4ii是虚数单位，复数（C） 5+ 5i（D） 1 -2i1 + 3i(A) i(B) i(C) 1(D) 123. （2010全国卷1理数（1）复数3+2i23i(A) i(B)-i(C) 12- 13i(D) 12 +13ia+ 2i,24. (2010 山东理)已知 一一 =b+i (a, ibCR）,其中i为虚数单位，则a+b=（）(A) 1(B) 1(C) 2(D) 3,.

10、,、一 一、“, i 226.2011年北东理复数-=1 + 2i(A)(B) i(C)43.i 5 5(D)+3i29. （2011年安徽理（1）设i是虚数单位，复数 詈为纯虚数，则实数 a为（）2 i、,一一 1'一1（A）2（B） 2（C）-2（D）-30. （2011年福建文）i是虚数单位，1 + /等于（ ）(A) i(B) i(C) 1 + i(D) 1-i31. （2011年广东理1）设复数z满足（1 + i ） z=2,其中i为虚数单位，则 Z=（）(A) 1 + i(B) 1-i(C) 2+2i(D) 2- 2i32. （2011年广东文1）设复数z满足iz=1,其中i为虚数单位，则z=（(A) - i(B) i(C) 1 1+i on-1133. (2011年湖北理1) i为虚数单位，则(-一r )=(1 i(D) 1(A) - i(B) 1(C) i(D) 155.12012湖南文2复数z=i （i +1） （i为虚数单位）的共轲复数是（(A) 1-i(B) 1+i(C) 1-i(D)