第1章 1.4 计数应用题

1、.1.4计数应用题1利用两个根本计数原理、排列与组合，解决较为复杂的计数问题重点2掌握解决有限制条件的排列组合问题的思想、策略和方法难点小组合作型可化为排数队问题的计数问题1有五张卡片的正、反面上分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任三张并排放在一起组成三位数，共可以组成_个不同的三位数2某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，那么同类节目不相邻的排法有_种3从集合0,1,2,3,5,7,11中任取3个元素分别作为直线方程AxByC0中A，B，C，所得的经过坐标原点的直线有_条用数字表示【精彩点拨】1法一直接法，分有“0,1卡和无“0,1卡两

2、类；法二排除法，去掉0在百位上的所有情形2“插空法分类求解3C0，从1,2,3,5,7,11中任取两个元素给A，B便可【自主解答】1法一直接法：依“元素分类，满足条件的三位数有以下三类：不要0与1的有CA·23个；要1不要0的有CA·22个；要0不要1的有2C·22·A个故共可组成不同的三位数：CA·23CA·222C·22·A432个法二间接法：把百位、十位、个位看作三个位置，从5张卡片中任选3张分别放到这三个位置上有C·A种，再正反面交换，有23种，故总数为CA·23，其中0在百位上时不符合

3、要求，有CA·22，故可得到不同的三位数CA·23CA·22432个2分两类：1先排歌舞类有A6种排法，再将其余的三个节目插空如下图，或者，此时有2AA72种；2先排歌舞类有A6种排法，其余的两个小品与相声排法如图，或者，有4AC48，所以共有7248120种不同的排法3因为直线过原点，所以C0，因此只需从1,2,3,5,7,11中任取两个元素分别作为A，B便可，共有A种不同取法，对应A30条不同直线【答案】143221203301本例2在求解时，常因注意不到“同类节目不相邻导致错解或思维不全面2实际问题中某些安排、选派、选举等问题，可以转化为排队问题求解，但要搞

4、清特殊元素或位置选择恰当的方法计数再练一题1从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是_. 【导学号：29440018】【解析】首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共A20种排法，因为，所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是20218.【答案】18分组、分配问题中的计数问题有6本不同的书，按照以下要求处理，分别有多少种不同的分法：1将6本书分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本；2将6本书分给三个人，甲得一本，乙得两本，丙得三本；3将6本

5、书分给三个人，一人一本，一人两本，一人三本；4将6本书平均分给三个人，每人两本【精彩点拨】【自主解答】1不平均分组问题先在6本书中任取一本，作为一堆，有C种取法，再从余下的5本书中任取两本，作为一堆，有C种取法，最后从余下的三本中取三本作为一堆，有C种取法，故一共有CCC60种不同的分法2不平均定向分配问题由1知，分成三堆的方法有CCC种，而每种分组方法又仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得两本，丙得三本的方法也是CCC60种3不平均不定向分配问题由1知，分为三堆的方法有CCC种，但每种分组方法又有A种分配方法，故一人一本，一人两本，一人三本的方法有CCCA360种4平均分配问题将6本书平均分

6、给三个人时，三个人一个一个地来取书，甲从6本书中任取2本的方法有C种，甲不管用哪一种方法获得2本书后，乙再从余下的4本书中取2本，有C种方法，甲、乙不管用哪种方法各取两本书后，丙从余下的2本书中取出2本书，有C种方法，所以一共有CCC90种方法1此题属于典型分配问题，12属于逐个分配，直接应用分步计数原理3采用先分组再分配的方法2解决此类问题要注意分组的各种类型的计算方法，对于分配问题，可以按要求逐个分配，也可先分组再分配再练一题21在本例中，将6本书分给甲、乙、丙三个人，甲得四本，乙、丙两人各一本，有多少种不同的分法？2在本例中，假设6本书完全一样，分给甲、乙、丙三位同学，每人至少有一本，有

7、多少种不同的分法？【解】1甲从6本书中任取4本的方法有C种，甲不管用哪一种方法获得4本书后，乙再从余下的2本书中取1本，有C种方法，甲、乙不管用哪种方法取书后，丙从余下的1本书中取出1本，有C种方法，所以一共有CCC30种方法2隔板法：把6本书排成一排摆好如图“，因为书都一样，所以从中间的5个位置中隔上两块板，甲、乙、丙只要按从左到右的顺序依次拿取相应的书即可所以共有C10种方法探究共研型涂色中的计数问题探究在使相邻区域涂色不一样时，应采用什么计数原理进展？【提示】在相邻区域涂色不一样问题中，相邻区域涂色时采用分步计数原理进展，但不相邻区域颜色可一样，因此又要用到分类计数原理1423图1

8、73;4­1用五种不同的颜色给图1­4­1中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色1共有多少种不同的涂色方法？2假设要求相邻有公共边的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？【精彩点拨】1无限制条件的涂色问题，只要符合题意便可2有限制条件的涂色问题，注意相邻区域及对称区域的颜色【自主解答】1由于1至4号区域各有5种不同的涂法，故依分步计数原理知，不同的涂色方法有54625种2第一类：1号区域与3号区域同色时，有5×4×1×480种涂法第二类：1号区域与3号区域异色时，有5×4×3×3180种涂法根据分类计数

9、原理知，不同的涂色方法有80180260种1涂色问题的根本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的区域可以同色因此一般以不相邻区域同色，不同色为分类根据，相邻区域可用分步涂色的方法涂色2涂色问题往往涉及分类、分步计数原理的综合应用，因此，要找准分类标准，兼顾条件的情况下分步涂色再练一题3如图1­4­2所示的几何体是由一个三棱锥PABC与三棱柱ABCA1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的外表染色底面A1B1C1不涂色，要求相邻的面均不同色，那么不同的染色方案共有_种. 【导学号：29440018】图1­4­2【解析】先涂三棱锥PABC的三个侧面，

10、然后涂三棱柱的三个侧面，由分步计数原理，共有3×2×1×212种不同涂法【答案】121甲组有男同学5名，女同学3名，乙组有6名男同学，2名女同学，从甲、乙两组中各选出2名同学，那么选出的4人中恰有1名女同学的不同选法有_种【解析】第一类，选出的1名女生出自甲组，选法为CCC225种；第二类，1名女生出自乙组，选法为CCC120种共有225120345种【答案】3452某公司招聘了8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，那么不同的分配方案共有_种【解析】第一步，先将两名英语翻译人员

11、分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C种分法，然后再分到两部门去共有CA种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C种方法由分步计数原理得共有2CAC36种分配方案【答案】363从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展览，假如甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有_种. 【导学号：29440019】【解析】分步完成：第一步，从甲、乙以外的8种种子中选1种放入1号瓶内；第二步，从剩下的9种种子中选5种放入余下的5个瓶子内故不同的放法种数

12、为CA120 960种【答案】120 9604假如在一周内周一至周日安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有_种【解析】先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：1,2，2,3，3,4，4,5，5,6，6,7，任选一种为C，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A种，按照分步计数原理可知共有不同的安排方法CA120种【答案】1205有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，假设每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息