第1章 §3 柱坐标系和球坐标系

1、.§3柱坐标系和球坐标系1.理解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法.重点2.理解柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.重点3.体会空间直角坐标、柱坐标、球坐标刻画点的位置的方法的区别.易错易混点根底·初探教材整理1柱坐标系和球坐标系1.柱坐标系如图1­3­1，建立空间直角坐标系O­xyz.设Mx，y，z为空间一点，并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为r，那么这样的三个数r，z构成的有序数组r，z就叫作点M的柱坐标，这里规定r，z的变化范围为0r，02，z.图1­3­1特别地，r常数，表示的是以z轴为

2、轴的圆柱面；常数，表示的是过z轴的半平面；z常数，表示的是与xOy平面平行的平面.2.球坐标系设Mx，y，z为空间一点，点M可用这样三个有次序的数r，来确定，其中r为原点O到点M间的间隔 ，为有向线段与z轴正方向所夹的角，为从z轴正半轴看，x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段的角，这里P为点M在xOy平面上的投影如图1­3­2.这样的三个数r，构成的有序数组r，叫作点M的球坐标，这里r，的变化范围为0r<，0，02.图1­3­2特别地，r常数，表示的是以原点为球心的球面；常数，表示的是以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面；常数，表示的是过z轴的半平面.判

3、断正确的打“，错误的打“×1柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同.2在柱坐标系Mr，z中，表示OM与y轴所成的角.3球坐标中，r表示OM的长度.【解析】1柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同.2×表示OM与x轴所成的角.3球坐标中r表示OM的长度.【答案】12×3教材整理2空间中点的坐标之间的变换公式设空间一点M的直角坐标为x，y，z，柱坐标为r，z，球坐标为r，那么空间直角坐标柱坐标系球坐标系x，y，z填空：1柱坐标的直角坐标是_.2球坐标的直角坐标是_.【解析】1x2cos 1，y2sin ，z1.所以的直角坐标是1，1.2x4×sin 

4、5;cos ，y4×sin ×sin ，z4cos 2.的直角坐标是，2.【答案】11, ，12， ，2质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型把点的柱坐标化为直角坐标根据以下点的柱坐标，分别求直角坐标.1；2.【精彩点拨】【自主解答】设点的直角坐标为x，y，z.1r，z，1,3为所求.2r，z，1,1,5为所求.点r，z是三维空间坐标系中的点的坐标，在平面xOy内实际为极坐标系，且r0,02，在竖直方向上，z为任意实数.化点的柱坐标r，z为直角坐标x，y，z，需要运用公式转化

5、为三角函数的求值与运算即得.再练一题1.将以下各点的柱坐标分别化为直角坐标.1；21，0.【解】设点的直角坐标为x，y，z，1r，z，1,1为所求.2r，z1，0，1,0,0为所求.把点的球坐标化为直角坐标把以下各点的球坐标化为直角坐标.1；2.【精彩点拨】【自主解答】设点的直角坐标为x，y，z，1r，1，1，为所求.2r，为所求.首先要明确点的球坐标r，中角，的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0，02.化点的球坐标r，为直角坐标x，y，z，需要运用公式转化为三角函数的求值与运算.再练一题2.将以下各点的球坐标分别化为直角坐标.1；23，.【解】设点的直角坐标为x，y，z.1r

6、，为所求.2r，3，0,0，3为所求.探究共研型化点的坐标为柱坐标或球坐标探究1空间中点的坐标有三种形式：直角坐标、柱坐标和球坐标，它们各有何特点？【提示】设空间中点M的直角坐标为x，y，z，柱坐标为r，z，球坐标为r，它们都是有序数组，但意义不同.直角坐标为三个实数；柱坐标分别表示间隔 、角、实数；球坐标分别表示间隔 、角、角.探究2在空间的柱坐标系中，方程rr0r0为不等于0的常数，0，zz0分别表示什么图形？ 【提示】在空间的柱坐标系中，方程rr0表示中心轴为z轴，底半径为r0的圆柱面，它是上述圆周沿z轴方向平行挪动而成的.方程0表示与zOx坐标面成0角的半平面.方程zz0表示平行于xO

7、y坐标面的平面，如下图.常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面.正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，如图1­3­3，建立空间直角坐标系A­xyz，以Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标.图1­3­3【精彩点拨】先求C1的直角坐标，再根据柱坐标、球坐标与直角坐标的关系，求得其柱坐标、球坐标.【自主解答】点C1的直角坐标为1,1,1.设点C1的柱坐标为r，z，球坐标为r，其中r0，r0,0，02.由公式及得及得及结合图形，得，由cos 得tan .所以点C1的直角坐标为1,1,1，柱坐标为，球坐标为，其

8、中tan ，0.化点M的直角坐标x，y，z为柱坐标r，z或球坐标r，需要对公式以及进展逆向变换，得到以及提醒：在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值.再练一题3.点M的柱坐标为，求M关于原点O对称的点的柱坐标.【解】M的直角坐标为M关于原点O的对称点的直角坐标为1，1，1.1，1，1的柱坐标为：212122，.tan 1，又x<0，y<0，其柱坐标为，M关于原点O对称点的柱坐标为.构建·体系1.要刻画绕地球运转的某气象卫星的位置，应合适运用A.极坐标系B.空间直角坐标系C.柱坐标系D.球坐标系【解析】由题意知D正确.【答案】D2.点A的柱坐标为1,0,1，那么

9、点A的直角坐标为A.1,1,0B.1,0,1C.0,1,1D.1,1,1【解析】由点A的柱坐标为1,0,1知，r1，0，z1，故xrcos 1，yrsin 0，z1，所以直角坐标为1,0,1.【答案】B3.点A的球坐标为，那么点A的直角坐标为_. 【导学号：12990015】【解析】x3×sin ×cos 0，y3×sin ×sin 3，z2×cos 0，直角坐标为0,3,0.【答案】0,3,04.设点M的直角坐标为1，4，那么它的柱坐标是_.【解析】r2，tan ，x>0，y<0，柱坐标为.【答案】5.点P的柱坐标为，点B的球坐标为，求这两个点的直角坐标.【解】设点P的直角坐标为x，y，z，那么xco