2016年江苏省南通市高考数学一模试卷(解析版)

1、2021年省市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分.1. 集合 A=x| - 1 v xv 2 , B= - 1, 0, 1, A AB=.2. 假设复数z=a+2i i为虚数单位，a R满足| z| =3，那么a的值为.3从1, 2, 3, 4这四个数中依次随机地取2个数，那么所取2个数的乘积为偶数的概率是.4根据如下列图的伪代码，可知输出的结果S为厂；:$40:tIf:White 510: £ :：/<-/ + !I:EcdWlilc!:L丿5. 为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了 10000户家庭的月消费金额单位：元，所有数据均在

2、区间0, 4500上，其频率分布直方图如下列图，那么被调查的 10000户家 庭中，有户月消费额在1000元以下消费元6. 设等比数列an的前n项和为Sn.假设S2=3, S4=15，那么S6=.7. 在平面直角坐标系 xOy中，双曲线b>0过点p 1, 1，其一条 渐近线方程为宀宀,那么该双曲线的方程为.8正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，那么三棱锥 B1 - ADE的 体积为.9假设函数Xax (x+2) ( rCOa, b R为奇函数，那么f a+b的值为.10.塚口廿寻今，那么程丄工二一的值是.11. 在平面直角坐标系 xOy中，点A 1, 0

3、B4, 0假设直线x- y+m=0上存在点P 使得pa=PB,那么实数 m的取值围是.2* 1 » - 1 »» f12. 边长为6的正三角形 ABC , BDpBC，他虬,AD与BE交点P,那么尸沪FD的 值为.13. 在平面直角坐标系 xOy中，直线1与曲线y=x2x> 0和y=x3x> 0均相切，切点貨1分别为AX1, y1和BX2, y2，那么 的值为.14. 函数 f x=2ax2+3b a, b R，假设对于任意 x - 1, 1，都有 | f x| < 1 成立， 那么ab的最大值是.二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请作答

4、，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.15. 在 ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a, b, c, a+b - ca+b+c=ab.1求角C的大小；2丨假设c=2acosB, b=2，求 ABC的面积.16. 如图，在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点.求 证：1BE 丄 AC ;2BE /平面 ACD 1.2 217. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆青+宁过点A 2, 1离心率q. b1求椭圆的方程；2假设直线l: y=kx +m kz 0与椭圆相交于 B , C两点异于点A线段BC被y轴 平分，且AB丄AC

5、 ,求直线l的方程.y14;18如图，阴影局部为古建筑物保护群所在地，其形状是以01为圆心，半径为1km的半圆面公路I经过点0,且与直径 0A垂直，现方案修建一条与半圆相切的公路 PQ点P在 直径0A的延长线上，点 Q在公路I上，T为切点.1按以下要求建立函数关系： 设/ 0PQ= a rad,将厶0PQ的面积S表示为a的函数； 设OQ=t km，将厶OPQ的面积S表示为t的函数.2请你选用1中的一个函数关系，求 OPQ的面积S的最小值.19. 函数 f x=a+. _Jnx a R.1求fx的单调区间；2试求fx的零点个数，并证明你的结论.20. 假设数列an中存在三项，按一定次序排列构成等

6、比数列，那么称 an为 等比源数列 1数列an中，a1=2, an+1=2an - 1. 求an的通项公式； 试判断an是否为 等比源数列"，并证明你的结论.2数列an为等差数列，且 a1工0, an Z n N*，求证：an为 等比源数列"10分，共计20分.解答时应【选做题】在21、22、23、24四小题中只能选做两题，每题写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4&shy;1 :几何证明选讲21. 如图，圆 O的直径AB=10 , C为圆上一点,BC=6 .过C作圆O的切线I , AD丄I于点D，且交圆O于点E,求DE长.22.矩阵，求逆矩阵M选修4&s

7、hy;2 :矩阵与变换的特征值.选修4&shy;4 :坐标系与参数方程23.在极坐标系中，点AC的极坐标方程.A2, ,圆C的方程为P二诟曲口可圆心为点C，求直线选修4&shy;5 :不等式选讲24. a>0, b>0,求证：a6+b6> aba4+b4.【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.25. 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SA丄平面ABCD , AB=1 , AD=AS=2 ,P是棱SD上一点，且'?.1求直线AB与CP所成角的余弦值；2求二面角 A - PC- D的

8、余弦值.n N*.26. 函数 fo x=x sinx+cosx，设 fn x 丨是 fn x 丨的导数,1求f1 X，f2 X的表达式;2写出fnx的表达式，并用数学归纳法证明.2021年省市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14小题，每题5分，共计70分.1. 集合 A=x| - 1 vxv 2 , B= - 1, 0, 1, A AB=0, 1.【考点】交集与其运算.【分析】直接根据交集的定义即可求出.【解答】解：集合 A=x| - 1 v xv 2, B= - 1, 0, 1,那么 A nB=0, 1,故答案为：0, 1.3从1, 2, 3, 4这四个数中依次随机

9、地取 2个数，那么所取2个数的乘积为偶数的概率是 亏.【考点】 古典概型与其概率计算公式.【分析】列举可得共6种情形，其中满足所取2个数的乘积为偶数的有 5种情形，由概率公 式可得.【解答】 解：从1, 2，3，4这4个数中依次随机地取 2个数有1，2， 1，3， 1，4， 2，3， 2，4， 3，4共 6 种情形，其中满足所取2个数的乘积为偶数的有1，2， 1，4， 2，3， 2,4， 3，4，共5种情形，所求概率二，故答案为：O4根据如下列图的伪代码，可知输出的结果S为14:WOI*II;:Whilej1!I JU；:Eod WhikI；Pnnt5:LJ【考点】伪代码.一直求出不满足【分析

10、】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用, 循环条件时s的值.【解答】解：模拟执行程序，可得S=0, I=1 ,S=1, I=2 ,S=1+22=5, I=3,S=1+22+32=14, I=4满足条件sw 10,执行循环, 满足条件Sw 10,执行循环, 满足条件Sw 10,执行循环,不满足条件SW 10,退出循环，输出 S的值为14.故答案为：14.5.为了了解居民家庭网上购物消费情况， 某地区调查了 10000户家庭的月消费金额 单位： 元，所有数据均在区间0, 4500上,其频率分布直方图如下列图，那么被调查的 10000户家 庭中，有 750户月消费额在1000元以

11、下【考点】频率分布直方图.【分析】 直方图中小矩形的面积表示频率，即可求出答案.【解答】 解：由直方图可得 1000元以下共有10000X 0.00005+0.0001X 500=750户, 故答案为：750.6.设等比数列an的前n项和为Sn.假设S2=3, S4=15，那么S6= 63【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和.【分析】直接利用等比数列的性质，求解即可.【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn.假设S2=3, S4=15 , 所以 S2,S4-S2,S6 - S4,也是等比数列，S4 -S22=S2? S6- S4，即 122=3? S6 - 15，解得S6=63故答案为：

12、63.7.在平面直角坐标系xOy中，双曲线2 2青备G>o,社>0过点p 1, a b1,其一条渐近线方程为广2 ,那么该双曲线的方程为2x2- y2=1 .【考点】双曲线的标准方程.【分析】 根据题意和双曲线的渐近线方程列出方程组，求出a2和b2的值，即可求出双曲线的方程.【解答】解：由题意可得,解得丄,b2=1,所以双曲线的方程为 2x2-y2=1,故答案为：2x2 - y2=1 .8正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，那么三棱锥 B1 - ADE的 体积为了二.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】由题意，三棱锥 Bl- ADE的体积=三棱

13、锥D - BiAE的体积，即可得出结论. 【解答】 解：由题意，三棱锥 Bi - ADE的体积=三棱锥D - BiAE的体积12故答案为9假设函数a, b R为奇函数,那么f a+b的值为 -1【考点】函数的值；分段函数的应用.【分析】由中函数fx为奇函数，f- x= - fx恒成立，可得a, b的值，进而可得f a+b的值.【解答】解：函数为奇函数,X故f- x= - f x恒成立,x2 -工0-fX=一 乂亠 一xVOfa+b=f 1=1 - 2= - 1,故答案为：-1.t z . 1厂 5 兀 >*2 /510.凤口兀十肓予，那么Bini孟十和口 - 的值是吞.【考点】两角和与差

14、的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用.【分析】由条件利用诱导公式，同角三角的根本关系，化简要求的式子可得结果.,Y 1. fz JT 、兀【解答】 解：|1-，那么'-=-sinx+f 一 cin v+-兀+1 -=1+1 -15011 1 k X 1&+1SID二-)：39g故答案为：旦911.在平面直角坐标系 xOy中，点A 1, 0B4, 0假设直线x- y+m=0上存在点P 使得paJ-PB,那么实数m的取值围是2 【考点】两点间距离公式的应用.【分析】设Px, x+m，由PA今PB,可得4|PA|2=| PB|2,禾U用两点之间的距离公式化为：x+m2=4 - x2,

15、可得：m= - x土 Jg十疋2 , x - 2, 2.通过三角函数代换即可得出.【解答】 解：设 Px, x+m，/ PAj-PB,A 4| PA| 2=| PB|2,4x - 12+4x+m2=x-42+x+m2,化为x+m2=4 - x2,.4 - x2>0，解得 x - 2, 2,.m= - x 土！/-,令 x=2cos 0, 0 0, n ,m= - 2cos 0± 2sin 0jr=± 2血皿6 士 -、2近,实数m的取值围是'1. 2 .,故答案为：12.边长为6的正三角形 ABC ,AD与BE交点P,那么一的值为 3【考点】平面向量数量积的运

16、算.【分析】由题意作图辅助，从而可得点P是正三角形ABC的中心，从而可求平面向量的数量积.D , E分别为线段BC , AC的中点，点P是正三角形 ABC的中心，* 22 V5.话丨廿|= 一？|BE|=？ 一 ?|AB|=2 :;,111-1=.且/ BPD=故觅 帀同西11 73 cop6xl =3,故答案为：3.13. 在平面直角坐标系 xOy中，直线1与曲线y=x2x> 0和y=x3x> 0均相切，切点 厂 4分别为Axi, yi和BX2, y2，那么的值为3"【考点】抛物线的简单性质.【分析】 求出导数得出切线方程，即可得出结论.【解答】解：由y=x2,得y=2

17、x，切线方程为y- x/=2xi x- xj,即y=2x ix - xi2, 由 y=x3,得 y'=3x2,切线方程为 y-X23=3x 22x-X2，即 y=3x 22x- 2x23, 2xi=3x22, xi2=2x23,Kl| 4|两式相除，可得一一=亠.4故答案为：g.14. 函数 f x=2ax2+3b a, b R，假设对于任意 x - 1, 1，都有 |f x| < 1 成立, 那么ab的最大值是【考点】函数的值；二次函数的性质.【分析】由对于任意x - 1, 1，都有|fx| w 1成立，可得a, b对应的可行域， 进而根据根本不等式得到ab的最大值.【解答】

18、解：函数f x=2ax2+3b图象的顶点为0, 3b，假设假设对于任意 x - 1, 1，都有|fx| w 1成立，那么-L<2a+3b<l其对应的平面区域如以下列图所示:令Z=ab，那么在第一，三象限a, b同号时ab取最大值,由 2a+3b=1，a> 0, b >0 得:ab<24124故答案为:二、解答题：本大题共6小题，共计90分请作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在 ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a, b, c, a+b - ca+b+c=ab.1求角C的大小；2丨假设c=2acosB, b=2，求 ABC的面

19、积.【考点】 余弦定理.【分析】1利用余弦定理表示出 cosC,把等式整理后代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数.2由正弦定理可得 sinA+B=2sinAcosB，由两角和的正弦公式可求得sin A - B=0,根据-nV A - B V n,可求A - B=0，可得a=b=2，利用三角形面积公式即可计算得解.【解答】 解：1在厶 ABC 中， a+b - c a+b+c=ab, a+b2 - c?=ab,l卩 a2+b2- c2 = ab,. cosC=12ab2，/ C为三角形角，2兀二 c=3 .2. c=2acosB,由正弦定理可得sin A+B=2sinAcosB，由两角和

20、的正弦公式可得 sinAcosB +cosAsinB=2sinAcosB , sin A - B=0，又-nV A - B V n, A - B=0，可得：a=b=2, ABC =-absi nC4L'=16. 如图，在直四棱柱 ABCD - AlBlClDl中，底面ABCD是菱形，点E是AiCi的中点.求 证：1BE 丄 AC ;2BE /平面 ACD i.【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质.【分析】1推导出BAi=BCi，点E是AiCi的中点，从而BE丄AiCi，由此能证明BE丄 AC .2连结BiDi,交AiCi于点E，连结AC,BD，交于点0 ,连结ODi,推导

21、出四边形BEDiO 是平行四边形，由此能证明 BE /平面ACDi.【解答】 证明：i：在直四棱柱 ABCD - AiBiCiDi中，底面ABCD是菱形， BAi=BCi,点E是AiCi的中点，- BE 丄AiCi,/ AC / AiCi,二 BE 丄 AC .2连结BiDi，交AiCi于点E，连结AC , BD，交于点O,连结ODi,在直四棱柱 ABCD - AiBiCiDi中，底面ABCD是菱形，- DieEbO,.四边形BEDiO是平行四边形，I 3 BE / ODi,ODi?平面 ACD i, BE?平面 ACDi, BE /平面 ACD i.i7.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆

22、过点A 2, i，离心率i求椭圆的方程;BC被y轴2假设直线I: y=kx+m心0与椭圆相交于 B , C两点异于点 A，线段 平分，且AB丄AC ,求直线I的方程.b2=a2 - c2,与点A2, 1，联立即可求得a, b 与 c的值，即可求得椭圆方程；2将直线方程代入椭圆方程，求得关于X的一元二次方程，利用韦达定理求得xb+xc=-,根据线段BC被y轴平分，即xb+xc=0,即可求得m的值，根据向量的坐标表示求得-匕1=0，即可求得k的值，将点A代入直线方程，当【解答】解：1由条件知椭圆2 2-：'- 离线率a b，不满足，故求得k的值.，将点A 2,.b2=a21，代入椭圆方程得

23、p*二解得弋2 2故椭圆方程为：二2将直线 I: y=kx +m k 丰 0代入椭圆方程，x2+4 kx+m2 - 8=0 , 整理得：1+4k2x2+8mkx+4m2-8=0 ,线段BC被y平分得：xb+xc=-石=0!+4k2，kz 0, m=0 ,.B , C 关于原点对称，设 Bx, kx，C- x, - kx,x2=0,又 AB 丄 AC , A2, 1，* * o*_?£= X- 2- x- 2+ kx - 1- kx - 1=5 - 1+k2解得k= ± 1 ,由k=亠，直线y=1过点A2, 1丨故k=_不符合题意,所以，此时直线I的直线方程y= -7,-x.

24、18如图，阴影局部为古建筑物保护群所在地，其形状是以01为圆心，半径为1km的半圆面公路I经过点0,且与直径 0A垂直，现方案修建一条与半圆相切的公路 PQ点P在 直径0A的延长线上，点 Q在公路I上，T为切点.1按以下要求建立函数关系： 设/ 0PQ= a rad,将厶0PQ的面积S表示为a的函数； 设OQ=t km，将厶OPQ的面积S表示为t的函数.2请你选用1中的一个函数关系，求 OPQ的面积S的最小值.那么sin aS；3=x - x3,PO=1OQ=OP?tan a= 1+ 广11 I OPQ 的面积 S=OP?OQ=r? 1 +?tana;IsinQI1+<-:?tana=：

25、 ?_1 /t:- J ?tan a； sintL【考点】弧度制的应用；函数解析式的求解与常用方法；三角函数的最值.【分析】1结合图形，用sin a求出PO1、0P以与0Q的值，计算 OPQ的面积S即 可；1J .,1二 i匚：,°P=",，设 OQ=t km，/ OQP=2 0,那么tanOP=OQ?tan2 0=2t OPQ的面积 S=OP?OQ=？.23 |t2-l?t=亘2用1中函数关系，S=设 x=>0,函数 fx=x-那么 f' x=1 - 3x2,v;令 f' x=0,解得 x=x3,x>0; x 0,丨时，f'x 0, f

26、x是增函数,VI-,.当x=二丄时，f X取得最大值是fx+s时，f'xv 0, fx是减函数;2V39 OPQ的面积S的最小值是19. 函数 f x=a+ .lnx a R.1求fx的单调区间；2试求fx的零点个数，并证明你的结论.【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理.【分析】1求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间;2求出函数的最小值，通过讨论 a的围，从而求出函数的零点的个数即可.0, +7【解答】 解：1函数f X的定义域是r-r 1f'x=.一Inx+ .一?一= -0 v xv e令 f' x 0,解得：xe-2，令 f

27、'xv 0，解得: -fx在0, e-2递减，在e-2, +8递增；2由1得：fxmin=fe-2=a-二，显然a> -时，fx> 0，无零点,2时，fx=0，有1个零点，eav 一时，fxv 0,有2个零点.e20. 假设数列 an中存在二项，按一定次序排列构成等比数列，那么称 an为 等比源数列1数列an中，ai=2，an+i=2an- 1. 求an的通项公式； 试判断an是否为 等比源数列"，并证明你的结论.2数列an为等差数列，且 ai丰0,舛 Z n N*，求证：an为 等比源数列"【考点】数列的应用.【分析】1由an+i=2an- 1，可得a

28、n+1-仁2an-1，利用等比数列的通项公式即可得 出.假设 an为等比源数列"，那么此数列中存在三项：ak v amv an, kv mv n.满足_ =akan, 代入化为：2m-k+1 2m2+1=2n-1+2n-k+1，利用数的奇偶性即可得出.2设等差数列 an的公差为d,假设存在三项使得 且二帆皿，kv nv m.展开：2a1n - 1+ n- 12d=a1k - 1+ m- 1+ k 1 m- 1d，当 n - 1 既是k - 1 与m- 1的等比中项，又是k - 1与m- 1的等差中项时，原命题成立.【解答】解：1 tan+1=2an- 1 , an+1 -仁2an-

29、1，数列an- 1是等比数列，首项为 1,公比为2.二an-仁2n-1, an=2n 1+1.假设an为等比源数列"，那么此数列中存在三项：akv amv an，kv mv n.2m-2+1=2n-满足也-=akan， 2化为：m-1+1 2= 2k-1+1 2n-1+1 ，22m- 2+2m=2 k+n - 2+? n_ 1 +2kT.-k+1可知：左边为偶数，而右边为奇数，因此不可能成立. 故an不是 等比源数列".2设等差数列an的公差为d，那么 an=a1+n- 1d，a1*0，an Zn N*，假设存在三项使得，kv nv m.吐；：丄，-=a1+ k- 1d m

30、 - 1d，展开：2a1n- 1+n- 12d=a1 k- 1+ m - 1+k - 1m - 1d，当n - 1既是k - 1与m - 1的等比中项，又是k- 1与m - 1的等差中项时，原命题 成立.【选做题】在21、22、23、24四小题中只能选做两题，每题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4&shy;1 :几何证明选讲21 如图，圆0的直径AB=10，C为圆上一点，BC=6 .过C作圆0的切线I , AD丄I于点 D，且交圆0于点E,求DE长.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】 由题意AC丄BC , AC=yi y -弋=8，由得Rt ACD s

31、 Rt ABC，从而AD=6.4 , 利用切割线定理、勾股定理，由此能求出DE的长.【解答】解：由题意AC丄BC AC=COD- 3£=8,过C作圆的切线I，过A作I的垂线AD，垂足为D , AD交圆与E,/ ACD= / ABC , Rt ACD s Rt ABC ,AC_AEAB_ AD=又 DC2=DE?6.4, DC2+6.42=64, 解得 DE=3.6 选修4&shy;2 :矩阵与变换22 矩阵，求逆矩阵M的特征值.【考点】【分析】IMI逆变换与逆矩阵.M -1的特征多项式等于 0,即先求矩阵M的行列式，进而可求其逆矩阵，令矩阵 可求得矩阵M1的特征值.【解答】

32、解：矩阵M的行列式为=1 X 2 - 2X 0=2,1矩阵M的逆矩阵M -丄-1丄,ymm.矩阵M -1的特征多项式为f入=L *入-1=0国令f入=0可得X= Q或=即矩阵M -1的特征值为1或1选修4&shy;4 :坐标系与参数方程23 在极坐标系中，点 扎 ),圆C的方程为p=4V2sin0| C圆心为点C，求直线 AC的极坐标方程.【考点】简单曲线的极坐标方程.【分析】先求出直线AC的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.【解答】解：点A的直角坐标为AUl，J1.圆C的普通方程为x2+y2- 4二y=0，即x2+ y - 2乙2=8.圆C的圆心为C0, 2.直线AC的方程为即 x+

33、y - 2 *=0.直线AC的极坐标方程为pcos知pin 0- 应二0.选修4&shy;5 :不等式选讲24. a>0, b>0,求证：a6+b6> aba4+b4.【考点】 不等式的证明.【分析】利用作差法，通过分类讨论判断即可.【解答】 证明：a6+b6 - ab a4+b4= a- b a5 - b5,当 a>b>0 时，a5>b5, a- b>0, a5- b5>0,可得a- ba5 - b5?0.所以 a6+b6>ab a4+b4.当 0w av b 时，a5v b5, a- bv 0, a5- b5v 0,可得a- b

34、a5 - b5> 0.所以 a6+b6>aba4+b4.综上 a> 0, b>0, a6+b6>ab a4+b4.【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.25 .如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SA丄平面ABCD , AB=1 , AD=AS=2 , P是棱SD上一点，且二:一1求直线AB与CP所成角的余弦值；【考点】 二面角的平面角与求法；异面直线与其所成的角.【分析】1以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出直线 AB与CP所成角的余弦值.2求出平面 APC的法向量和平面 PCD的法向量，利用向量法能求出二面角A - PC- D的余弦值.【解答】解：1以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，A0，0，0，B1, 0，0，C1，设直线AB与CP所成角为0，24- P 0，2- b，- c=-亘，1 -，COS 0=1 COSV