第1章 1.5 柱坐标系和球坐标系

1、.1.5柱坐标系和球坐标系1.5.1柱坐标系1.5.2球坐标系1.理解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置.重点2.知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.难点根底·初探1.柱坐标系1柱坐标设空间中一点M的直角坐标为x，y，z，M点在xOy坐标面上的投影点为M0，M0点在xOy平面上的极坐标为，如图1­5­1所示，那么三个有序数，z构成的数组，z称为空间中点M的柱坐标.在柱坐标中，限定0,0<2，z为任意实数.图1­5­12空间直角坐标与柱坐标的变换公式空间点Mx，y，z与柱坐标，z之间的变换

2、公式为.2.球坐标系1球坐标设空间中一点M的直角坐标为x，y，z，点M在xOy坐标面上的投影点为M0，连接OM和OM0.图1­5­2如图1­5­2所示，设z轴的正向与向量的夹角为，x轴的正向与的夹角为，M点到原点O的间隔 为r，那么由三个数r，构成的有序数组r，称为空间中点M的球坐标.假设设投影点M0在xOy平面上的极坐标为，那么极坐标就是上述的第二个球坐标.在球坐标中限定r0,0<2，0.2空间直角坐标与球坐标的变换公式空间点Mx，y，z与球坐标r，之间的变换公式为.考虑·探究1.要刻画空间一点的位置，就间隔 和角的个数来说有什么限制？

3、【提示】空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是间隔 .2.在柱坐标系中，方程1表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r1分别表示空间中的什么曲面？【提示】柱坐标系中，1表示以z轴为中心，以1为半径的圆柱面；球坐标系中，方程r1表示球心在原点的单位球面.自主·测评1.在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为2，3，P在xOy平面上的射影为Q，那么Q点的坐标为A.2,0,3B.2，0C.，3D.，0【解析】由点的空间柱坐标的意义可知，选B.【答案】B2.点A的柱坐标为1,0,1，那么点A的直角坐标为A.1,1,0B.1,0,1C.0,1,1D.1,1,1【解析】x·cos 1c

4、os 1，ysin 0，z1.【答案】B3.设点M的直角坐标为1，3，那么它的柱坐标是A.2，3B.2，3C.2，3D.2，3【解析】2，tan ，或.又M的直角坐标中x1，y，排除，.M的柱坐标为2，3.【答案】C4.设点M的直角坐标为1，1,0，那么它的球坐标为 【导学号：62790006】A.，0B.，C.2，0D.2,0，【解析】由坐标变换公式，得r，cos 0，.tan 1，.【答案】B质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 类型一点的柱坐标与直角坐标互化设点M的直角坐标为1,1,1，求它的柱坐标

5、系中的坐标.【精彩点拨】直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式求出，即可.【尝试解答】设M的柱坐标为，z，那么有解之得，.因此，点M的柱坐标为，1.由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(，z)代入变换公式求；也可以利用2x2y2，求.利用tan ，求，在求的时候特别注意角所在的象限，从而确定的取值.再练一题1.根据以下点的柱坐标，分别求直角坐标：12，3；2，5.【解】设点的直角坐标为x，y，z.1，z2，3，因此所求点的直角坐标为，1,3.2，z，5，故所求点的直角坐标为1,1,5.类型二将点的球坐标化为直角坐标点M的球坐标为2，求它的直角坐标.【精彩点拨】【尝试解

6、答】设点的直角坐标为x，y，z.r，2，x2sincos2××1，y2sinsin2××1，z2cos2×.因此点M的直角坐标为1,1，.1.根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联络，首先要明确点的球坐标r，中角，的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0<2，0.2.化点的球坐标r，为直角坐标x，y，z，需要运用公式转化为三角函数的求值与运算.再练一题2.假设“例2中点M的球坐标改为M3，试求点M的直角坐标.【解】设M的直角坐标为x，y，z.r，3，xrsin cos 3sincos，yrsin sin 3sinsin，z

7、rcos 3cos.点M的直角坐标为，.类型三空间点的直角坐标化为球坐标长方体ABCDA1B1C1D1中，底面正方形ABCD的边长为1，棱AA1的长为，如图1­5­3所示，建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标和球坐标.图1­5­3【精彩点拨】先确定C1的直角坐标，再根据空间直角坐标系与球坐标系的联络，计算球坐标.【尝试解答】点C1的直角坐标为1,1，.设C1的球坐标为r，其中r0,0<2，0，由xrsin cos ，yrsin sin ，zr·cos ，r2.由zrcos ，cos ，.又tan 1，从而点C1的球坐标为2，.1.由直角坐标化为球坐标时，我们可以选设点M的球坐标为r，再利用变换公式求出r，.2.利用r2x2y2z2，tan ，cos .特别注意由直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误.再练一题3.假设本例中条件不变，求点C的柱坐标和球坐标.【解】易知C的直角坐标为1,1,0.设点C的柱坐标为，0，球坐标为r，其中0，0<2.1由于.又tan 1，.因此点C的柱坐标为，0.2由r.cos 0，.故点C的球坐标为，.真题链接赏析教材P21练习T2设点M的柱坐标为2，7，求它的直角坐标.在柱坐标系中，点M的