全等三角形培优竞赛讲义(全集)

1、全等三角形培优竞赛讲义(一)知识点全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等， 对应角的角平分线相等，面积相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.(2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.(3) 有公共边的，公共边常是对应边.(4) 有公共角的，公共角常是对应角.(5) 有对顶角的，对顶角常是对应角.(6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的

2、元素是关键.全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS :两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 角边角定理(ASA:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(3) 边边边定理(SSS :三边对应相等的两个三角形全等.(4) 角角边定理(AAS :两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线.拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明两条线段或两个角

3、的和、差、倍、分相等是几何证明的根底.例题精讲板块一、截长补短【例1】(06年中考题) ABC中，A 60 , BD、CE分别平分 ABC和.ACB , BD、 CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.【解析】BE CD BC,理由是：在 BC上截取BF BE，连结OF ,利用SAS证得BEO也BFO , 12 , A60-BOC，190-2A 120DOE120 ,ADOE180 ,AEOADO18013 180 ,/ 24 180 ,12 , -34 ,利用AAS证得CDO也CFO, CDCF , BCBF CF BE CD点B除外，作与MN有怎样的【例2】 如图，点

4、M为正三角形 ABD的边AB所在直线上的任意一点DMN 60，射线MN与Z DBA外角的平分线交于点 N , DM 数量关系？.过点DMA【解析】猜想DM MN又 Z adm Z ADM Z NMB , DGM 也 MBN,M作MG / BD交AD于点 120 , Z DMA Z NMB 而 Z DGM Z MBN 120 DM MN .G , AG AM120二 GD MB【变式拓展训练】 如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN外角的平分线交于点 N , MD与MN有怎样的数量关系？DM且与Z ABC【解析】【例3】【解析】猜想DM MN .在AD上截取AG AM DG MB ,

5、 Z AGM 45 Z DGM Z MBN 135 , Z ADM DGM 也 MBN , DM MN .Z NMB ,：如图， ABCDi正方形，Z FA=Z FAE 求证:BEfDF=AEBMDF,连接 AM ABL BM BM=DF延长CB至 M使得 ab=ad adl cd ABM2A ADFZ AFD=Z amb z/ AB/ CD Z AFD=Z BAf=Z eaf+z baez baev bamz eam Z AMBZEAM AE=EM=BEhBM=BEfDFdaf z bam【例4】 以 ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、 ACE，连结CD、BE相交于点0 .求证：

6、OA平分 DOE .EE【解析】因为 ABD、 ACE是等边三角形，所以AB AD , AE AC ,CAE BAD 60 ,贝U BAE DAC，所以 BAE 也 DAC , 那么有 ABE ADC , AEB ACD , BE DC . 在DC上截取DF BO,连结 AF，容易证得 ADF也 ABO , ACF也 AEO . 进而由AF AO 得 AFO AOF ;由 AOE AFO 可得 AOF AOE，即 OA平分 DOE .【例5】市、XX市数学竞赛试题如下图，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的 MDN，点M、N分别在AB、 AC上，

7、求 AMN的周长.CE在 BDM与 CDE中，因为BD CD 所以 BDM也 CDE，故MD ED ., MBDECD90 ,BM CE ,因为 BDC 120 , MDN 60，所以 BDMNDC60 .又因为 BDMCDE，所以 MDNEDN60 .在 MND 与 END 中，DN DN ,MDNEDN 60 ,DMDE ,所以 MND 也 END，贝V NE MN ,所以AMN的周长为2.五边形 ABCD中, AB=AE BGDE=CD/ AB(+ZAED180°,如下图，延长AC到E使CE BM .【例6求证：AD平分/ CDE【解析】【解析】延长DE至F,使得EF=BC连接

8、AC/ABC A AED180°,/ AEF+Z AED180°./ABC：/ AEF/ AB=AE BC=EF.A ABCA AEF EF=BC AC=AF/ BGDE=CD. CD=DEnEF=DF ADC ADF，./ ADC/ ADF 即AD平分/ CDE板块二、全等与角度【例7】如图，在 ABC中，BAC 60，AAD是 BAC的平分线，且 AC AB BD，求 ABC的度数.A【解析】如下图，延长 AB至E使BE BD，连接ED、EC .由 AC AB BD 知 AE AC，而BAC 60，那么 AEC为等边三角形.故 AED也 ACD.从而有DEDC ,DEC

9、DCE ,故BEDBDEDCEDEC所以 DECDCE20 ,ABC注意到 EAD CAD，AD AD，AE AC ,BDC2 DEC .I*-BECBCE 602080 .AB，那么由题意可知CEAE， BADEAD那么 ABD也AED，从而BDDE ,进而有DE CE,ECDEDC ,AEDECDEDC 2ECD.注意到ABDAED，那么:ABCACB1ABC -ABC2【另解】在AC上取点E，使得AE在ABD和AED中，AB故 ABC 80 .【点评】由条件可以想到将折线BD. AD3 ABC2180BDBAC 120，利用角平分线 AD可以构造全等 三角形.同样地，将 AC拆分成两段，

10、之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十 分自然的.ABD “拉直成AE，需要说明的是，无论采取哪种方法，都表达出关于角平分线“对称的思想.上述方法我们分别称之为“补短法和“截长法，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.D! 【例8在等腰 ABC中，AB AC,顶角 A 20，在边AB上取点D，使AD BC， 求 BDC.【解析】以AC为边向 ABC外作正 ACE，连接DE .在ABC和EAD中,ADBC,ABEA, EADBAC A r-_CAE 20 C 6080ABC :>那么ABC也EAD.A由此可得EDEAEC，所以EDC是等腰三角形.D.E由于AEDBAC20 ,那么CEDAEC

11、AED602040 ,从而DCE70 ,DCADCEACE 706010，那么BDCDACDCA201030 .1 BC【另解1】以AD为边在 ABC外作等边三角形ADE，连接EC.在ACB和CAE 中，CAE 6020ACB ,AE AD因此 ACB也CAE ,从而 CABACE ,CE ABAC.在CAD和CED 中，AD ED ,CECA, CDCD ,故CAD也CED ,从而 ACDECD ,CABACE2 ACD ,故 ACD 10，因此BDC 30AA【另解2】如下图，以BC为边向 ABC内部作等边 BCN，连接在 CDA和 ANC 中，CN BC AD, CAD 20 , ACN

12、 ACB BCN 806020 ,故CADACN,而AC CA，进而有 CDA也ANC .贝UACDCAN10 ，故BDCDACDCA30 .BC【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、角度之间的关系.【例9】“勤奋杯数学邀请赛试题 又M在AC上，N在BC上，且满足【解析】如下图，在 ABC中，ACBAN 50 , ABM 60，求 CK，连接KA交MB于P .过M作AB的平行线交BC于MKP均为正三角形.BC , AB180连接PN，易知 因为 BAN 50 所以 ANB 50那么 PKN 40 故 PN KN . 从而 MPN也APB、,AC,BNKPNMKN

13、 .进而有 PMNKMN ,CBP ,6020 ,BPN8040 , mNMB -2PKMP 30 .BNP 80 ,KNC【另解】如下图，在AC上取点D，使得 ABD 20 A由C 20、AC 1BC可知BAC 80 .而ABD 20，故ADB80 , BA BD .在ABN 中，BAN50 ,ABN 80 ,故ANB 50，从而BA BN，进而可得BNBD而DBNABCABD80 20 60 ,所以BDN为等边三角形在ABM中，AMB 180ABMBAM180 80DBMADBAMB804040故DMBDBM，从而DMDB.我们已经得到DMDNDB，故D是BMN的外心，【点评】1从而 NM

14、B NDB 302此题是一道平面几何名题，加拿大滑铁卢大学的几何大师RossH on sberger 将其喻为“平面几何中的一颗明珠.此题的大多数解法不是纯几何的，即使利用三角函数也不是那么容易【解析】如下图，延长BD至E，使DEDC，由可得ADE 180ADB18076104 ,ADCADBBDC7628104 ,ADB 76， BDC 28，E【例10】在四边形ABCD中，AB AC, ABD 60 , 求 DBC的度数故 ADE ADC 又因为 AD AD , DE DC ,故 ADE 也 ADC ,因此 AE AC , E ACD , EAD CAD 又因为AB AC ,故 AE AB

15、 , ABCACB 而 ABD 60 ,所以ABE为等边三角形于是 ACD E EAB 60，故 CAD 180 ADC ACD 16，那么CABEABCADEAD 28 ,从而ABC1(1802CAB)76 ,所以DBCABCABD16 【例11】日本算术奥林匹克试题如下图，在四边形ABCD中，DAC 12 ，【解析】CAB 36， ABD 48，DBC 24，求 ACD的度数仔细观察，发现角的度数都是 用正三角形在四边形ABCD外取一点P，在ADP和 故ADP也 从而 APD 在ABC中，12的倍数，这使我们想到构造ADC 中,ADC ACD CABPADPADCAD12 且 AP12，A

16、PAC，AC故 ACB 72 , AC 从而AP AB 而故 PAB是正三角形，在DAB中， 故 DA DB 在PDA和 故PDA也PABPADDABPDB 中, PDB，从而 APDBPD36，AB，ABC7260角，从而利DACAPBDACCAB60，CAB 12PA PB1APB12PA，PD PD，DA30，连接AD1236PB !36那么 ACD 30 【例12】XX省数学竞赛试题在ABC外取一点E，使 DBE如下图，连接DC.因为ADBD , AC贝V ADC也 BDC,故 BCD 30 .而 DBEDBC ,BE ABBC , BD因此 BDE也BDC，故 BEDBCD【解析】【

17、例13】市数学竞赛试题如下图，在 ABC中,一点，使得MCA 30， MAC 16，求BAC BCA 44，M 为 ABC 内 BMC的度数.【解析】 在 ABC中，由 BAC BCA 44可得AB AC， ABC 92 . 如下图，作 BD AC于D点，延长CM交BD于0点，连接OA，BAOBACOAC 443014 ,OAMOACMAC 301614 ,所以BAOMAO .又因为AOD90OAD903060所以AOM120AOB .BOM 120而AOAO ,因此ABO也AMO ,故OBOM .由于BOM120180BOM那么 OMBOBM30 ,2故 BMC 180OMB 150 .贝U

18、有 OAC MCA 30，全等三角形培优竞赛讲义(二)【知识点精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。2. 全等三角形的表示方法：假设 ABC和厶A B' C'是全等的三角形，记作“ ABC A B' C'其中，“也读作“全等于。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的 字母写在对应的位置上。3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法(1) 根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是

19、对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。(2) 根据的对应元素寻找相等的角是对应角，相等的边是对应边；相等的角所对的边是对应边，相等的边所对的角是对应边；两个对应角所夹的边是对应边；(3) 通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过以下各种运动而形成的。翻折如图(1) BOC也EOD , BOC可以看成是由 EOD沿直线AO翻折180得到的；旋转 如图(2) COD也BOA , COD可以看成是由 BOA

20、绕着点O旋转180得到的；平移 如图(3) DEF也ACB , DEF可以看成是由 ACB沿CB方向平行移动而得到的。5. 判定三角形全等的方法：(1) 边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理(2) 推论：角角边定理6. 注意问题：(1) 在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；(2) 不能证明两个三角形全等的是，a:三个角对应相等，即 AAA ； b :有两边和其中一 角对应相等，即 SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的根本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平 面几何知识应用中，假设证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置， 常 常需要借助全等三角形的

21、知识。【分类解析】全等三角形知识的应用1 证明线段或角相等例1：如图， AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由条件可证出 ACD ABE，而BF和FC分别位于厶DBF和厶EFC中, 因此先证明 ACD BA ABE，再证明A DBF A ECF，既可以得到 BF=FC.证明：在A ACD和A ABE中，AE=ADY / A= / AI AB=AC.A ACD BA ABE SAS/ B= / C 全等三角形对应角相等又/ AD=AE,AB=AC.AB AD=AC AE即 BD=CE在A DBF和A ECF中/ B= / C-/ BFD= / CFE 对顶角相等BD=CE A DBF

22、ba ECF AAS BF=FC 全等三角形对应边相等2证明线段平行例2:：如图， DE丄AC , BF丄AC，垂足分别为 E、F, DE=BF , AF=CE.求证:AB / CD分析：要证AB / CD ,需证/ C=Z A，而要证/ C = Z A ,又需证 ABF CDE.由已 知 BF 丄 AC , DE 丄 AC,知/ DEC = Z BFA=90 °，且 DE=BF , AF=CE.显然证明A ABF BA CDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证/C = Z A,进一步证明 AB / CD.证明： DE丄AC，BF丄AC / DEC = Z BFA=90

23、76;垂直的定义在A ABF与A CDE中，f AF=CEY Z DEC = Z BFA已证Lde=bf A ABF BA CDE SASZ C = Z A 全等三角形对应角相等 AB / CD内错角相等，两直线平行3证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例3:如图，在 ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E,连 接CD和CE.求证：CD=2CE分析：i 折半法：取 CD中点F，连接BF，再证A CEB BA CFB.这里注意利用 BF是A ACD 中位线这个条件。证明：取CD中点F，连接BF1 BF=2 AC,且BF / AC 三角形中

24、位线定理 Z ACB =Z 2 两直线平行内错角相等又 AB=AC Z ACB =Z 3 等边对等角 Z 3=Z 2在A CEB与A CFB中，一 BF=BE-Z 3=Z 2一 CB=CB CEBCFB (SAS)1 CE=CF=2 CD (全等三角形对应边相等)即 CD=2CE(ii)加倍法证明：延长 CE到F,使EF=CE,连BF.C4 1A E2 3 BDF在A AEC与A BEF中，-AE=BEZ 1 = Z 2 对顶角相等CE=FE A AECBA BEF SAS AC=BF, Z 4=Z 3 全等三角形对应边、对应角相等 BF / AC 内错角相等两直线平行/Z ACB+ Z CB

25、F=180°Z ABC+ Z CBD=180 0又 AB=ACACB= Z ABCZ CBF= Z CBD等角的补角相等在A CFB与A CDB中，一CB=CB ZCBF= Z CBD BF=BD A CFBBA CDB SAS CF=CD即 CD=2CE说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F,连BF如图B为AD中点是利用这个方法的重要前提，然后证CE=BF.4证明线段相互垂直例4:：如图，A、D、B三点在同一条直线上，A ADC、A BDO为等腰三角形， AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证

26、明你的结论。AD B分析：此题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜想：AO=BC，AO丄BC.证明：延长 AO交BC于丘,在4 ADO和厶CDB中AD=DC-Z ADO= Z CDB=90°OD=DB ADO CDB SAS AO=BC, Z OAD= Z BCD 全等三角形对应边、对应角相等Z AOD =Z COE 对顶角相等 Z COE+ Z OCE=9O° AO 丄 BC5、中考点拨：例1.如图，在 ABC中，AB= AC, E是AB的中点，以点 E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D,连结ED，并延长

27、ED到点F ,使DF=DE,连结FC求证：ZF = Z A.A/BVFA分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在图形中ZA、Z F不在全等的两个三角形中， 但由可证得 EF / AC,因此把Z A通过同位角转到厶BDE 中的Z BED，只要证厶EBDFCD即可.证明： AB = AC, Z ACB = Z B,/ EB = ED, Z ACB = Z EDB . ED / AC. Z BED = Z A./ BE = EA. BD = CD .又 DE = DF , Z BDE = Z CDF BDE CDF ,/ BED = Z F ./ F = Z A.说明：证明角或线

28、段相等可以从证明角或线段所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、 公共角、公共边、平行线的同位角、 内错角等相等的关系。例2如图， ABC为等边三角形，延长 BC到D，延长BA到E,并且使AE=BD，连接 CE、DE.求证：EC=EDEAFz / /Y A / BCD分析：把条件标注在图上，需构造和AEC全等的三角形，因此过 D点作DF / AC交BE于F点，证明 AECFED即可。证明：过D点作DF / AC交BE于F点 ABC为等边三角形 BFD为等边三角形 BF=BD=FD/ AE=BD AE=BF=FD AE AF=BF AF 即 EF=AB EF

29、=AC在厶ACE和厶DFE中，EF=AC 已证/ EAC =Z EDF 两直线平行，同位角相等 AE=FD 已证 AEC FED SAS EC=ED 全等三角形对应边相等题型展示:例 1 如图， ABC 中，/ C = 2/ B，/ 1 = / 2。求证：AB = AC + CD .分析：在 AB上截取AE = AC,构造全等三角形， AED ACD，得DE = DC,只需证DE = BE问题便可以解决.证明：在AB上截取AE = AC,连结DE ./ AE = AC, / 1 = Z 2, AD = AD, AED ACD , DE = DC，/ AED = / C./ AED = / B

30、+ / EDB，/ C = 2 / B, 2/ B=/ B + / EDB .即 / B = / EDB . EB = ED，即 ED = DC , AB = AC+ DC .剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法(即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的局部等于另一条短线段)；如作 AE =AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法(即延 长一条短线段等于长线段，再证明延长的局部与另一条短线段相等)，其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容

31、.【实战模拟】1. 以下判断正确的选项是()(A )有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等(B )有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等(C) 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等(D) 有两角和一边对应相等的两个三角形全等2. ：如图，CD丄AB于点D, BE丄AC于点E,BE、CD交于点0,且AO平分/ BAC.求 证：0B= 0C.AABc3. 如图， C为线段AB上的一点， ACM和CBN都是等边三角形， AN和CM相14如图，在 ABC中，AD为BC边上的中线.求证： AD(AB+AC)A5.如图，在等腰 RtAABC中，/ C= 90°

32、, D是斜边上AB上任一点，AE丄CD于E,BF丄CD交CD的延长线于F, CH丄AB于H点，交AE于G.求证：BD=CG.【试题答案】1. D2证明： AO平分/ ODB, CD丄AB于点D, BE丄AC于点E, BE、CE交于点O, OD= OE, / ODB = Z OEC= 90° ,Z BOD = Z COE。 BODN COE (ASA).OB= OC3分析由 ACM= BCN=60，知 ECF=60，欲证 CEF是等边三角形，只要证明是等腰三角形。先证 CAN也MCB，得1= 2.再证CFN也CEB，即可推得 CEF三角形的结论。证明：在 CAN和MCB ,/ AC=M

33、C , CN=CB ,CAN= MCB=120 , ACN 也 MCB 中， FCB 和 CEB 中，/ FCN= ECB=60 ,1= 2, CN=CB , CFN 也 CEB , CF=CE ,又 ECF=60 , CEF是等边三角形4分析：关于线段不等的问题，一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论，由于AC、AD不在同一个三角形，应设法将这三条线段转化在同一个三角形中，也就是将线段 相等地转化，而转化的通常方法利用三角形全等来完成，注意AD是BC边上的中线,AD 至 E,使 DE = AD，即可得到 ACDEBD .CEF是等边AB、延长证明：延长AD到E，使DE = AD，连结BE在A

34、CD与EBD中血=ED 作法& ZADC = ZEDB 对顶角相竽CD = BD 己知 ACD 也 EBD SAS AC = EB 全等三角形对应边相等在ABE中，AB + EB > AE 三角形两边之和大于第三边 AB + AC > 2AD 等量代换即 AD<- (AB 4- AC)说明：一般在有中点的条件时，考虑延长中线来构造全等三角形。5分析：由于 BD与CG分别在两个三角形中，欲证BD与CG相等，设法证厶CGEBDF。由于全等条件不充分，可先证厶AECA CFB证明：在 Rt AEC与Rt CFB中，/ AC= CB, AE丄CD于E, BF丄C交CD的延长线

35、于 F/ AEC =Z CFB = 90°又/ ACB = 90 °/CAE = 90° -Z ACE = Z BCF Rt AEC也 Rt CFB CE= BF在 Rt BFD 与 Rt CEG 中，Z F = Z GEC = 90°, CE = BF,由Z FBD = 90°-Z FDB = 90°-Z CDH =Z ECG , Rt BFD 也 Rt CEG BD = CG全等三角形培优竞赛讲义三全等三角形的证明方法【知识点精读】1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。 几何证明有两种根本

36、类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这 两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：1综合法由因导果，从条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；2分析法执果索因从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到事实为止；3 两头凑法：将分析与综合法合并使用， 比拟起来，分析法利于思考， 综合法易于表达， 因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后到达证明目的。3. 掌握构造根本图

37、形的方法：复杂的图形都是由根本图形组成的，因此要善于将复杂图 形分解成根本图形。在更多时候需要构造根本图形，在构造根本图形时往往需要添加辅助 线，以到达集中条件、转化问题的目的。【分类解析】1证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最根本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的 性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。例 1.：如图 1 所示， ABC 中， C 90，AC BC, AD DB, AE CF 。AEDC F B求证：DE = DF图1分析：由

38、ABC是等腰直角三角形可知，A B 45，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得CDAD ,DCF45。从而不难发现DCFDAE证明：连结CDAC BCABACB 90,ADDBCD BDAD,DCBBAAE CF,ADCB,ADCDADE CDFDE DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。此题亦可延长ED到G,使DG = DE,连结BG,证 EFG是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。例 2.：如图 2 所示，AB = CD

39、, AD = BC, AE = CF。求证：/ E=Z FEAD /1 VjJrBCF图2证明：连结AC在ABC和 CDA中，AB CD, BC AD, ACCAABC CDA (SSSBDAB CD, AE CFBE DF在BCE和 DAF中，BE DFBDBC DABCEDAF (SASE F说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：(1 )制造的全等三角形应分别包括求证中一量；(2 )添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。2、证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也

40、可通过边对应成比例、 三角形中位线定理证明。 证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°,或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一来证。例3.如图3所示，设BP、CQ是 ABC的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。求证：KH / BCA/Q / P/ K 二 H £1B MN C图3分析：由，BH平分/ ABC，又BH丄AH，延长 AH交BC于N，贝U BA = BN , AH =HN。同理，延长 AK交BC于M，贝U CA = CM , AK = KM。从而由三角形的中位线定理，知 KH / BC。证明：延长AH交BC于N，延长AK交BC于M/ BH 平分

41、/ ABC/ ABH / NBH又BH丄AHZ AHB Z NHB 90BH = BHABH NBHA SABA BN, AH HN同理，CA = CM , AK = KMKH是AMN的中位线KHM/ N即 KH/BC说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，那么此三角形必为等腰三角形。我 们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折轴对称而成一个等腰三角形。例 4.：如图 4 所示，AB = AC,/ A 90 , AE BF, BD DC。求证：FD丄EDAII! EF z : X2；31 '/ BDC图4证明一：连结ADAB AC, BD DCZ 1 Z 290，/

42、DAE Z DABZ BAC 90 , BD DCBD ADZ B Z DAB Z DAE在ADE和 BDF中，AE BF，Z B Z DAE，AD BDADE BDF313290FD ED说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。证明二：如图5所示，延长 ED到M，使DM = ED，连结FE, FM , BMAFE亍、/ 1BDC:JXM图5BD DCBDMCDE, DM DEBDM CDECE BM, C CBMBM / /ACA 90ABM 90 AAB AC, BF AEAF CE BM说明：证明两直线垂直的方法如下：1首先分析条件，观察能否用

43、提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见此题证2找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。3 证明二直线的夹角等于 90°。3、证明一线段和的问题一在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余局部等于另一较短线段。截长法 例5：如图6所示在 ABC中， B 60，/ BAC、/ BCA的角平分线 AD、CE相交于O。求证：AC = AE + CD分析：在AC上截取AF = AE。易知AEOAFO ,56 601,602,3 120 。122。由 B 60，知3460 ，得：FOCD OC, FC DC证明：在AC上截取AF = AEBADAEO4 2CAD, AO AOAF

44、O SAS又 B 6056601 6023120123 460FOC DOC(AAS)FCDC即 AC AE CD二延长一较短线段，使延长局部等于另一较短线段，那么两较短线段成为一条线段，证 明该线段等于较长线段。补短法例6.：如图7所示，正方形 ABCD中，F在DC上，E在BC上， EAF 45 。求证：EF= BE + DF分析:此题假设仿照例1,将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G,使BG = DF。证明：延长CB至G,使BG = DF在正方形 ABCD 中， ABG D 90 , AB ADABG ADF (SAS)AG AF,13又 EAF 4523 4521 45

45、即/ GAE = Z FAEGE EFEF BE DF4、中考题：如图8所示， ABC为等边三角形，延长 BC到D，延长BA到E,并且使 AE = BD，连结 CE、DE。求证：EC = EDBCD图8证明：作DF/AC交BE于FABC是正三角形BFD是正三角形又 AE = BDAE FD BFBA AF EF即 EF = ACAC/FDEAC EFDEAC DFE (SAS)EC EDAC 。题型展示：证明几何不等式：例题：如图 9所示， 12, AB求证：BDD C CBD证明一：延长AC到E,使AE = AB，连结DE在ADE和 ADB中，AE AB,2ADE ADB1, AD ADBD

46、 DE,DCEDCEDEDC,BDDC证明二:如图10所示,在 AB上截取 AF = AC，连结 DF图10那么易证ADF ADC4, DF DCBFD3,4 BBFD BBD DFBD DC说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。【实战模拟】1.：如图11所示,ABC 中， C90 , D是AB上一点，DE丄CD于D,交BC于E,且有AC ADCE。求证：DE1 CD2D图112：如图12所示，在 ABC中， A 2 B , CD是/ C的平分线。求证：BC = AC + AD3.：如图13所示，过ABC的顶点A,垂线BP和CQ。设M为BC的中点。求证：

47、MP = MQ图134. ABC 中， BAC 90 , AD BC 于 D，求证:AD 1 AB4AC BC【试题答案】1. 证明：取CD的中点F，连结AFADBAC AD90 ，1390AF CD又 14AFC CDE 9043AC CEACF CED (ASA)CF ED1DE CD22. 分析：此题从和图形上看好象比拟简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短的手法。“截长即将长的线段截成两局部，证明这两局部分别和两条短线段相等；“补短即将一条短线段延长出另一条短EADX、/ / W丄线段之长，证明其和等于长的线段。L BC_证明：延长CA

48、至E,使CE= CB，连结ED 在 CBD和 CED中，CB CE3.证明:延长PM交CQ于RBCDECDCDCDCBDCEDBEBAC2BBAC2E又 BACADEEADEE,ADAEBC CEACAEAC ADCQ AP, BP APBP/CQPBM RCM又 BM CM, BMP CMRBPM CRMPM RMQM是Rt QPR斜边上的中线MP MQ4.取BC中点E,连结AEAIB DECBAC 902AEBCADBC,ADAEBC2AE2 ADABACBC2BCABACBC4ADABACBCAD-ABACBC4全等三角形培优竞赛讲义四等腰三角形【知识点精读】一、等腰三角形的性质1.有关

49、定理与其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等简写成“等边对等角。推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶 角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论 2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理与其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出 两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、 顶角的平分线“三线合一的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以与两条直线互 相垂直的重要依据。二、等腰三角形的判定1. 有关的定理与其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等简写成“等角对等 边。推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论 2：有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形。推论 3：在直角三角形中， 如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2. 定理与其推论的作用。 等腰三角形的