数值分析试题及答案

1、一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.3.142和3.141分别作为二的近似数具有（）和（）位有效数字A . 4 和 3B . 3 和 2C. 3 和 4D . 4 和 42 1 2 12.已知求积公式1f xdx 6f 1 Af(3) 6f(2)，则 A =()C. 23.通过点Xo，yo , X1，y1的拉格朗日插值基函数lo X儿X满足（）A .h X1 i； = 0lxo ) = o h (为)=1% (xo ) = 1 h(X1 ) = 14.设求方程f X =0的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速A .超线性 B .平方 C.线性D .三次X-! 2x2 x3 = 02X1 2x

2、2 3x3 = 33个方程（）5.用列主元消元法解线性方程组.一为-3X2 =2作第一次消元后得到的第A.-X2 X3 =2C -2X2 X3 =3B-2x2 1.5x3 = 3.5Dx2 - 0.5x3 - -1.5单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B得 分评卷人、填空题（每小题3分，共15 分）1. 设 X = (2,3, 4),则 | X |1 =, |X 也=2. 一阶均差 f X0,Xi =cf )=£)= c£ )=弓c3)3. 已知n =3时，科茨系数88，那么C3二4. 因为方程f x =x-4在区间1,21上满足，所以f x =0在区间内有根。y

3、£ y(x5. 取步长h =0.1，用欧拉法解初值问题y 1 =1的计算公式.填空题答案f xo- f X11.9 和 292.X。一 X13.4.f 1 f 2 <0yk 1 二 yk |1.1y° “0.12(1 +0.1k ),k=0,1,2L得 分评卷人5.1.已知函数1012y _1 +x2的一组数据：10 50.2求分段线性插值函数，并计算f 1.5的近似值.三、计算题(每题15分，共60 分)1.计算题1.答案x 1x 0%x ：1 ： ：0.5=1-0.5x0 -11-0%x 二12汇0.5 十汉0.2 =-0.3x + 0.81-22T所以分段线性插

4、值函数为0.8 -0.3x0,1111,2%1.5 =0.8 0.3 1.5 =0.3510% -x2 -2x3 = 7.2彳-凶 +IOX2 2x3 =8.32.已知线性方程组凶一x? + 5x3 4.21 一（1）写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式；（2）对于初始值X 二0,0,0，应用雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公 式分别计算X C）（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1. 解原方程组同解变形为人=0.1x20.2x3 0.72x2 =0.1x -0.2x3 0.83x3 =0.2人 0.2x20.84雅可比迭代公式为xj1 =0.1x2m0.2x3m0.72x2m 1 =0

5、.1x-0.2x3m 0.83x十）=0.2x）+0.2x2m）+0.84（m =0,仁.）高斯-塞德尔迭代法公式xj1 =0.1x2m0.2x3m0.72x2m 1 =0.1x1 -0.2x3m0.83灭十）=0%十）+0.2x十）+0.84（m=0,仁.）用雅可比迭代公式得X 1二0.720 g。830 g。840 00用高斯塞德尔迭代公式得X 1 = 0.720 OO。902。丄164 403.用牛顿法求方程x3 -3x T =0在1,2之间的近似根（1 ）请指出为什么初值应取 2?(2 )请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案3f 2 =1.03 解 f (x )=x

6、 3x 1f 0 )=3f x =3x2 _3f x =12xf 2 =24 0，故取x=2作初始值2525迭代公式为2525f xm3xn 13Xn 1 -13x21 -32x31n)3 xn J _ 1n = 1,2,.2 33 1x0 =2X11.88889322 -12 1.888893 1X21.8794531.888892 -125252 1.879453 1x2 -x, =0.00944 0.0001x3 - x2 =0.00006 ： 0.0001x321.879391.87 9 45 -125254.写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分01 丄 dx01 x计算题4.

7、答案b解梯形公式a f (xdxb aRz 2_f a f b应用梯形公式得X10+ 丄=0.75112525辛卜生公式为bb _ aa 亠 b心衍“)+4f(宁)+仙2525应用辛卜生公式得f丄dx01 x 6-°f (+4f(L2°f (1 J252511 11二4366 10 1 . 1 1 125得 分评卷人3次代数精确度四、证明题（本题 10分） 确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有hf x dx = Adf -hA°f 0 Af h证明题答案2:求积公式中含有三个待定系数，即A_i，Ao, A，将f （x） = 1，x,x分别代入求

8、积公式，并令其左右相等，得A 丄 +A)+ A =2h-h(A-A) =02 2 3 h2(At +A) =_h3 、-31A=Ah得34hA 3。所求公式至少有两次代数精确度。又由于h 3h3 h 3xdx=3 -h 3 hh 4h4 h 4.x4dx 乜(4)蔦(h4)hh4hfxd3f-h 3f0 3fh具有三次代数精确度。填空（共20分，每题2 分）1. 设X”二2"3149541，取5位有效数字，则所得的近似值x=f %,X2 =1-42. 设一阶差商fX2，X3=f X3- f X2_ 6-1x3 -x24-2则二阶差商f ,X2,X3 =3.设 X =(2, f),则

9、|X 卄2=, II X Iloo = 4.求方程x2 _x -1.25 =0的近似根，用迭代公式X = . x d-25 ,取初始值 沟二1那么X1二°y、f(x,y)5解初始值问题y(Xo)=yO近似解的梯形公式是ykT " °(1 1)A =6、厂5 1丿，则A的谱半径"(A) =°7、设f (x) =3x +5，Xk = kh, k = 0,1,2,，则 f人，xn*,人七】=和f "Xn , Xn 1, Xn 2 , Xn 3o8、若线性代数方程组 AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯 塞德尔迭代都

10、76;9、解常微分方程初值问题的欧拉(Euler)方法的局部截断误差为 10、为了使计算y =101x -13(x 一1)'的乘除法运算次数尽量的少，应将表达式改写成填空题答案1、2.31502、ffXi，X2，X3=X3 -Xi3、6 和 144、1.55、h -yk 十2卩(Xk,yk )+f (xg, yk卑7、f k,Xn 1,Xn 210、1y=10 X-11 设X2M3_fX!，X24 -16=3, f IXn,Xn1,Xn2,Xnd = 0 g、收敛 9、匚' h131 +12 (x_1八(x-1)丿丿、计算题(共75分，每题15 分)|19f (x) =X ,

11、Xo, X1 =1, X2 :44(1)试求f X在-4 4上的三次Hermite插值多项式.x使满足H(Xj) = f(Xj), j =0,1,2,. H'(xJ = f'(X1)：X以升幂形式给出。(2)写出余项R(x)=f(x)_H(x)的表达式计算题1.答案1、( 1)143263 2233X 丁X 丁X225450450125519：*乜/12/91 9Rx -2(x- )(x-1) (x - ),= (x)(,)4!16444 42 已知mi<i，试问如何利用个收敛的简单迭代函数，使- - : - -0, 1收敛?2、由 x 刊 x)，可得 x_3x“(x)3

12、x , x=2(®(x)3x)(x)因 屮(X)=(屮(x) 3)，故 W(X)= 申(x) -3 <Vi2 1 1 2 21故 兀半=屮(兀)=一一(xJ-3Xk】, k=0,1， 收敛。23. 试确定常数A, B, C和a,使得数值积分公式/心 « Af -a) +(0) + Q/(a)有尽可能高的代数精度。 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？计算题3.答案A1016 丄冋A =C = ,B= ,a = 士 J3、99' 5 ，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是 Gauss型的y、f(x,y)4.推导常微分方程的初值问题y(

13、x0 y0的数值解公式:h '''yn 1 =yn §(yn 1 4y. *n)(提示：利用Simpson求积公式。)计算题4.答案4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程 y二f (x)在区间1上积分,x“ +y(xn 1) =y(Xn1). f (x,y(x)dx得xn-，记步长为h,xn +f f(x,y(x)dx对积分xn-用Simpson求积公式得2h h '''xf(x,y(x)dxuf(xn»4f(xn)+f(xM 尹4yn"所以得数值解公式：h '''yn 1 二 yn1 -(

14、yn 1 4yn n)3x1 2x2 3x3 =14 2x5x2 2x3 = 18I5.利用矩阵的LU分解法解方程组 3X1 X2 5X3 =20计算题5.答案5、解:A 二 LUj2213 1-4令 Ly 二b 得 y =(14,一10, _72)t, Ux 二 y 得 x =(1,2,3)丁 .三、证明题 (5分)1设，证明解 /W = o 的Newt on迭代公式是线性收敛的3 -a),由Newton迭达公式：证明题答案证明：因 f(x) =(x3 a)2,故 f (x) =6x2(xf'(Xn) ,n =0,1，得f (Xn)xn 1 X n2 326xn(Xna)66Xn(x

15、_a)25xn a ,n -0,1,.因迭达函数(x)x a2,而 0=5_»,6 6x26 3又x =祐,贝V ® (Va =(Va)=_0,63632故此迭达公式是线性收敛的。、填空题(20分)（1）设X二2.40315是真值X二2.40194的近似值，则X有位有效数字（2）.对 f（x） =x3 x J,差商 f0,1,2,3H（）。（3）.设 X =（2,-3,7）丁，则 IIXIAn7 Ckn）=（4） 牛顿一柯特斯求积公式的系数和k-。填空题答案（1）3 （ 2）1（ 3）7（ 4）1二、计算题1）.（ 15分）用二次拉格朗日插值多项式L2（x）计算sin。34

16、的值。插值节点和相应的函数值是（0, 0）,（ 0.30, 0.2955），（ 0.40,0.3894）。计算题1.答案Lor（-恥乜）f° .）（X。一Xj（Xo X2）（X1 怡）（乂1 X2）（X2 X°）（X2 X1）1）=0.3333362）.（ 15分）用二分法求方程在口。1.5区间内的一个 根，误差限；=10。计算题2.答案N =6为=1.25x2 =1.375x3 =1.31252） x4 =1.34375 x5 =1.328125 & =1.32031254x +2x2 + x3 = 11x1 4x2 2x3 二 183）.（ 15分）用高斯-塞德

17、尔方法解方程组2x1 x2 5X3 = 22，取x（0） = （0,0,0）T，迭代三次（要求按五位有效数字计算）.o计算题3.答案3）迭代公式xl") J(112x2k) x3k)4.xri(ixr2x3k)x3k 1)4k000012.75 13.8125 12.537520.209383.17893.680530 240432.599731839A*)4). (15分)求系数A'A和A使求积公式1丄f(x)dx : A1 f ( -1) A2f -) A3f()对于次数乞2的一切多项式都精确成立3 35). (10分)对方程组3x1 2x2 10x3 = 15* 10X

18、1 4X2 - X3 =52x1 +10x2 4x3 =8试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由计算题4.答案1 11 1 2A1A2Ab =2- A1 一厲A3 =°33A A2 - A3 =99313A 二 cA2 = 0Ab =4)22计算题5.答案5)解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优10x1 -4x2 - x3 =52x110x2 -4x3 =83x1 2x2 10x3 =15故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛迭代格式为x =-(4x2k)+x3k) +5)10* x2"=1(/Xi(5+4妒 +8)102x2k#)+15)10取x(0) =(OQO

19、)T,经7步迭代可得：x* 址 x=(0.999 991 459, 0.999 950 326,1.000 010)T .三、简答题1) (5分)在你学过的线性方程组的解法中，你最喜欢那一种方法，为 什么？2) ( 5分)先叙述Gauss求积公式，再阐述为什么要引入它。一、填空题(20分)1. 若a=2.42315是2.42247的近似值，贝U a有()位有效数字.2. Io(x), lx)，ln(x)是以0,1,，n为插值节点的Lagrange插值基函数，则nili(x)二v ().3. 设f (x)可微，则求方程x二f(x)的牛顿迭代格式是().(k D(k)4. 迭代公式X -BX f收

20、敛的充要条件是 。5. 解线性方程组Ax=b (其中A非奇异，b不为0)的迭代格式x = Bx f9% - x2 = 8中的B称为().给定方程组 *-5X2 = -4，解此方程组的雅可比迭代格式为()。填空题答案2. xXn 1 二 Xn3.Xn - f(XO1 -f %)x；1 (8 x2k)9x严=l(4+x1k)得 分评卷人5.迭代矩阵,5、判断题(共10 分)1. 若 f (a)f (b) ：0，则 f(x) =0在(a,b)内一定有根。2. 区间a,b上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。()3. 若方阵A的谱半径:(A) : 1，则解方程组Ax=b的Jacobi迭代法收

21、敛。 ()n4. 若f (x)与g (x)都是n次多项式，且在n+1个互异点Xii上f (xj =g(Xj)，贝y f (x)三 g(x)。()5.x x2近似表示ex产生舍入误差判断题答案1. x 2. x 3. x 4. V5. x得 分评卷人三、计算题(70分)1. (10分)已知f(0) = 1, f(3)= 2.4，f=5.2，求过这三点的二次插值基函数li(x)=(P2(X)=(计算题1.答案用三点式求得),f0,3,4=(f(4)=().),插值多项式由插值公式可求得它们分别为:32. ( 15分)已知一元方程x3x -1.2=0 o1) 求方程的一个含正根的区间；2) 给出在有

22、根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；3) 给出在有根区间的Newton迭代法公式。计算题2.答案2. ( 1)f(0) =1.2c0, f(2) =1.8a0 又f (x)连续故在(0,2)内有一个正根，(2) 上1x =茁3x +1.2, © "(x) = (3x +1.2) (15分)确定求积公式'4使其代数精度尽量高，并确定其代数精度, max""(x)l 兰2 < 1/. xn* =引3xn +1.2收敛1.2f(x)dx ： Af(-0.5) Bfg)Cf(0.5)的待定参数3. 假设公式对f (x) =1,x,x2,x3精

23、确成立则有' A+B+C=2-0.5A + BXT +0.5C =02 20.25A +Bx2 +0.25C =3-0.125ABx30.125C=03 2解此方程组得A=C=4,B=3 3求积公式为1 1f(x)dx ：匕4 f(-0.5) - 2f (0) 4f (0.5),当f (x) =x4时,2 1 、左边二-右边=-左边=右边.代数精度为3o4 64.（15分）设初值冋题V = 3x+2yy(0) = 10 ： x 1（1）写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；（2）写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解 的公式，并

24、求解力"2，保留两位小数。计算题4.答案4 (1) yn# =yn +0.1(3xn +2yn) =0.3xn +1.2yn yn 1 二 yn Qxn2%) 3(X. 0.2)2% “=yn0.1(6Xn 2yn 2yn1 0.6)yn/3yn 3Xn 3n 124 n 403 33 6333迭达得勺1.575, y22.585124022x404翅.2+405. （15分）取节点X。=°, x1 =0.5, X2才，求函数y = e在区间0,1上的二次插值多项式B（x），并估计误差。计算题5.答案J_0.5_0.5丿e -e e -10.5.o e 11 0.50.5

25、0 ,p2 (x) = e 亠(x - 0)亠(x - 0)(x - 0.5)0.501 - 0f ()x(x_0.5)(x_1) 3!=1+2(e°为 f(x)=x2+1,贝y f1,2,3=, f1,2,3,4 =。填空题答案1.相对误差绝对误差 -1)x2(eJ _2e°51)x(x _0.5)''xM3=maxy =1,e _p2(x) = x0,1 10 兰X 兰1 时，|ex-p2(x)| 笃|x(x0.5)(x1)|一、填空题(每题4分，共20分)1、 数值计算中主要研究的误差有 和。2、设lj(x)(j二0,1,2川n)是n次拉格朗日插值多项

26、式的插值基函数，则nS 11 (x)=(Xi)二(i,j=0,1,2 川n) ； jj 703、设lj(x)( j =0,1,2川n)是区间a,b上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ;插值型求积公式中求积系数Aj二;且n二 Aj =j =0o4、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式11,i =j,2. U3.至少是nba lk(x)dx ab-a4. 3b-a (b180( 2")4f ()，(a,b)5. 10二、计算题1、已知函数y=f(x)的相关数据I01230123x 二 O13927由牛顿插值公式求三次插值多项式 P3(x)，并计算 = P(2)的近似值计算题1.答案解：差商表由牛顿插值公式:114 32 . 8P3(x) =N3(x)x -2x 亠-x 1,33r 14 1 312.81,3 :mJ)(J -2()2 )1 =223 223 22、( 10分)利用尤拉公式求解初值问题，其中步长 h二0'，y = -y x 1, y(0) =1.x (0,0.6)0计算题2.答案f(x,y)=y+x+1, yo=H=1,h=O.1,yn + Fn +0.1(Xn +1 Yn), 5 = 0,1,2,3川|)y°