信号与线性系统

1、教材内容纲要教材内容纲要 绪论绪论第一章第一章 第二章第二章 第七章 信号分解 第三章 付氏变换 第四章拉普拉斯 变换 第五章系统函数 第六章 状态变量 第十一章付氏变换付氏变换 Z Z变换变换 第八第八九九章章基本概念引导基本概念引导 核心内容核心内容 应用和拓宽应用和拓宽 加深部分加深部分Compendium of textbook教材内容纲要教材内容纲要第二章第二章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 会建立描述系统激励会建立描述系统激励e(t)与响应与响应r(t)关系的微分方程，深刻理解转移算关系的微分方程，深刻理解转移算 子子H(p)的意义与应用。的意义与应用。 深刻理解系

2、统的特征多项式、特征方程、特征根的深刻理解系统的特征多项式、特征方程、特征根的(自然频率自然频率)的意的意 义，并会求解。义，并会求解。 深刻理解系统的全响应深刻理解系统的全响应, r(t)可分解为：零输入响应可分解为：零输入响应 rzi(t)与零状态响应与零状态响应 rzs(t)；自由响应与强迫响应；瞬态响应与稳态响应。；自由响应与强迫响应；瞬态响应与稳态响应。 会根据微分方程的特征根与已知的系统的初始条件，求解系统的零输会根据微分方程的特征根与已知的系统的初始条件，求解系统的零输 入响应入响应rzi(t)。 深刻理解单位冲激响应深刻理解单位冲激响应h(t)的意义，并会求解。的意义，并会求解

3、。 深刻理解卷积积分的定义、运算规律及主要性质，能会求解卷积积分。深刻理解卷积积分的定义、运算规律及主要性质，能会求解卷积积分。 会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状态响应会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状态响应rzs(t)。基本要求：基本要求：2.1 引 言2.2 系统方程的算子表示法2.3 系统的零输入响应 2.4 奇异函数2.5 信号的脉冲分解2.6 阶跃响应和冲激响应2.7 叠加积分2.8 卷积及其性质2.9 线性系统响应时域求解第二章第二章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析系统分析的基本任务是在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。系统分析的基本任务是在给定系

4、统和输入的条件下，求解系统的输出响应。 连续时间系统的时域分析法：连续时间系统的时域分析法： 在系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及的函在系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及的函数自变量均为连续时间数自变量均为连续时间 t 的一种分析方法。的一种分析方法。 连续时间系统的变换域分析法：连续时间系统的变换域分析法： 为便于求解方程而将时间变量变换成其他变量为便于求解方程而将时间变量变换成其他变量。2.1 引引 言言连续时间系统的分析方法连续时间系统的分析方法: 时域分析法时域分析法;变换域分析法变换域分析法所谓所谓系统的模型系统的模型是指对系统物理特性的抽象，用数学表达式或具

5、有是指对系统物理特性的抽象，用数学表达式或具有理想特性的符号图形来表征系统特性。理想特性的符号图形来表征系统特性。数学模型数学模型-以数学表达式表征系统特性。以数学表达式表征系统特性。)()(1)()(tediCtRidttdiLt举例举例1：RLC串联电路串联电路dttdetiCdttdiRdttidL)()(1)()(22一、建立数学模型一、建立数学模型: 线性系统输入线性系统输入输出方程输出方程/状态方程状态方程 数学模型的建立过程与应用系统的特性有关。对电系统数学模型的建立过程与应用系统的特性有关。对电系统而言，而言，电路分析电路分析课程中已经提供了相应的理论和方法，课程中已经提供了相

6、应的理论和方法，主要有主要有KCL和和KVL方程方程)(teR( )i tCL或选取变量：电流选取变量：电流i(t)列方程列方程 举例举例2：双耦合电路：双耦合电路对图示电路列写电流和电压的微分方程。对图示电路列写电流和电压的微分方程。)(te0( )u tR)(1tiRLM)(2tiCCL1211( )( )1( )( )( )tdi tdi tidLRi tMe tCdtdt解：解：选取变量：电流选取变量：电流i1(t) 、i2(t)列方程列方程 由两类约束关系，分别列两回路方程得：由两类约束关系，分别列两回路方程得： 回路回路1的的KVL方程：方程：电阻电阻R R的伏安关系：的伏安关系：

7、整理后得：整理后得：2122( )( )1( )( )0tdi tdi tidLRi tMcdtdt02( )utRi t（ ）)t (iCdt)t (diCRdt)t (id)CLR(dt)t (idRLdt)t (idML1212122313414221222）（2233441dt)t (edCdt)t (edRdt)t (edL回路回路2 2的的KVLKVL方程：方程：43232222222243223( )( )( )( )221( )2()( )d i td i td i tdi tLRd e tLMRLRi tMdtdtCdtCdtCdt（）43232220000043223221

8、( )2()d ud ud uduLRd e tLMRLRuRMdtdtCdtCdtCdt（）)(te0( )u tR)(1tiRLM)(2tiCCL举例举例3. 对图示电路，写出激励对图示电路，写出激励e(t)和响应和响应r(t)间的微分方程。间的微分方程。)(ti)(te2CLR)(tr解：由图列方程).().t( iR)t(rdt)t(drC22KCL:).().t ( e)t ( rdt)t (diL1 KVL:)t ( e)t ( rdt)t (drRLdt)t ( rdLC222将（2）式两边微分，得 ).(.dt)t (didt)t (drRdt)t ( rdC31222将（3）

9、代入（1）得* *由以上例题可以得出如下结论：由以上例题可以得出如下结论：1.1.求得的微分方程阶数与电路的阶数一致。求得的微分方程阶数与电路的阶数一致。 例例2：含有：含有4个储能元件，故为四阶电路。个储能元件，故为四阶电路。 例例3：含有：含有2个储能元件，故为二阶电路。个储能元件，故为二阶电路。2.2.无论是电流无论是电流i(t)或电压或电压 u(t),他们的齐次方程相同。他们的齐次方程相同。说明同一系统的特征根相同，即自由频率是唯一的。说明同一系统的特征根相同，即自由频率是唯一的。推广到一般推广到一般： 对于一线性系统其激励和响应函数或输入函数与输出函数之对于一线性系统其激励和响应函数

10、或输入函数与输出函数之间的关系，总可用下列的微分方程间的关系，总可用下列的微分方程输入输入输出方程描述输出方程描述：ebdtdebdtedbdtedbradtdradtrdadtrdmmmmmmnnnnn0111101111 n 阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程1)()(00)()(nnimjjjiiatebtra全响应全响应= =齐次方程通解齐次方程通解+ +非齐次方程特解非齐次方程特解（自由响应）（受迫响应）全响应全响应= =零输入响应零输入响应+ +零状态响应零状态响应（解齐次方程）（叠加积分法） 卷积，杜阿美尔积分时域分析法时域分析法变换域法变换域法（傅氏变换 拉普拉斯变换法）

11、微分方程求解微分方程求解二二、常系数常系数n 阶线性常微分方程的求解方法阶线性常微分方程的求解方法（经典法）古典解法解题过程：古典解法解题过程：齐次方程的齐次方程的通解通解：为：为n个指数项之和，其包含的个指数项之和，其包含的n个待定常数，个待定常数， 要用要用n个初始条件确定。个初始条件确定。 该部分解为系统的自然响应或自由响应。该部分解为系统的自然响应或自由响应。非齐次方程的非齐次方程的特解特解 ：可根据系统激励函数的具体形式求取。：可根据系统激励函数的具体形式求取。 该部分解为系统的受迫响应。该部分解为系统的受迫响应。根据不同观点根据不同观点,全响应可分解为全响应可分解为：自由：自由响应

12、分量响应分量和强迫响应分量；和强迫响应分量； 零输入响应和零状态响应分量；零输入响应和零状态响应分量； 暂态响应分量和稳态响应分量。暂态响应分量和稳态响应分量。1.时域分析法时域分析法 1) 古典解法（直接解法）古典解法（直接解法）系统系统建立微分方程建立微分方程求非齐次方程特解求非齐次方程特解求齐次方程通解求齐次方程通解全响应全响应2) 叠加积分法（卷积积分、杜阿美尔积分）叠加积分法（卷积积分、杜阿美尔积分）2. 变换域法变换域法 系统方程为高阶微分方程或激励信号是较为复杂的函数，利系统方程为高阶微分方程或激励信号是较为复杂的函数，利用时域法求解方程十分困难。为求解方程常采用变换域的方法。用

13、时域法求解方程十分困难。为求解方程常采用变换域的方法。即将自变量从时间变量变换为频率变量、复频率变量等即将自变量从时间变量变换为频率变量、复频率变量等.如：傅氏变换、拉氏变化等如：傅氏变换、拉氏变化等 将求系统的微分方程转换求代数方程将求系统的微分方程转换求代数方程系统的零输入响应：系统的零输入响应：当系统外加激励信号为零时由初始状态当系统外加激励信号为零时由初始状态 单独作用产生的响应。单独作用产生的响应。系统的零状态响应：系统的零状态响应：当系统初始状态为零时由外加激励信号当系统初始状态为零时由外加激励信号 单独作用产生的响应。单独作用产生的响应。求解方法：求解方法： 激励激励e(t)为零

14、，只需求解齐次方程的解，为零，只需求解齐次方程的解， 并利用初始条件确定解中的待定系数。并利用初始条件确定解中的待定系数。求解方法：求解方法： 需求含有激励函数而初始条件为零的非齐次方程的解。需求含有激励函数而初始条件为零的非齐次方程的解。 方法方法1 时域分析法时域分析法: A直接解方程法直接解方程法 B叠加积分法叠加积分法(卷积积分、杜阿美尔积分卷积积分、杜阿美尔积分) 方法方法2 变换域法变换域法零输入响应和零状态响应的求解零输入响应和零状态响应的求解1. 微分、积分算子定义微分、积分算子定义 在在n 阶常系数线性常微分方程式阶常系数线性常微分方程式 中的中的 和和 为时域中的微分运算符

15、号为时域中的微分运算符号,为方便起见为方便起见,把把微分运算符号微分运算符号用用p 表示，表示，即令：即令：把把积分算子符号用积分算子符号用1/p表示，表示，即令：即令： n 阶常系数线性常微分方程式的简化形式如下：阶常系数线性常微分方程式的简化形式如下： dtdpdt1ebdtdebdtedbdtedbradtdradtrdadtrdmmmmmmnnnnn0111101111nndtdpdtdnnndpdt= =ebpbpbpbrapapapmmmmnnn)()(011101112.2 系统方程的算子表示法系统方程的算子表示法一、一、 微分、积分算子定义微分、积分算子定义 规则规则 1 以以

16、 p 的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像 代数多项式那样进行相乘和因式分解。代数多项式那样进行相乘和因式分解。 mp+np=(m+n)p pmpn=p(m+n) , 其中其中m,n 为任意整数为任意整数 例如例如: )()2)(2()()4()()65()()3)(2(22trpptrptepptepp规则规则 2 设设A(p)和和B(p)是是p的正幂多项式，的正幂多项式，)()()()()()(trpApBtrpBpA二、微分、积分算子的运算规则二、微分、积分算子的运算规则规则规则 3 微分算子方程等号两边微分算子方程等号两边 p 的公因式不能随

17、便消去的公因式不能随便消去。 例如方程例如方程 )(1)(1tprptrpp规则规则 4 对函数进行先除后乘算子对函数进行先除后乘算子 p 的运算时，公式的分子与分母的运算时，公式的分子与分母 中共有中共有 p 算子允许消去。而对函数进行先乘后除运算时算子允许消去。而对函数进行先乘后除运算时,则则 不能相消不能相消.也就是说也就是说,对函数乘除算子对函数乘除算子p的顺序不能随意颠倒的顺序不能随意颠倒可见可见:大部分代数运算法则可以使用，但是有一些不能用大部分代数运算法则可以使用，但是有一些不能用( )( )r te tc)()(tpetpr对于对于n 阶连续系统阶连续系统,其输入其输入-输出方

18、程是输出方程是n 阶线性常系数微分方程阶线性常系数微分方程若设系统输入为若设系统输入为e(t)，输出为，输出为r(t)，则可表示为：，则可表示为：ebdtdebdtedbdtedbradtdradtrdadtrdmmmmmmnnnnn0111101111利用微分算子将上式表示成：利用微分算子将上式表示成： ebpbpbpbrapapapmmmmnnn)()(01110111或简记为或简记为 ：)()()()(tepNtrpD又可进一步写成：又可进一步写成：)()()()(tepDpNtr转移算子转移算子H(p)01110111)()()(apapapbpbpbpbpDpNpHnnnmmmm它代

19、表了系统对输入的传输作用它代表了系统对输入的传输作用,故称为响应对激励的传输算子故称为响应对激励的传输算子,或系统的或系统的传输算子传输算子三、转移算子三、转移算子)()()()()()(pDpNpHtepHtr求系统的零输入响应：求系统的零输入响应：激励激励 e(t)为零，求解齐次方程为零，求解齐次方程 的解，并利用初始的解，并利用初始 条件确定解中的待定系数。条件确定解中的待定系数。0)()(trpD求系统的零状态响应：求系统的零状态响应：系统的初始状态为零，求解系统的初始状态为零，求解 的非齐次方程。的非齐次方程。)()()(tepHtr四、系统算子方程的一般表达式四、系统算子方程的一般

20、表达式 例例 电路如图电路如图(a)所示，试写出所示，试写出u1(t)对对f(t)的传输算子的传输算子。 解解 画出算子模型电路如图(b)所示。由节点电压法列出u1(t)的方程为 )()(2212121tftupp)() 1(2)()22(12tfptupp所以所以u1(t)对对f(t)的传输算子为的传输算子为 22) 1(2)(2ppppH它代表的实际含义是它代表的实际含义是 )(2)( 2)(2)(2)(111tftftututu电容：电容：C1/Cp电感：电感：LLp 例例 如图如图(a)所示电路，电路输入为所示电路，电路输入为f(t)，输出为，输出为i2(t)，试建立该，试建立该电路的

21、输入输出算子方程。电路的输入输出算子方程。 i1(t)i2(t)1 Fi1(t)i2(t)i1(t)i2(t)2ppp1f (t)f (t)(a)(b)1 1 1 H2 H1 1 电容：电容：C1/Cp电感：电感：LLp 解解 画出算子模型电路如图画出算子模型电路如图(b)所示。列出网孔电流方程如下：所示。列出网孔电流方程如下： 0)(112)(1)()(1)(112121tipptiptftiptipp0)(1) 12()(1)()(1)(1) 1(221212tippptiptftiptippp整理：整理：该方程组对新设变量而言是一个微分方程组，该方程组对新设变量而言是一个微分方程组， 可

22、以用代数方法可以用代数方法求解，得求解，得 )()()2432(223tftippp系统的零输入响应是当系统没有外加激励信号时的响应。系统的零输入响应是当系统没有外加激励信号时的响应。求系统的零输入响应：求系统的零输入响应：激励激励 e(t)为零，求解齐次方程为零，求解齐次方程 的解，并利用初始的解，并利用初始 条件确定解中的待定系数。条件确定解中的待定系数。0)()(trpD1110( )nnnD ppapa pa-称为系统的称为系统的特征方程特征方程，方程解，方程解为特征方程的为特征方程的特征根特征根2.3 系统的零输入响应系统的零输入响应一、零输入响应的概念一、零输入响应的概念二、特征方

23、程二、特征方程( )( )( )N pH pD p转移算子：转移算子：转移算子分母转移算子分母D(p) ：特征多项式特征多项式0)(0111apapappDnnn简单系统简单系统1： 1阶齐次方程阶齐次方程 ，特征方程只有一个特征根，特征方程只有一个特征根 p = 。0)(rp0 rdtdrtcetr)(积分常数积分常数C可根据可根据 t =0 时由未加激励前的初始储能决定的初始值时由未加激励前的初始储能决定的初始值 r(t)= r(0)来确定。来确定。 上式为上式为 tertr)0()(一般情况下一般情况下：初始条件为初始条件为t =t0 时，时， r(t)= r(t0) 此时此时r(t)=

24、r(t0)e(t-t0)1.简单系统简单系统将上述结论推广到一般情况，将上述结论推广到一般情况， n 阶齐次方程阶齐次方程 ，若其特征方程有，若其特征方程有 n 个单根个单根 。则其解的一般形式为：则其解的一般形式为： tnttnececectr2121)(式中：各各为响应中的为响应中的自然频率自然频率，也是也是H(p)的的极点极点； c1、c2cn 是是 n 个应由系统初始条件确定的系数。个应由系统初始条件确定的系数。nnnnnnnnncccrcccrcccr12121111221121)0()0()0(三、简单系统的零输入响应三、简单系统的零输入响应0)(2rp简单系统简单系统2： 系统特

25、征方程在系统特征方程在 p = 处，具有一个二阶重根。处，具有一个二阶重根。 其解的通解其解的通解 tetcctr)()(10 积分常数积分常数c0、c1可根据可根据 t =0 时由未加激励前的初始储能决定的时由未加激励前的初始储能决定的初始值初始值 r(t)= r(0)和和 r(t)= r(0)来确定来确定。将上述结论将上述结论推广到一般情况，推广到一般情况，在在 p = 处，具有一个处，具有一个k阶重根阶重根,有有 0)(rpk11101111( )()ktktikiir tcc tctec te式中，系数式中，系数c0、c1、c2ck-1 由系统初始条件确定。由系统初始条件确定。2. 一

26、般系统的零输入响应一般系统的零输入响应对于一般情况，设对于一般情况，设n阶连续系统，其特征方程具有阶连续系统，其特征方程具有 n个特根个特根 ，设设 1 是是 k 阶重根。阶重根。1( )()niiD pp 解题步骤：解题步骤：A、 将特征多项式将特征多项式D(p)进行因式分解，即进行因式分解，即求出系统特征方程的根。其中设求出系统特征方程的根。其中设 1有有k 阶阶重根重根， B、根据下式，求出第根据下式，求出第 1 个根个根1对应的零输入响应对应的零输入响应 111101111()kttkikiicctctec teC、 将所有将所有特征特征根的根的响应相加，得到系统的零输入响应，即响应相

27、加，得到系统的零输入响应，即111111( )( )ilknttiziiiiii kr tr tc tece D、 根据给定的零输入响应初始条件根据给定的零输入响应初始条件 r(k)(0) k =0,1,2,n-1 确定常数确定常数 C1,C2,C (r i-1) （ i =1,2,k）。. (1,2,3, )iin特征根)(tr齐次解jm一对共轭复根重实根单实根21小结小结121210mtmtttmmCteCteCt eC ecos()sin()teCtDttCe 图示图示RLC串联电路中，设串联电路中，设L=1H，C=1F，R=2。若激励。若激励电压电压e(t)为零，且电路的初始条件为零，

28、且电路的初始条件 （1）i (0)=1A/s , i (0)=0 ; (2) i (0) = 0, uc(0) =1 0V, 这里压降这里压降 uc 的正方向设与电流的正方向设与电流 i 的的正方向一致。分别求上述两种初始条件时电路的零输入响正方向一致。分别求上述两种初始条件时电路的零输入响应电流。应电流。 例题例题2-1： 这电流的波形如图所示故得零输入响应电流为式得常数和将初始条件代入的导数先求和为应用初始条件微分方程的解为属于临界阻尼的情况。由电路理论可知：这是的二重根。有一等于方程即则此式成为给将元件值代入，并因已串联电路的微分方程为解：如图所示01, 0,/1000110101012

29、, 01101101022222tAteticctititececectitisAiitecectipipipptedttdetiCdttdiRdttidLRLCtttttt 方向相反电流的实际方向和图示为负值，表示电容放电这里为最后得零输入响应电流求得常数和于是，和上面一样可由并代入初始值，则得再令代入元件值，可得因电路的微分方程可写成和可由此导得初始条件时，和当初始条件为titAteticciisAittutititetetutRidttdiLiiVuitccc0,1010, 000/100, 002, 0.0010000210上题中如将电路电阻改为上题中如将电路电阻改为1 1 ，初始条件

30、为（，初始条件为（1 1），求），求 零输入响应电流。零输入响应电流。解：系统的微分方程为解：系统的微分方程为012ipp23j2101212，有一对共轭根方程pp求系数求系数C C1 1、C C2 2： ttececti2121微分方程的解为属于欠阻尼的情况。由电路理论可知：这是23j2121， sAii/1000 ，31jc31jc21 0)(23sin32313121)21()21(tAteejejtittt23j23j微分方程的解为例题例题2-2：te)t ( rC)( r)( r222200故代入上式得将0t)t ( r)( r)t (e)t ( r)t (r，求系统的零输入响应已知

31、出方程为：描述某系统的输入输例20212202( )0tr tC et 000ttt初始状态：系统在时的状态（设激励在时接入）初始条件：系统在时的状态( )2 ( )0r tr t求零输入响应解：解：0122,2( )2(1)tCCr tt e将初始条件代入上式得 0t求系统的零输入响应。，已知程为：描述某系统的微分方例,)(r)( r).t (e)t (e)t ( r)t (r)t (r2020244221 21 22210(0 )(0 )2, (0 )(0 )2:440,2( )ttrrrrr tCteC e 、解：由于激励为零,故特征根为得零输入响应一、奇异函数的定义一、奇异函数的定义有

32、一个或多个间断点，在间断点上的导数用一般方法不好确定，这样的函数统称奇异函数有一个或多个间断点，在间断点上的导数用一般方法不好确定，这样的函数统称奇异函数二、典型奇异函数二、典型奇异函数1. 阶跃函数阶跃函数连续时间单位阶跃信号用连续时间单位阶跃信号用( (t t) )表示，定义为表示，定义为 当当t=0时时, 取值没有定义取值没有定义 函数函数 (t-t1): 在在 t =t1 处由处由0 跃变为跃变为1 的单位阶跃函数，它较的单位阶跃函数，它较 (t) 延迟一时间延迟一时间 t1 0, 00, 1)(ttt2.4 奇异函数奇异函数( ) tt011t1()ttt01举例举例：在电路分析中，

33、单位直流电压源或电流源，通过一个在在电路分析中，单位直流电压源或电流源，通过一个在t=0时刻闭合的开关时刻闭合的开关,加到电路上的电压信号或电流信号，就可数学抽象加到电路上的电压信号或电流信号，就可数学抽象为为 (t) 。 *单位阶跃函数单位阶跃函数 (t)乘以任何一个函数乘以任何一个函数 f(t)后后,其乘积在阶跃之前为其乘积在阶跃之前为零零,在阶跃之后保持原在阶跃之后保持原f(t)值值*单位阶跃函数单位阶跃函数 (t-t1)和另一函数相乘，有将后者从和另一函数相乘，有将后者从t1 之前全部之前全部切切除的作用除的作用。KEu(t)u(t)(tE t = 0时时,K闭闭合合u(t) =E)(

34、t t = 0 (t)移位移位:右移01)(0tt 0tt左移01)(0tt 0tt (a) (b) (c)起始任一函数)t (）图的不同（）与注意（cbtsin)(sin0ttt0000t0t0tttt00sin () ()tttt画出画出sin t 、 sin t(t-t0) 、sin (t-t0) (t-t0) 波形波形例例：画出f(t-2)(t-2)的波形1t1 f(t)0-11t1 f(t-2) (t-2)02由单位阶跃函数可组成复杂的信号由单位阶跃函数可组成复杂的信号例例 11t0tf(t)0 (t)tf(t)10t0- (t-t0)()()(0ttttf 例例 21t1 f(t)

35、01t1 f(t)0)(tt )1()1( ttf(t)=t(t)- (t-1)+ (t-1)=t (t)-(t-1) (t-1)2. 冲激函数冲激函数定义定义1：从某些函数的极限来定义函数：从某些函数的极限来定义函数 冲激函数有几种不同的定义方式，本课程介绍两种定义。冲激函数有几种不同的定义方式，本课程介绍两种定义。 单位冲激函数单位冲激函数(t)可视为幅度可视为幅度1/ 与脉宽与脉宽的乘积（矩形面积）的乘积（矩形面积）为为1个单位的矩形脉冲，当个单位的矩形脉冲，当趋于零时脉冲幅度趋于无穷大的极趋于零时脉冲幅度趋于无穷大的极限情况。限情况。 122t)(tudttdu )(矩形脉冲的极限矩形

36、脉冲的极限:冲激函数常用图示带箭头的线段来表示。冲激函数常用图示带箭头的线段来表示。 函数只在函数只在t =0处有处有“冲激冲激”，而在，而在t 轴上其它各点取值为零。轴上其它各点取值为零。如果矩形面积为如果矩形面积为1，则在带箭头的线段旁注上，则在带箭头的线段旁注上(1)，表明表明冲激强度冲激强度为单位值。如果在图形上将为单位值。如果在图形上将(A)注于箭注于箭头旁，则表示冲激强度为头旁，则表示冲激强度为A单位值的单位值的(t)函数。函数。 单位冲激函数单位冲激函数又称又称狄拉克（狄拉克（Dirac）函数）函数，函数的定义式为：，函数的定义式为： (t-t0）则表示在则表示在 t = t0

37、处所出现的冲激，处所出现的冲激，如图所示。显然有如图所示。显然有 ： 冲激函数还可是三角形脉冲、高斯脉冲、抽样等函数的极限情况。冲激函数还可是三角形脉冲、高斯脉冲、抽样等函数的极限情况。00)(1)(ttdtt0000)(1)(ttttdttt( ) tt0(1)0t0()ttt0(1)定义定义2：利用广义函数（或称分配函数）定义函数：利用广义函数（或称分配函数）定义函数)0()()0()0()()()(ft dtft dftt dtft 考虑任何一个函数考虑任何一个函数 f（t）（该函数必须在（该函数必须在 t=0 处连续）乘以单位冲激函数后处连续）乘以单位冲激函数后在在 - t m2）一般

38、系统：）一般系统：系统的特征根系统的特征根D(p)=0的根的根无重根无重根( )()( )( )iiiippN pkpH pD pki的计算公式：的计算公式：情况情况2：n=m系统的冲激响应除包含指数函数外，还包含冲激函数。系统的冲激响应除包含指数函数外，还包含冲激函数。 对于一般微分方程的系统的冲激响应为：对于一般微分方程的系统的冲激响应为：)()()(1tbtekthmnitiibm 为转移算子中为转移算子中Pm的系数的系数1212( ).()()()nmnkkkH pbppp情况情况3：nm 系统的冲激响应除包含指数函数、冲激函数外，还包含有系统的冲激响应除包含指数函数、冲激函数外，还包

39、含有直到直到(m-n)(t)的冲激函数的各阶导数：的冲激函数的各阶导数：)(.)()(.)(2211111nnnnnmmnmmpkpkpkCpCpCpCpH)(.)()()(.)()()(2121)1(1)(tektektektCtCtCthtnttnnmmnmmn3）一般系统，系统的特征根（）一般系统，系统的特征根（D(p)=0的根）中的根）中1有有s个重根个重根假设假设mn，有12123.ssssn1121112211112( ).()()()()()()sssnsssnkkkkkkH ppppppp可以证明：可以证明：则：则：11211212( ).( )(1)!( )( ).( )ss

40、nststttssnth tkk tketsketketk et11111( )( )(1)!stssskttketsp1111()( )()!s isips idkpH psidp重根系数重根系数2. 系统的冲激响应的计算方法系统的冲激响应的计算方法2初始条件法初始条件法 将冲激响应的影响看成是将冲激响应的影响看成是t=0+时的初始条件。时的初始条件。 只要确定这只要确定这一组初始条件，冲激响应可用求零输入响应的方法求取一组初始条件，冲激响应可用求零输入响应的方法求取)()()(0111tetrapapapnnn线性系统的算子方程：线性系统的算子方程：当当 e (t) = (t) 时时: r

41、(t) = h(t) )()()()()(01111tthathdtdathdtdathdtdnnnnn单位冲激激励引起的在单位冲激激励引起的在t=0+时的时的n个初始条件：个初始条件：0)0()0()0()0(1)0()2()3()2()1(hhhhhnnnn将冲激激励转化成将冲激激励转化成 0+ 时刻的初始条件，然后利用零输入响应的求解方法求解。时刻的初始条件，然后利用零输入响应的求解方法求解。例例2-4分析过程：分析过程：3. 系统的冲激响应的计算方法系统的冲激响应的计算方法3系数平衡法系数平衡法比较等式两边相同函数的系数，得到解答比较等式两边相同函数的系数，得到解答例题例题2-4例题例

42、题2-3例题例题2-5例1.描述某系统的微分方程为:试求该系统的冲激响应h(t)。)()()()(tetrtrtr 23 000123)()().(.)()()()(hhtththth得21200230021，特征根为上式可化为时，).(.)()()(,)( tthththtt212( )() ( ).(3)tth tC eC et故解：解：由冲激响应的定义，当由冲激响应的定义，当e(t)= (t) 时，时，rzs(t)=h(t)1(0 )(0 )( )3 ( )2 ( )( ).(1)( )( )( )( ),( )( ),(0 )(0 )( )( ),(0 )(0 ) 0hhh th th

43、 tth tth th t dth tthhh th t dtthh由方程（）等号两边奇异函数要平衡，确定初始条件和含项含项 即为连续函数 即000000001200300001dtthhhdtthhhhh)()()()()()()( )( )(，其中逐项积分，得到式两边从对)()()()( )()()()( )( ,)( )( teethCCCChCChhhhhhtt221212111120003001010100故式得代入，将初始条件即故推导推导:满足方程时，当若初始值确定)()()()()(.)()()()()(thttetetratratrnnn01101)(,.,)()(.)()()

44、()()(11121000011njhtthathathjnnn）（初始条件法小结初始条件法小结( )10(0 )00,1,2,.,2(1 2)(0 )1jnhjnh由系数平衡法，可推得各初始值为.)()()(.)()()(),(.)()(）式相同求解过程与（满足方程选取新变量11110111111thtthathathththannn)(.)()()()(.)()(thbthbthbthbmmmm10111131系统的冲激响应为微分特性，即可求得式状态响应的线性性质和根据线性时不变系统零( )(1)()(1)1010(2)I( )( ).( )( )( ).( ).(1 3)nnmmnmmL

45、Trtarta r tb etbetb e t系统的冲激响应求解步骤解：解：1111(1)( )( )5( )4 ( )( )h ththth tt选求满足下式的冲激响应1241121114( )() ( )(0 )0,(0 )1tth tC eC ethh 特征根为，故冲激响应将代入上式得0010045011111)()( )()( )(hhthththt时化为零输入响应，设( )5 ( )4 ( )2 ( )( )rtr tr te te t例 描述某系统的微分方程为试求该系统的冲激响应31311400021211211CCCChCCh，)( )()()()( )()()()(teetht

46、hththtt411323122再求满足系统方程的411441411( )( )() ( )331411( )() ( )() ( )333314() ( )33tttttttth th teethteeteeteet 故冲激响应为11.(0 )2.( )( )( )4. ( )( )5. ( )( )hh tdr tdth ttdtdth tLH s化为零输入响应 难点的确定部分分式展开法的求法3.系数平衡法r (t)的求解方法的求解方法方法方法1 1：( )(1)10( )( )( )( )( ).( )( )(2 1)(0 )0,0,1,2.,1(0 )(0 )00,1,2,.,1nnn

47、jjjrtarta r ttrjnrrjn由方程两边奇异函数要平衡，得101( )() ( )intiir tC eta若该方程的特征根均为单根，则齐次解特解方法方法2：( )( )( )( )ttr thdtd 试求该系统的阶跃响应为描述某系统的微分方程例),()()( )(.tetrtrtr863122412241( )() ( )8ttr tC eC et 特征根为，故( )( )6( )8 ( )( )(0 )0(0 )0r trtrtr ttrr解：满足方程为1212122401(0 )011,848(0 )240111( )() ( )488ttrCCCCrCCr teet 由初始

48、值代入上式得于是得 利用叠加原理，把系统对激励信号的各分量利用叠加原理，把系统对激励信号的各分量(阶跃函数序列阶跃函数序列或冲激函数序列或冲激函数序列)的响应进行叠加以求取系统的零状态响应的响应进行叠加以求取系统的零状态响应(杜阿美尔积分或杜阿美尔积分或卷积积分卷积积分)。本节只介绍卷积积分本节只介绍卷积积分*1. 杜阿美尔积分杜阿美尔积分nktktatkttttftftf1)()()()0()(任意一函数任意一函数 f（t）可用若干个阶跃函数之和近似表示：可用若干个阶跃函数之和近似表示：用用 e (t)代表激励函数，则激励函数可近似表示为代表激励函数，则激励函数可近似表示为: :nktkta

49、tkttttetete1)()()()0()(（2-56） 阶跃幅值阶跃幅值 时移为时移为k t的阶跃函数的阶跃函数2.7 2.7 叠加积分叠加积分变换积分变量杜阿美尔积分的另一种形式变换积分变量杜阿美尔积分的另一种形式:drtetretrt)()()()0()(0drtetrt)()()(0或或: :dtretretrt)()()()0()(0dtretrt)()()(0在时域中利用叠加积分由阶跃响应求系统对激励函数的零状态在时域中利用叠加积分由阶跃响应求系统对激励函数的零状态响应的积分公式响应的积分公式杜阿美尔积分杜阿美尔积分将积分下限改为将积分下限改为0-系统对激励函数系统对激励函数e(

50、t)的总响应为的总响应为:nktktttkftf0)()()(任意一函数任意一函数 f(t)可用若干个冲激函数之和近似表示：可用若干个冲激函数之和近似表示：用用 e(t)代表激励函数，则激励函数可近似表示为代表激励函数，则激励函数可近似表示为:nktktttkete0)()()(2. 卷积积分卷积积分 冲激强度冲激强度 位于位于k t处的冲激函数处的冲激函数系统对激励函数系统对激励函数e(t)的总响应可近似为的总响应可近似为:)()()(0tkthttketrnk 当当t无限趋小时无限趋小时:t d , kt , e(kt) e( ),对各项取和变成取积分对各项取和变成取积分dthetrt)(

51、)()(0系统对激励函数系统对激励函数e(t)的总响应为的总响应为:变换积分变量卷积积分的变换积分变量卷积积分的另一种形式另一种形式:在时域中利用叠加积分由冲激响应求系统对激励函数的零状态响在时域中利用叠加积分由冲激响应求系统对激励函数的零状态响应的积分公式应的积分公式 卷积积分卷积积分 dhtetrt)()()(0（2-60）（2-61a）（2-61b）设：系统的单位冲激响应为设：系统的单位冲激响应为h(t)： (t) h(t)当当系统在系统在t = k t处处激励函数为激励函数为则系统在则系统在t = k t处的冲激响应为处的冲激响应为)()(tkthttke()()e k tttk t

52、tkte(kt) t h(t - kt)e(t)tktte(kt)(a)激励函数分解成若干个脉冲函数(b)第k 个脉冲的冲激响应(c)冲激响应叠加后的总响应图2-20 卷积积分示意图tr(t) e(kt) t h(t - kt)r(t)kt用冲激响应用冲激响应求系统的零状态响应方法：求系统的零状态响应方法： 给定一系统或其微分方程，可求出系统的冲激响应给定一系统或其微分方程，可求出系统的冲激响应(或阶跃响或阶跃响应应) ,然后用叠加积分就可求出系统的零状态响应。然后用叠加积分就可求出系统的零状态响应。激励信号可以分解为一系列冲激函数的积分激励信号可以分解为一系列冲激函数的积分-卷积积分卷积积分

53、 tdtete0)()()()()(tht )()(tht)()()()(thetettdthedte00)()()()(tdthete0)()()(卷积积分 结论：结论：如果得到了系统的冲激响应，通过卷积积分，就可以计算如果得到了系统的冲激响应，通过卷积积分，就可以计算出系统对任意信号出系统对任意信号e(t)的响应。的响应。激励激励:响应响应:与杜阿美积分相比,这里并不需要信号连续、可导,所以其实用性大大优于杜阿美积分叠加积分可推广用于叠加积分可推广用于线性线性时变时变系统：系统： 系统响应为：系统响应为：dthetrt),()()(0dthetrt)()()(0激励函数激励函数e(t)=(

54、0.5t+1) (t)- (t-2)+(t+1) (t-2)加于加于RC串联电串联电路。设路。设R=0.5 ,C=2F,且初始状态为零，求响应电流且初始状态为零，求响应电流 i(t).解：由例题解：由例题2-3解得解得RC电路的冲激响应为：电路的冲激响应为：)(2)(2)(1)(1)(2tetteCRtRthtRCt激励函数激励函数)2(5 . 0)() 15 . 0()(ttttte响应电流为响应电流为)2(1 )()1 ()()()()2(0tetedthetittt例题例题2-6e(t)=(0.5t+1) (t)- 0.5t (t-2)一、一、 卷积的定义卷积的定义 一般而言，如果有两个

55、函数一般而言，如果有两个函数f1(t)、 f2(t)，积分，积分 称为称为f1(t)、 f2(t)的卷积积分，简称卷积：的卷积积分，简称卷积： dtfftg)()()(211221( )( )( )( )( )g tf tf tf tf t2.8 卷积及其性质卷积及其性质 信号信号f1(t)与与f2(t)的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：的卷积运算可通过以下几个步骤来完成： 第一步，第一步，画出画出f1(t)与与f2(t)波形，将波形图中的波形，将波形图中的t轴改换成轴改换成轴，轴，分别得到分别得到f1()和和f2()的波形。的波形。 第二步，第二步，将将f2()波形以纵轴为中心轴翻转波形以

56、纵轴为中心轴翻转180,得到得到f2(-)波形。波形。 第三步，第三步，给定一个给定一个t值，将值，将f2(-)波形沿波形沿轴平移轴平移|t|。在。在t0时，波形往右移。这样就得到了时，波形往右移。这样就得到了f2(t-)的波的波形。形。 换积分变量换积分变量 反褶反褶平移平移相乘相乘叠加（积分）叠加（积分）二、卷积的图解机理二、卷积的图解机理 第四步，第四步，将将f1()和和f2(t-)相乘，得到卷积积分式中的被积相乘，得到卷积积分式中的被积函数函数f1()f2(t-)。 第五步，第五步，计算乘积信号计算乘积信号f1()f2(t-)波形与波形与轴之间包含的净轴之间包含的净面积，便是式面积，便

57、是式 卷积在卷积在t时刻的值。时刻的值。 第六步，第六步，令变量令变量t在在(-，)范围内变化，重复第三、四、范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号五步操作，最终得到卷积信号f1(t)*f2(t)。 dtfftg)()()(21 求求f(t)与与h(t)的卷积，实质上是求一个新函数的卷积，实质上是求一个新函数f( )h(t )在在 由由0到到t的区间内的定积分。根据定积分的几何意义，函数在的区间内的定积分。根据定积分的几何意义，函数在0到到t区间内的定积分值，决定于被积函数区间内的定积分值，决定于被积函数f( )h(t )的曲线在该的曲线在该区间内与区间内与 轴之间所限定的面积。

58、轴之间所限定的面积。 举例)()(ete或01211或t)(h021（）变量替换后，将其中一信号反折（）变量替换后，将其中一信号反折（）平移（）平移（左移到与另一信号没有重合后左移到与另一信号没有重合后,再右移再右移)*解解:)()(hth或021或tt-2121)(tb)(e0t1)(th211231)(tc16343)(211)(*)(121tdtthte1( )12bt 16144)(211)(*)(221tdtthtet)(e0t1)(th211231)(tc（）相乘（）相乘21)(ta0)(*)(thte)(e0t1)(th21121)(ta)(e0t1te3)()(th211323

59、)(td)(e0t1)(th211323)(td4324)(211)(*)(212ttdtthtette3)(0)(*)(thte（）相乘（）相乘（4）相加：以上各图中的）相加：以上各图中的阴影面积阴影面积，即为，即为相乘积分的结果相乘积分的结果 最后，最后，若以若以t为横坐标，将与为横坐标，将与t对应积分值描成曲线，就是对应积分值描成曲线，就是卷积积分卷积积分e(t)*h(t)函数图像。函数图像。)(*)(thte023169t)(th211161523卷积积分结果附附：序序号号0102030405060708091011121314 tteatcos tet aarctgtateeaatt

60、,coscos2222 tf1 tf2 tftftftf1221 tf t tf tf t dttdf tf t tdf dttdf tdg tgtf t t tt 1ttt 2ttt 21212211tttttttttttttttt tet1 tet2 2112,112teett tet tet ttet 1ttt tet 1111111tteetttetttttn tet ttjnntenjnnjjtn011! ttm ttn ttnmnmnm1!1! tettm1 tettm2 2101210121,!1!121tetknkkmntetjmjjnmtknnkkmktjmmjjnj tet