信号与系统10-采样定理

1、.三、频率响应三、频率响应H(jH(j ) )的求法的求法1. H(j ) = F h(t) 2. H(j ) = Y(j )/F(j )由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。(1)由电路直接求出。由电路直接求出。 .三、频率响应三、频率响应H(jH(j ) )的求法的求法例例1：某系统的微分方程为：某系统的微分方程为 y (t) + 2y(t) = f(t)求求f(t) = e-t(t)时的响应时的响应y(t)。解解：微分方程两边取傅里叶变换：微分方程两边取傅里叶变换j Y(j ) + 2Y(j ) = F(j ) 21)()()(jjFjYjH

2、f(t) = e-t(t)11)(jjFY(j ) = H(j )F(j )2111)2)(1(1jjjjy(t) = (e- -t e- -2t )(t) .四、无失真传输与滤波四、无失真传输与滤波.线性失真线性失真: :1 1、振幅失真振幅失真: :系统对信号中各频率分量的幅度系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减（放大），使各频率分量之产生不同程度的衰减（放大），使各频率分量之间的相对振幅关系发生了变化。间的相对振幅关系发生了变化。2 2、相位失真：系统对信号中各频率分量产生、相位失真：系统对信号中各频率分量产生的相移与频率不成正比，使各频率分量在时间轴的相移与频率不成正比，使各

3、频率分量在时间轴上的相对位置发生了变化。这两种失真都不会使上的相对位置发生了变化。这两种失真都不会使信号产生新的频率分量。信号产生新的频率分量。 非线性失真非线性失真:由信号通过非线性系统产生的，特点是信号通由信号通过非线性系统产生的，特点是信号通过系统后产生了新的频率分量。过系统后产生了新的频率分量。.四、无失真传输与滤波四、无失真传输与滤波系统对于信号的作用大体可分为两类：系统对于信号的作用大体可分为两类：信号的传输信号的传输滤波滤波传输要求信号尽量不失真，而滤波则要求滤传输要求信号尽量不失真，而滤波则要求滤去或削弱不需要的成分，必然伴随着失真。去或削弱不需要的成分，必然伴随着失真。 .四

4、、无失真传输与滤波四、无失真传输与滤波1、无失真传输、无失真传输 （1）定义定义：信号：信号无失真传输无失真传输是指系统的输出信号与输入信是指系统的输出信号与输入信号相比，只有号相比，只有幅度的大小幅度的大小和和出现时间的先后不同出现时间的先后不同，而没有波，而没有波形上的变化。即形上的变化。即 输入信号为输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为，经过无失真传输后，输出信号应为其频谱关系为其频谱关系为)()(dttKfty)()(jFKejYdtj.系统要实现无失真传输，对系统系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j )的要求是：的要求是： K|H(j)| ()0 0 上述是信号

5、无失真传输的上述是信号无失真传输的理想理想条件。当传输有限带宽条件。当传输有限带宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。相频特性满足以上条件即可。 (2)无失真传输条件无失真传输条件：.NoImage)()(dttKfty)()(jFKejYdtj()()()dj tY jH jKeF jdtKjH)()(2)无失真传输条件无失真传输条件：对一个冲击响应系统，要实现无失真传输，则对一个冲击响应系统，要实现无失真传输，则 即即.NoImageKKjH)( dtoddtd)(无失真传输系统的幅频特性和相频特性无失真

6、传输系统的幅频特性和相频特性理想条件。实际中，传输有限带宽的信号，只要在信号占有理想条件。实际中，传输有限带宽的信号，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。.例例：系统的幅频特性：系统的幅频特性|H(j)|和相频特性如图和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信所示，则下列信号通过该系统时，不号通过该系统时，不产生失真的是产生失真的是(a)(b)1 10 0- -1 10 05 5- -5 500| |H H( (j j) )| |( () )5 5- -5 5(A) f(t) = cos(t) + cos(8t)(B)

7、 f(t) = sin(2t) + sin(4t)(C) f(t) = sin(2t) sin(4t)(D) f(t) = cos2(4t).例例：系统的幅频特性：系统的幅频特性|H(j)|和相频特性如图和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信所示，则下列信号通过该系统时，不号通过该系统时，不产生失真的是产生失真的是(a)(b)1 10 0- -1 10 05 5- -5 500| |H H( (j j) )| |( () )5 5- -5 5(A) f(t) = cos(t) + cos(8t) (B) f(t) = sin(2t) + sin(4t)(C) f(t) = sin(2t) s

8、in(4t)(D) f(t) = cos2(4t)该系统是个该系统是个失真的系统失真的系统振幅不失真，相位失真振幅不失真，相位失真振幅不失真，相位不失真振幅不失真，相位不失真振幅不失真，相位失真振幅不失真，相位失真振幅不失真，相位失真振幅不失真，相位失真.2、理想低通滤波器、理想低通滤波器 1|H(j)| ()0 0C C- -C C具有如图所示幅频、相频特性的系具有如图所示幅频、相频特性的系统称为统称为理想低通滤波器理想低通滤波器。 c称为截称为截止角频率。止角频率。 理想低通滤波器的频率响应可写为：理想低通滤波器的频率响应可写为： dCdtjCCtjgjHe)(, 0,e)(2在在0 c

9、的低频段内，传输信号无失真（通带内不失真）。的低频段内，传输信号无失真（通带内不失真）。.冲激响应冲激响应)()(2cdgethtj1F2)(Satg)(22gtSa)(222cgtSacc)()()(2dcctjttSagethcd1F2、理想低通滤波器、理想低通滤波器 .)()()(2dcctjttSagethcd1F.)()()(2dcctjttSagethcd1F实际上是实际上是不可实现的非因果系统不可实现的非因果系统 (why?)。. 由图可见理想低通滤波器的冲激响应延迟了由图可见理想低通滤波器的冲激响应延迟了 秒，而且输出脉冲在其建立之前和建立之后都出现秒，而且输出脉冲在其建立之前

10、和建立之后都出现振荡现象，这种振荡一直延伸到振荡现象，这种振荡一直延伸到 。实际上。实际上, ,当当t0t0 时时, ,输入信号尚未接入，对于现实的物理系统，输入信号尚未接入，对于现实的物理系统，当然不可能有输出。这里的结果是由于采用了实际当然不可能有输出。这里的结果是由于采用了实际上不可能实现的理想化传输特性所致。上不可能实现的理想化传输特性所致。 dtNoImage.3、物理可实现系统的条件、物理可实现系统的条件 就就时域特性时域特性而言，一个而言，一个物理可实现的系统物理可实现的系统，其冲激响应在，其冲激响应在t0时必须为时必须为0，即即 h(t)=0 ，t0 响应不应在激励作用之前出现

11、响应不应在激励作用之前出现。 就就频域特性频域特性来说，佩利（来说，佩利（Paley)和维纳（和维纳（Wiener)证明了物理证明了物理可实现的幅频特性必须满足可实现的幅频特性必须满足 djH2)(djH21)(ln并且并且 称为称为佩利佩利-维纳准则维纳准则。（。（必要条件必要条件） 从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为些孤立频率点上为0，但不能在某个有限频带内为，但不能在某个有限频带内为0。 .4.9 4.9 取样定理取样定理取样定理取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号论述了在一定条件下，一个连续信号完

12、全可以用完全可以用离散样本值离散样本值表示。这些样本值包含了该连表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说，取样定理可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁架起了一座桥梁。为其互为转换提供了理论依据。为其互为转换提供了理论依据。 信号的取样信号的取样采样定理采样定理.4.9 4.9 取样定理取样定理一、信号的取样一、信号的取样 所谓所谓“取样取样”就是利用就是利用取样脉冲序列取样脉冲序列s(t)从连续信从连续信号号f(t)中中“抽取抽取”一系列一系列离散样本值离散样本值的

13、过程。的过程。 这样得到的离散信号称为这样得到的离散信号称为取样信号取样信号。 它是对信号进行数字处理的第一个环节。它是对信号进行数字处理的第一个环节。.信号信号抽样抽样也称为也称为取样取样或或采样采样，是利用抽样脉冲序列，是利用抽样脉冲序列 p (t) 从连续信号从连续信号 f (t) 中抽取一系列的离散样值，通过抽样过中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的离散样值信号称为程得到的离散样值信号称为抽样信号抽样信号，用，用 fs (t) 表示。表示。toTStoTSto( )f t( )p t( )sf t.)(stfD/A)(nf)(ngA/D)(tg)(tp)(tf数字数字滤波器滤波器

14、量化编码量化编码抽样的原理方框图抽样的原理方框图:连续信号经抽样后变成抽样信号，往往还需连续信号经抽样后变成抽样信号，往往还需要再经量化、编码等步骤变成数字信号。这要再经量化、编码等步骤变成数字信号。这种数字信号经传输、处理等步骤后，再经过种数字信号经传输、处理等步骤后，再经过上述过程的逆过程就可恢复原连续信号。上述过程的逆过程就可恢复原连续信号。周期周期信号信号需要解决两个问题：需要解决两个问题：抽样信号抽样信号 fs (t)的频谱的频谱Fs()与原连续信号与原连续信号 f (t)的频谱的频谱F()的的关系关系；2. 在什么条件下可从抽样信号在什么条件下可从抽样信号 fs (t)中中无失真地

15、恢复原连续无失真地恢复原连续信号信号 f (t) 。.频谱是原连续信号的频频谱是原连续信号的频谱以抽样角频率为间隔谱以抽样角频率为间隔周期地延拓，频谱幅度周期地延拓，频谱幅度受抽样脉冲序列的傅立受抽样脉冲序列的傅立叶系数加权。叶系数加权。 为为抽样角频率抽样角频率， 为为抽样频率抽样频率 为为抽样间隔抽样间隔， 假设原连续信号假设原连续信号 f (t)的频谱为的频谱为 F()，即，即抽样脉冲抽样脉冲 p (t) 是一个周期信号，它的频谱为是一个周期信号，它的频谱为( )( )f tF( )( )2()sjntnnsnnp tPePPn ssT2sTssTf11( )( )( )( )( )2

16、( ( )()(snsnssnnf tf tp tFPFFPnPnF 所以抽样信号的频谱为所以抽样信号的频谱为在时域抽样（离散化）相当于频域周期化在时域抽样（离散化）相当于频域周期化. 冲激取样冲激取样)(tfottosTsT2sT3sT3sT2sT)(tfstsT2sT3sT2osTsTsT3mNoImagem)(jF1ssos2s2osssT1jFa tsT ss.如图一连续信号如图一连续信号f(t)f(t)0 0t t用取样脉冲序列用取样脉冲序列s(t)(开关函数开关函数）进行）进行取样，取样，取样间隔取样间隔为为TS，fS =1/TS称为称为取样频率取样频率。t ts(t)1T TS

17、S2T2TS S3T3TS S0 0得取样信号得取样信号 fS(t) = f(t)s(t)f(t)s(t)fs(t)t tf(t)s(t)1T TS S2T2TS S3T3TS S0 0取样信号取样信号fS(t)的频谱函数为的频谱函数为 FS( j )=(1/2 )F( j )*S( j )冲激取样信号的频谱冲激取样信号的频谱.s(t)是周期为是周期为Ts的冲激函数序列的冲激函数序列 Ts(t) 带限信号：带限信号： f(t)的频谱只在区间（的频谱只在区间（- - m， m)为有限值，为有限值，其余区间为其余区间为0 。 冲激取样信号的频谱冲激取样信号的频谱.)()()(tstftfs)(21

18、)(jSjFjFsnssnsTnnTtttsjSs)( )()()()(FFFnssnssnsssnjFTnjFTnjFjSjFjF)(1)(1)(21)(21)(f(t)s(t)fs(t)冲激取样信号的频谱冲激取样信号的频谱.冲激取样信号的频谱冲激取样信号的频谱f(t)t0(1)Ts(t)t0 Ts 2Ts-Ts=0tfs(t)Ts2Ts-Ts1F(j)0 0 m m- -m m( (S S) )Ss(t)0S S- -S S21*=0 0 m m- -m mS S- -S SFS(j)1/TS在画取样信号在画取样信号fS(t)的频谱时，设定的频谱时，设定S 22m （频（频谱谱不发生混叠不

19、发生混叠），因此能设法），因此能设法( (如利用低通滤波器如利用低通滤波器) )从从FS(j )中取出中取出F(j )，即，即从从fS(t)中恢复原信号中恢复原信号f(t)。否则将发生混叠，而无法恢复原信号。否则将发生混叠，而无法恢复原信号。.当 时各相邻频谱相互分开当 时各相邻频谱相互重叠ms2ms2ssosT1)(jFssosT1)(jF冲激取样信号的频谱冲激取样信号的频谱. 如何从抽样信号中恢复原连续信号，以及在什如何从抽样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失真地由抽样信号恢复原连续信么条件下才可以无失真地由抽样信号恢复原连续信号。著名的抽样定理对此作了明确而精辟的回答。号。

20、著名的抽样定理对此作了明确而精辟的回答。 抽样定理在通信系统、信息传输理论、数字信抽样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十分重要的地位，该定理在连续号处理等方面占有十分重要的地位，该定理在连续时间信号与系统和离散时间信号与系统、数字信号时间信号与系统和离散时间信号与系统、数字信号与系统之间架起了一座桥梁。该定理从理论上回答与系统之间架起了一座桥梁。该定理从理论上回答了为什么可以用数字信号处理手段解决连续时间信了为什么可以用数字信号处理手段解决连续时间信号与系统问题。号与系统问题。二、时域取样定理二、时域取样定理.二、时域取样定理二、时域取样定理当当S 22m 时，将取样信号通

21、过下面的低通滤波器时，将取样信号通过下面的低通滤波器CCSTjH|, 0|,)(其截止角频率其截止角频率C取取m C S - -m 。即可恢复原信号。即可恢复原信号。由于由于 fs(t)= f(t)s(t) = f(t) nssnsnTtnTfnTt)()()(H(j ) h(t) =)(tSaTccS为方便，选为方便，选C = 0.5= 0.5S ，则，则TsTsC /=1 /=1 .)2()(tSathS所以所以根据根据f(t)=fS(t)*h(t) ，有，有 )(2Sa)()2Sa(*)()()(nsssnsssnTtnTftnTtnTftf只要已知各取样值只要已知各取样值 ，就可唯一地

22、确定出原信号，就可唯一地确定出原信号f(t)。 时域取样定理时域取样定理： 一个频谱在区间（一个频谱在区间（- m， m)以外为以外为0的带限信号的带限信号f(t),可唯一地可唯一地由其在均匀间隔由其在均匀间隔Ts Ts2fm，或者说，或者说，取样间隔不能取样间隔不能太大，必须太大，必须Ts1/(2fm);否则将发生混叠。否则将发生混叠。 ()sf nT()sf nT.最低允许的取样频率最低允许的取样频率fs=2fm 奈奎斯特频率奈奎斯特频率最大允许的取样间隔最大允许的取样间隔Ts=1/(2fm) 奈奎斯特间隔奈奎斯特间隔 ( )f t( )sf t( )F( )sFmmmmsT(a) 连续信

23、号的频谱0000tt.时域抽样定理的图解时域抽样定理的图解：假定号：假定号 f (t)的频谱只占据的频谱只占据 的范围，若以间隔的范围，若以间隔 对对 f (t)进行抽样，抽样信号进行抽样，抽样信号 fs (t)的频谱的频谱 FS() 是以是以 S 为周期重复，在此情况下，只有满足为周期重复，在此情况下，只有满足 各频移的频谱才不会相互重叠。这样，抽样信号各频移的频谱才不会相互重叠。这样，抽样信号 fs (t) 保留了保留了原连续信号原连续信号f (t)的全部信息，完全可以用的全部信息，完全可以用 fs (t) 唯一地表示唯一地表示 f (t) ，或者说，或者说， f (t)完全可以由恢复出完

24、全可以由恢复出 fs (t) 。二、时域抽样定理二、时域抽样定理 (,)mmsTms2如果如果 ，那么原连续信号频谱在周期重复过程中，那么原连续信号频谱在周期重复过程中，各频移的频谱将相互重叠，就不能从抽样信号中恢复原连续各频移的频谱将相互重叠，就不能从抽样信号中恢复原连续信号。频谱重叠的这种现象称为信号。频谱重叠的这种现象称为频率混叠现象频率混叠现象。ms2.二、时域抽样定理二、时域抽样定理 ( )f t( )sf t( )sf t( )F( )sF( )sFmmmmmssTsT(a) 连续信号的频谱(b) 高抽样速率时抽样信号的频谱(c) 低抽样速率时抽样信号的频谱及频谱混叠000000t

25、ttsss. 在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为 的的理想低通滤波器，即可从抽样信号理想低通滤波器，即可从抽样信号 fs(t) 中中无失真无失真恢复原连续恢复原连续信号信号 f (t) 。连续时间信号的重建连续时间信号的重建 mc tf sF Fmmm)()(tSaTthCCsCsTt00sTcc H tfssT0000ttss.假设连续频谱函数为假设连续频谱函数为F() ，抽样频谱函数为，抽样频谱函数为FS() ，即在频域，即在频域抽样有抽样有三、频域抽样与频域抽样定理三、频域抽样与频域抽样定理 ( )( ) ()() ()ssssnnFFnF

26、nn 1( )()ssnsf tf tnT说明：说明：信号在频率域抽样（离散化）等效于在时间域周期化。信号在频率域抽样（离散化）等效于在时间域周期化。频域抽样定理频域抽样定理：频域抽样定理表明，一个时间受限的信号：频域抽样定理表明，一个时间受限的信号 f (t) ，如果时间，如果时间只占据只占据 的范围，则信号的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的频率抽样值可以用等间隔的频率抽样值 唯一地表示，抽样间隔为唯一地表示，抽样间隔为 ，它必须满足条件，它必须满足条件 ，其中，其中(,)mmtt()sF nsmstT22ssT 设设 FS() 对应的时间信号为对应的时间信号为 fs (t) ，则有，

27、则有 .例例1sin( )tf tt（1）求）求f(t)的奈奎斯特频率的奈奎斯特频率（2）求）求f(2t)的奈奎斯特频率的奈奎斯特频率（3）求）求f(t) f(t)的奈奎斯特频率的奈奎斯特频率.例例1sin( )tf tt（1）求）求f(t)的奈奎斯特频率的奈奎斯特频率（2）求）求f(2t)的奈奎斯特频率的奈奎斯特频率（3）求）求f(t) *f(t)的奈奎斯特频率的奈奎斯特频率1/mrad s22/smrad s21()2sfhz2 24/smrad s 42()2sfhz22/smrad s21()2sfhz.例例2 有限频带信号有限频带信号f1(t)的最高频率为的最高频率为m1( fm1

28、) ，f2(t)的的最高频率为最高频率为m2 ( fm2 ) ，对下列信号进行时域抽样，试，对下列信号进行时域抽样，试求使频谱不发生混叠的奈奎斯特频率求使频谱不发生混叠的奈奎斯特频率fs与奈奎斯特间隔与奈奎斯特间隔Ts。1(1)();0ft12(2)( )( );f tf t12(3)( )( );f tf t12(4)( )( );f t f t21(5)( );ft.解：解：11(1)(),0()ftF j1m1m 1mm 122smmfff1122mmmmff 所以，奈奎斯特频率为：所以，奈奎斯特频率为：奈奎斯特周期为：奈奎斯特周期为：1112ssmTff.1212(2)( )( )()()f tf tF