信号抽样与抽样定理

1、.1.2信号信号抽样抽样也称为也称为取样取样或或采样采样，是利用抽样脉冲序列，是利用抽样脉冲序列 p (t) 从连续信号从连续信号 f (t) 中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的离散样值信号中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的离散样值信号称为称为抽样信号抽样信号，用，用 fs (t) 表示。表示。一、信号抽样 .3抽样的原理方框图抽样的原理方框图:一、信号抽样 连续信号经抽样后变成抽样信号，往往还需要再经量连续信号经抽样后变成抽样信号，往往还需要再经量化、编码等步骤变成数字信号。这种数字信号经传输、化、编码等步骤变成数字信号。这种数字信号经传输、处理等步骤后，再经过上述过程的逆过

2、程就可恢复原处理等步骤后，再经过上述过程的逆过程就可恢复原连续信号。连续信号。周期周期信号信号需要解决两个问题：需要解决两个问题：抽样信号抽样信号 fs (t)的频谱的频谱Fs()与原连续信号与原连续信号 f (t)的频谱的频谱F()的的关系关系；1.2. 在什么条件下可从抽样信号在什么条件下可从抽样信号 fs (t)中中无失真地恢复无失真地恢复原连续信号原连续信号 f (t) 。.4假设原连续信号假设原连续信号 f (t)的频谱为的频谱为 F()，即，即抽样脉冲抽样脉冲 p (t) 是一个周期信号，它的频谱为是一个周期信号，它的频谱为一、信号抽样 ( )( )f tF( )( )2()sjn

3、tnnsnnp tPePPn ssT2sTssTf11( )( )( )( )( )2 ( ( )()(snsnssnnf tf tp tFPFFPnPnF 所以抽样信号的频谱为所以抽样信号的频谱为其中，其中， 为为抽样角频率抽样角频率， 为为抽样间隔抽样间隔 ， 为为抽样频率抽样频率， 在时域抽样（离散化）相当于频域周期化在时域抽样（离散化）相当于频域周期化频谱是原连续信号的频频谱是原连续信号的频谱以抽样角频率为间隔谱以抽样角频率为间隔周期地延拓，频谱幅度周期地延拓，频谱幅度受抽样脉冲序列的傅立受抽样脉冲序列的傅立叶系数加权。叶系数加权。.5(1) 冲激抽样冲激抽样若抽样脉冲是冲激序列，则这

4、种抽样称为若抽样脉冲是冲激序列，则这种抽样称为冲激抽样冲激抽样或或理想抽样理想抽样。一、信号抽样 sss( )()()np ttnTn ( )( )( )() ()sssnf tf tp tf nTtnT冲激序列的傅立叶系数为冲激序列的傅立叶系数为所以冲激抽样信号的频谱为所以冲激抽样信号的频谱为 sTTtnsnTttTPsss1de )(122j -T11( )( )( ) ()2ssnsFFFnT抽样信号的频谱抽样信号的频谱 是以是以 s 为周期等为周期等幅地重复幅地重复.6频谱图：频谱图：一、信号抽样 .7(2) 周期矩形脉冲抽样周期矩形脉冲抽样若抽样脉冲是周期矩形脉冲，则这种抽样称为若抽

5、样脉冲是周期矩形脉冲，则这种抽样称为周期矩形脉冲抽样周期矩形脉冲抽样。也称。也称为为自然抽样自然抽样一、信号抽样 ( )()snp tG tnT( )( )( )( )()ssnf tf tp tf t G tnT在矩形脉冲抽样情况下，抽样信号频谱也是周期重复，但在重复过在矩形脉冲抽样情况下，抽样信号频谱也是周期重复，但在重复过程中，程中，幅度不再是等幅的幅度不再是等幅的，而是受到周期矩形脉冲信号的傅立叶系，而是受到周期矩形脉冲信号的傅立叶系数数 的加权。的加权。)2(SassnnTEP ( )Sa() ()2sssnsnEFFnT 周期矩形脉冲的傅立叶系数为周期矩形脉冲的傅立叶系数为则抽样信

6、号的频谱为则抽样信号的频谱为 .8幅度不再是等幅，幅度不再是等幅，受到周期矩形脉冲受到周期矩形脉冲信号的傅立叶系数信号的傅立叶系数 的加权的加权一、信号抽样 .9 如何从抽样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失如何从抽样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失真地由抽样信号恢复原连续信号。著名的抽样定理对此作了明确而精真地由抽样信号恢复原连续信号。著名的抽样定理对此作了明确而精辟的回答。辟的回答。 抽样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十抽样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十分重要的地位，该定理在连续时间信号与系统和离散时间信号与系统、

7、分重要的地位，该定理在连续时间信号与系统和离散时间信号与系统、数字信号与系统之间架起了一座桥梁。该定理从理论上回答了为什么数字信号与系统之间架起了一座桥梁。该定理从理论上回答了为什么可以用数字信号处理手段解决连续时间信号与系统问题。可以用数字信号处理手段解决连续时间信号与系统问题。二、时域抽样定理 .10二、时域抽样定理 时域抽样定理：时域抽样定理：一个频谱受限的信号一个频谱受限的信号 f (t) ，如果频谱只占据，如果频谱只占据 的范围，则信号的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的抽样值可以用等间隔的抽样值 唯一地表示，只要抽唯一地表示，只要抽样间隔样间隔 不大于不大于 ，其中，其中 为信

8、号的最高频率，为信号的最高频率，或者说，抽样频率或者说，抽样频率 满足条件满足条件通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率 称为称为奈奎斯特频率奈奎斯特频率，把最大允许的抽样间隔把最大允许的抽样间隔 称为称为奈奎斯特间隔奈奎斯特间隔 。mm,()sf nTsTmf21mfsfmsff2msff2mssffT211.11时域抽样定理的图解时域抽样定理的图解：假定信号：假定信号 f (t)的频谱只占据的频谱只占据 的范围，的范围，若以间隔若以间隔 对对 f (t)进行抽样，抽样信号进行抽样，抽样信号 fs (t)的频谱的频谱 FS() 是以是以 S 为为周期重复，在

9、此情况下，只有满足条件周期重复，在此情况下，只有满足条件 各频移的频谱才不会各频移的频谱才不会相互重叠。这样，抽样信号相互重叠。这样，抽样信号 fs (t) 保留了原连续信号保留了原连续信号f (t)的全部信息，完的全部信息，完全可以用全可以用 fs (t) 唯一地表示唯一地表示 f (t) ，或者说，或者说， f (t)完全可以由恢复出完全可以由恢复出 fs (t) 。二、时域抽样定理 (,)mmsTms2如果如果 ，那么原连续信号频谱在周期重复过程中，各频移的频，那么原连续信号频谱在周期重复过程中，各频移的频谱将相互重叠，就不能从抽样信号中恢复原连续信号。频谱重叠的这种谱将相互重叠，就不能

10、从抽样信号中恢复原连续信号。频谱重叠的这种现象称为现象称为频率混叠现象频率混叠现象。ms2.12二、时域抽样定理 ( )f t( )sf t( )sf t( )F( )sF( )sFmmmmmssTsT(a) 连续信号的频谱(b) 高抽样速率时抽样信号的频谱(c) 低抽样速率时抽样信号的频谱及频谱混叠000000tttsss.13 在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为 的理想低通滤的理想低通滤波器，即可从抽样信号波器，即可从抽样信号 fs(t) 中中无失真无失真恢复原连续信号恢复原连续信号 f (t) 。三、连续时间信号的重建 mc.14因为因为所以

11、，选理想低通滤波器的频率特性为所以，选理想低通滤波器的频率特性为若选定若选定 ，则有，则有理想低通滤波器的冲激响应为理想低通滤波器的冲激响应为若选若选 ，则，则而冲激抽样信号为而冲激抽样信号为三、连续时间信号的重建 1( )()ssnsFFnT 0 )(sCCTHsmcm( )( )( )sFFH)()(tSaTthCCs2sccssT2( )( )( )( ) ()() ()ssssnnf tf tp tf ttnTf nTtnT.15则连续低通滤波器的输出信号为则连续低通滤波器的输出信号为说明：说明： （1）信号可以展开成抽样函数的无穷级数，该级数的系数等于抽样值；信号可以展开成抽样函数的

12、无穷级数，该级数的系数等于抽样值； （2）若在抽样信号的每个样点处，画出一个峰值为若在抽样信号的每个样点处，画出一个峰值为 的的Sa函数波形，函数波形，那么其合成信号就是原连续信号；那么其合成信号就是原连续信号；结论：结论：只要已知各抽样值，就能唯一地确定出原信号。只要已知各抽样值，就能唯一地确定出原信号。三、连续时间信号的重建 ( )( )() ()()()( )(CssssCsCnnsf th tf nTtnTTSf tf natT SatnT()sf nT.16注意：注意：在实际工程中要做到完全不失真地恢复原连续信号是不可能的。在实际工程中要做到完全不失真地恢复原连续信号是不可能的。三、

13、连续时间信号的重建 .17假设连续频谱函数为假设连续频谱函数为F() ，抽样频谱函数为，抽样频谱函数为FS() ,即在频域抽样有即在频域抽样有假设假设 FS() 对应的时间信号为对应的时间信号为 fs (t) ，则有，则有 四、频域抽样与频域抽样定理 ( )( ) ()() ()ssssnnFFnF nn 1( )()ssnsf tf tnT说明：说明：信号在频率域抽样（离散化）等效于在时间域周期化。信号在频率域抽样（离散化）等效于在时间域周期化。频域抽样定理频域抽样定理：频域抽样定理表明，一个时间受限的信号：频域抽样定理表明，一个时间受限的信号 f (t) ，如果时间，如果时间只占据只占据

14、的范围，则信号的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的频率抽样值可以用等间隔的频率抽样值 唯一地表示，抽样间隔为唯一地表示，抽样间隔为 ，它必须满足条件，它必须满足条件 ，其中，其中(,)mmtt()sF nsmstT22ssT .18例：例： 大致画出图所示周期矩形信号冲激抽样后信号的频谱。大致画出图所示周期矩形信号冲激抽样后信号的频谱。四、频域抽样与频域抽样定理 .19解：解：信号在时域抽样、周期化过程中频谱的变化规律：信号在时域抽样、周期化过程中频谱的变化规律：（1）信号在）信号在时域周期化时域周期化，周期为，周期为 T ，则，则频谱离散化频谱离散化， 抽样间隔为抽样间隔为 02/T。（2）信号在）信号在时域抽样时域抽样，抽样间隔为，抽样间隔为 TS ，则，则频谱周期化频谱周期化， 重复周期为重复周期为 S2/TS 。四、频域抽样与频域抽样定理 .20矩形单脉冲信号的频谱矩形