线性代数习题册答案

1、线性代数习题册答案第一章 行列式练习 一班级 学号 姓名 1按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）(3421)= 5 ;（2）(135642)= 6 ;（3）(13(2n-1)(2n)42) = 2+4+6+（2 n-2）= n（n-1）.2由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i= 8 、j= 3 .3在四阶行列式中，项的符号为 负 .4= 24 .5计算下列行列式：（1）= 1（8）（8）（4）（4）（4）= 5或 （2）= 11（）（）（）= 3+2=练习 二班级 学号 姓名 1已知3阶行列式=1，则行列式= 1 . 2 = 2 .3已知D=,则= 1 .

2、用1，1，1，1替换第4行4 计算下列行列式：(1)= (2) (3) (4) 5计算下列n阶行列式：(1) （每行都加到第一行，并提公因式。）(2) (3) 练习 三班级 学号 姓名 1设线性方程组有惟一解，则满足的条件是什么？2. 求解线性方程组3.已知齐次线性方程组有非零解，求的值。4.求三次多项式，使得：。自测题1. n阶行列式D=，则展开式中项的符号为.2.已知3阶行列式=，则行列式=.3.方程的根为 1,2，-2 .4. 已知齐次线性方程组仅有零解，则的值应为.5.设，则D的展开式中的系数为 -1 .6. 计算下列行列式：（1）（2）第二章 矩阵及其运算练习 一班级 学号 姓名 1

3、.设求及。2.设A、B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。由题意，得：.3. 矩阵A和B满足什么条件时，恒成立？恒成立的条件是：AB=BA.4.设求AB，BA及。5.设，求。练习 二班级 学号 姓名 1.求下列矩阵的逆矩阵：（1）（2）2.设方阵满足，证明及都可逆，并求及。3.已知，求。4. 设n阶矩阵的伴随矩阵为，证明：（1）若，则； （2）。5. 设其中求。练习 三班级 学号 姓名 1.设，求及。2.求下列逆矩阵：（1）（2），其中n阶矩阵及s阶矩阵都可逆。自测题一填空题：1若那么=.2、为三阶矩阵，则= 8 .3已知则=. 4若、均为n阶矩阵，且，则= 3E

4、.5是三维列向量，则= 3 .二用初等变换法求的逆矩阵.三设矩阵，求.四证明：n阶矩阵A对称的充分必要条件是对称。五、为三阶可逆矩阵，若，求A.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组练习 一班级 学号 姓名 1判断题（正确打，错误打×）：1）某矩阵的行（列）阶梯形矩阵是唯一的 （ × ）2）某矩阵的行（列）最简形矩阵不是唯一的 （ × ）3）某矩阵的标准形矩阵不是唯一的 （ × ）4）矩阵的初等变换都有逆变换，且逆变换与原变换同属一类 （ ）5）任何一个矩阵总能通过初等变换化为标准形 （ ）2已知线性方程组，写出其增广矩阵，并将增广矩阵通过初等行变换化为阶梯

5、形、行最简形。3已知，将A化成标准形。并写出P、Q，使A的标准形等于PAQ。4已知，利用矩阵的初等变换，求。5已知，求。练习 二班级 学号 姓名 1.选择题：1）的行阶梯形中只有前r（rm 且rn）行为非零行，则为 （ C ）（A）0； （B）m； （C）r； （D）n.2）非零矩阵（mn）中的所有的2阶子式全为0，则A的标准形为 （ D ）（A）；（B）；（C）；（D）3）方阵的秩= n，则必定不满足 （ D ）（A）可逆； （B）与E等价； （C）； （D）存在使4）为奇异矩阵，下列的错误的是 （ C ）（A）；（B）； （C）； （D）不与单位阵E等价2. 已知矩阵，求。=23.设，问为

6、何值时，可分别使（1）=1；（2）=2；（3）=3？4.已知n阶方阵，使为不可逆矩阵，求证：不为零矩阵。练习 三班级 学号 姓名 1选择题： 1）当（ D ）时，齐次线性方程组一定有非零解。（A）mn； （B）mn； （C）mn； （D）mn .2）设A为n（2）阶方阵，且=n-1，是的两个不同的解向量，为任意常数，则的通解为（ C ）（A）； （B）； （C）； （D）.2填空题: 1）设4阶方阵，且，则方程组的一个解向量为。 2）设方程组有解，则其增广矩阵的行列式= 0 。 3）若有解，则常数应满足条件 。 4）已知方程组无解，则= -1 。3求齐次线性方程组的解。4解矩阵方程：5取何值时

7、，非齐次线性方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有解时，求解。解：（1）当时，有唯一解；（2）当时，无解；（3）当时，有无穷多解。，（其中是任意实数）自测题1选择题： 1）设为n（2）阶奇异方阵，中有一元素的代数余子式，则方程组 的基础解系所含向量个数为（ B ） （A）i； （B）1； （C）j； （D）n.2）方程组的系数矩阵记为，若存在三阶方阵，使得，则（ A ） （A），；（B），；（C），；（D），.3）设与是n阶方阵，齐次线性方程组，有相同的基础解系，则以下方程组以为基础解系的是（ D ）（A）；（B）；（C）；（D）.2判断题: 1）初等矩阵与初等变换是一一对

8、应的 （ ）2）任一秩为r的矩阵A必与等价 （ ）3）与为同解方程组 （ ）4）方程组有无穷多个解的充分必要条件是有两个不同的解（ ）3设n阶方阵的列向量为（i=1，2，3，n），n阶方阵的列向量为，试问：当时，是否有非零解？试证明你的结论。4若齐次线性方程组的解均为齐次线性方程组的解，试证明。5求方程组与的非零公共解。解：非零公共解为（是任意实数）6设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r，是的一个基础解系，是的一个解。证明：的任一解可表示为7设为四维列向量，已知的通解为，其中，为对应的齐次方程组的基础解系，为任意常数，令，试求的通解。第四章 向量组的线性相关性练习 一班级 学号 姓名 1已知向

9、量，试求向量.解：2已知向量组证明组能由组线性表示，但组不能由组线性表示。解：，所以组能由组线性表示。，所以组不能由组线性表示。3设可由线性表示，但不能由线性表示，证明：可由线性表示，而不能由线性表示。 4已知，问：（1）取何值时，不能由线性表示？（2）取何值时，可由线性表示？并写出此表达式。解：（1）当或时，不能由线性表示。（2）当时， ，可由线性表示，当时，可由线性表示。（）练习 二班级 学号 姓名 1判断向量组的线性相关性。2讨论向量组的线性相关性？即取何值时，向量组线性无关？又取何值时，向量组线性相关？3已知向量组线性无关，判断的线性相关性。4如果向量可以用向量组线性表示，试证表示方法

10、是唯一的充要条件是线性无关。练习 三班级 学号 姓名 1已知向量组，求该向量组的秩。2求向量组的秩和最大无关组，并把其余向量用此最大无关组线性表示。3利用初等行变换求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示。4设为阶矩阵（2），为的伴随矩阵，证明：练习 四班级 学号 姓名 1求齐次线性方程组的基础解系。2求非齐次线性方程组的通解。3已知是四元非齐次线性方程组的解，且求该方程组的通解。4设是齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）线行无关；（2）线行无关。练习 五班级 学号 姓名 1试判定集合是否构成向量空间？2求向量空间的基到基的过渡

11、矩阵和向量的坐标变换公式。自测题一、选择题：1设向量组（1）：与向量组（2）：等价，则（ A ）。（A）向量组（1）线性相关； （B）向量组（2）线性无关；（C）向量组（1）线性无关； （D）向量组（2）线性相关。2设n维向量组线性无关，则（ B ）。（A）向量组中增加一个向量后仍线性无关； （B）向量组中去掉一个向量后仍线性无关；（C）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关；（D）向量组中每个向量都任意增加一个分量后仍线性无关。3设三阶行列式，则（ A ）。（A）中至少有一行向量是其余行向量的线性组合；（B）中每一行向量都是其余行向量的线性组合；（C）中至少有两行向量线性相关； （D）

12、中每一行向量都线性相关。4设是一组n维向量，且线性相关，则（ D ）。（A）A的秩等于4；（B）A的秩等于n；（C）A的秩等于1；（D）A的秩小于等于3。5设不能由非零向量线性表示，则（ D ）。（A）线性相关； （B）线性相关；（C）与某个线性相关； （D）与任一都线性无关。二、填空题：1设n维向量线性相关，则向量组的秩r= 0，1，2 。2 向量组线性相关的充分必要条件为 秩<3 。3设线性无关，而线性相关，则向量组的极大无关组为 。4已知线性相关，则k= 4 。5 已知向量组线性相关，而向量组线性无关，则向量组的秩为 2 。三、已知，证明与等价。四、设有向量组，又向量，试问当满足什么条件时，则：（1）可由线性表示，且表示式唯一；（2）不能由线性表示；（3）可由线性表示，但不唯一，并求一般表达式。（1）（2）（3）五、已知及都是n维向量，且，证明向量组线性无关的充分必要条件是向量组线性无关。六、设n维向量组（1）：的秩为；